基于格林函數正交各向異性切口板自由振動特性分析

楊永育,李騰岳,程長征,趙 航,葛仁余

(1.安徽工程大學 力學重點實驗室,安徽 蕪湖 241000; 2.合肥工業大學 土木與水利工程學院,合肥 230000)

板殼作為工程結構構件基本單元,由于其自身結構小阻尼、低頻模態密集的振動特性,其固有振動特性分析尤為重要。其中正交異性板因重量輕、承載能力強、施工周期短等優點而被廣泛運用。另一方面,由于功能需求、加工工藝限制等原因,存在大量含有拐角的構件,如汽車的后殼、飛機的尾翼等。由于切口會導致局部纖維切斷,降低了其剛度和強度。因此,對正交各向異性切口板的振動特性研究具有重要的工程意義。

近年來,板殼結構的自由振動問題取得了一系列的成果[1-3]。Yin等[4]和Yu等[5]分別基于經典薄板理論和一階剪切板理論,利用等幾何分析研究了切口復合材料板的屈曲和自由振動問題。張俊等[6]基于Rayleigh-Ritz法研究了含多開口孔矩形板的自由振動性能。Kwak等[7]利用獨立坐標耦合法,研究了含矩形孔板的振動問題。Sakiyama等[8]將孔視為等效板的極薄部分,延伸出一種近似方法分析了方孔板的自由振動問題。McGee等[9]利用Ritz法結合切口特征角函數研究了扇形切口板的自由振動問題。對于正交各向異性板的自由振動問題,Xing等[10]提出一種新的分離變量法,給出了固支或簡支邊界條件下的正交矩形薄板自由振動的精確解。Thai等[11]通過將狀態空間法應用于Levy等式,得到了正交矩形板自由振動的閉式解。Papkov等[12]提出了一種基于強疊加的新方法,獲得了矩形正交各向異性板自由振動的精確解。雖然對于一些簡單的完整矩形正交板存在精確解,但是對于一些含裂紋、孔口或切口模型,其振動分析相對復雜,則需要尋求數值解。對于含切口結構的正交各向異性板,相關研究鮮有報道。

格林函數法是研究結構動力學問題的一種高效方法。Kukla等[13]利用格林函數法研究了軸對稱環形板的自由振動問題。Zur[14]基于格林函數法分析了彈性邊界條件下鉆柱系統的振動特性。Fan等[15]基于格林函數法研究了彈性支撐功能梯度環形板的自由振動問題。另一方面,近場動力學(peridynamics,PD)作為一種基于空間非局部積分思想分析固體力學問題的新理論,受到計算力學領域相關學者們的廣泛關注[16-17]。最近,Madenci等[18-19]基于PD非局部相互作用的思想,提出近場動力學微分算子(peridynamic differential operator,PDDO)的概念,便于將局部微分轉化為非局部積分形式。李志遠等[20]基于微分算子提出一種用于變截面梁動力特性分析的非局部方法。周保良等[21]利用微分算子建立了正交各向異性板熱傳導的非局部模型。

本文嘗試基于格林函數法結合近場動力學微分算子,提出一種分析正交各向異性V形切口板的自由振動特性的數值分析方法。通過格林函數將振動控制方程中的四階位移函數轉化為積分形式,利用近場動力學微分算子構造插值函數,建立切口板自由振動的廣義特征方程,求解了正交各向異性V形切口板的無量綱化自由振動頻率以及振型,通過與有限元結果對比驗證了本文方法的準確性,并分析了V形切口幾何參數對切口板自由振動特性的影響。

1 正交各向異性切口板自由振動控制方程

如圖1所示正交各向異性V形切口板,其中O是圓心,x軸為正交各向異性材料的主方向,切口關于主軸方向對稱,圓的半徑為a,板的厚度為h,切口開口角度為α,切口內角φ=2π-α,Γ1和Γ2是V形切口的兩條徑向邊,Γ3是扇形的弧形邊。

圖1 正交各向異性V形切口板模型(固支邊界)

根據薄板振動理論,正交各向異性板自由振動的控制方程可以表示為

(1)

式中:w為橫向位移;ρ為單位面積質量;h為厚度;ω為振動頻率;D1=E1h3/[12(1-μ1μ2)],D2=E2h3/[12(1-μ1μ2)],D3=D12+2D66,D12=μ1D2=μ2D1,D66=Gh3/12;E1和E2為彈性模量;μ1和μ2分別為1、2方向上的泊松比;G為剪切模量。

將自由振動控制微分方程式(1)轉化成極坐標系下的表達式為

(2)

式中:Dr=Erh3/[12(1-μrμθ)]為徑向彎曲剛度;Dθ=Eθh3/[12(1-μrμθ)]為周向彎曲剛度;Drθ=2Gh3/12為扭曲剛度。

(3)

式中:ω為自由振動頻率;c1=1.0,c2=(2+μθ-ν1μr),c3=(μθ+ν1μr+2ν2),c4=-(2μθ+2ν2),c5=2(μθ+ν2+ν1),c6=-ν1,c7=ν1,這里ν1=Dθ/Dr、ν2=Drθ/Dr。

對于固支V形切口,其邊界條件可以表示為

(4)

(5)

如圖2所示,正交各向異性V形切口板由等距離平行弧線和等角度徑向線劃分成如上網格,令

(6)

圖2 正交各向異性V形切口板網格

(7)

2 V形切口板自由振動頻率的計算

(8)

(9)

利用復化Simpson公式,式(8)可以簡化為以下求和形式

(10)

(11)

(12)

圖3 一維插值輸入輸出點

(13)

(14)

式中,Sn為PDDO插值矩陣系數。所以式(10)可以用矩陣形式表示為

{wn}=[Gn][α][Sn][kn]=[An]{kn}

(15)

同樣地,在其它等角度徑向線上亦成立,組合可以得到

[A]{k}

(16)

可以簡寫為

{w}=[A]{k}

(17)

{w*}=[B]{l*}

(18)

式中:*為沿著平行弧線上的計算點;[B]為系數矩陣。這里,自由振動位移列向量{w}以及{w*}中元素只是計算點的位置順序不同,可以通過轉換矩陣[T]將元素置換到相同位置,即

{w*}=[T]{w},{l*}=[T]{l}

(19)

將式(19)代入式(18),可以得到

(20)

{w′}=[A′]{k}

(21)

(22)

根據式(17)和式(20),式(21)和式(22)可以表示為

{w′}=[A′][A]-1{w}

(23)

(24)

同樣地,位移函數w其它階次的導數可以表示為

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(25)～式(28)代入式(3),可以得到

(29)

式(29)可以簡寫為

(30)

3 數值算例

假設彈性模量以及泊松比在徑向和周向相同,即Er=Eθ=E、μr=μθ=μ,正交各向異性切口板退化為各向同性切口板,圖4展示了切口角α=300°時,前四階無量綱化頻率,從圖中可以發現,本文結果與參考文獻[23]通過微分求積法的結果吻合度良好。

圖4 300度V形切口板前四階無量綱化頻率

表1 固支各向同性V形切口板無量綱化頻率的收斂性

(a)

圖6 V形切口板前五階頻率隨切口角α的變化規律

以α=60°為例,圖7繪制了其前四階橫向位移等高線振型圖,從圖中可以看出,切口板自由振動的第一階、三階振型圖具有對稱性,而第二階和第四階振型圖具有反對稱性,本文結果與有限元結果吻合較好,驗證了本文方法的準確性。

(a) FEM (b) Present

圖8 V形切口板前五階固有頻率隨Er/Eθ的變化規律

4 結 論

本文基于格林函數法結合近場動力學微分算子,提出一種分析正交各向異性V形切口板的自由振動問題的方法。

(1) 基于格林函數和PDDO插值基函數,可以將正交各向異性V形切口板自由振動的高階微分控制方程轉化為求解廣義特征值問題,求解可得正交各向異性V形切口板的自由振動的頻率與振型。

(2) 通過本方法與FEM對正交各向異性V形切口板的自由振動分析,驗證了本方法的準確性和收斂性。數值研究發現,正交各向異性V形切口板自由振動頻率隨切口角的增加而增加,隨彈性模量比值的增加而降低,且高階頻率下降的程度更顯著。

(3) 通過對切口板的動力特性分析,本方法避免了傳統有限元法在分析切口結構奇異問題時需要大量節點的網格敏感性問題,大幅節約了計算成本,說明了本方法在分析奇異結構振動等工程問題方面的潛力。