考慮滯回效應的螺栓連接組合結構非線性隨機振動分析

吳鵬輝,王紀磊,毛晨洋,趙 巖,2

(1.大連理工大學 運載工程與力學學部 工業裝備結構分析優化與CAE軟件全國重點實驗室,遼寧 大連 116023;2.大連理工大學 寧波研究院,浙江 寧波 315016)

螺栓連接廣泛存在于各種復雜和大型的工業裝備中,通過為部件之間傳遞載荷和能量,對結構的可靠運行起到了重要保障。已有的研究表明,螺栓連接對結構整體動力學行為有顯著的影響,而其準確的建模和振動響應分析對于結構設計、性能評估與運維管理具有重要的意義[1]。

對于螺栓連接結構,很多學者在理論、數值及實驗方面做了豐富的研究工作[2-4]。Brake對螺栓連接研究的發展方向進行了分析,特別指出由于螺栓界面所存在的復雜摩擦機理還沒有得到很好的認識、利用有限元等數值方法進行動力學預測需要高昂的計算成本,發展界面連接復雜結構有效的計算方法仍是一項重要的課題?，F有的螺栓連接建模工作可分為基于宏觀實驗的唯象模型和考慮結合界面微觀接觸機理的物理模型[5]。唯象模型主要有Jenkins模型、Iwan模型、Bouc-Wen模型等。Tamatam等[6]利用Jenkins模型進行接觸建模,研究了磨損對航空發動機葉盤動力學性能的影響?？导押赖萚7]基于Iwan模型描述了連接界面微滑移和宏觀滑移行為,利用多諧波平衡法和時頻變換求解了摩擦振子的穩態響應。王東等[8]提出了一種動力學降階方法,并基于Iwan模型開展了相關的動力響應分析。在考慮微觀接觸機理的物理模型方面,Balaji等[9]基于粗糙接觸理論提出了一種多尺度接觸本構模型,建立了粗糙度參數局部變化與局部接觸力、能量耗散之間的關系。Li等[10]提出了一種多尺度接觸建模方法來計算切向接觸剛度并再現了螺栓連接界面的摩擦滯回現象。在連接結構動力學分析中,最通用的是時域直接積分法,其顯著優勢是可以處理不同激勵和不同非線性的動力學問題,但計算資源消耗、累計誤差不可忽略[11];而對于周期激勵,諧波平衡法(harmonic balance method,HBM)得到了很好的發展[12]。

上述富有成效的工作大部分基于確定性激勵開展,然而很多情況下結構處于隨機載荷環境,如海浪、地震、噴氣噪聲等。對于線性隨機振動分析,虛擬激勵法[13]可以將結構的平穩隨機振動計算轉化為簡諧振動計算,在獲得與傳統隨機振動CQC(complete quadratic combination)同樣精度的分析結果同時計算效率獲得顯著提升。受限于非線性隨機振動分析方法的發展,目前針對多自由度螺栓連接隨機振動開展的研究工作還相對較少,且基于頻域開展的研究更少。對于非線性隨機振動分析,主流求解方法可分為兩類:一類是FPK(Fokker-Planck-Kolmogorov)方法[14],但是FPK方程解析和數值求解的應用范圍較為嚴格,很難用于螺栓連接組合結構這類復雜模型;另一類是從確定性非線性振動理論推廣的方法,如統計線性化法[15],隨機模擬方法[16]等,其中應用廣泛的是基于矩等效的統計線性化方法,但是該方法在響應功率譜密度預測上會給出不恰當的結果[17]。

基于上述研究現狀,針對考慮滯回效應的螺栓連接組合結構隨機振動問題,本文將隨機激勵利用復指數級數進行展開,結合線性結構隨機振動分析的虛擬激勵法和多諧波平衡的思想提出了擴展虛擬激勵法(extended pseudo excitation method,E-PEM),將非線性隨機振動響應功率譜分析的轉換為虛擬響應的向量運算。通過引入時頻變換(alternating time-frequency,AFT)處理非線性本構在頻域計算困難,并針對傳統牛頓法處理非連續、非光滑本構時可能出現的收斂性問題,將非線性代數方程的求解問題轉換為優化問題,并利用信賴域方法進行求解。數值算例中,以二自由度模型和組合梁模型為研究對象,利用所建立的方法研究了結構非線性隨機振動響應功率譜特性。

1 考慮滯回非線性的螺栓連接組合結構動力學方程

對于螺栓連接中的非線性力學行為,學者們提出了多種的非線性模型來描述。根據建模所需數據的不同,螺栓連接建?？梢苑譃?基于狀態的建模和基于速度的建模?；跔顟B的建模包括Jenkins模型、Iwan模型和Bouc-Wen模型等,基于速度的建模中最具代表性的則為庫侖摩擦模型。在描述螺栓連接的力學行為時,基于狀態的建模需要接觸位置在之前時刻的運動狀態,而基于速度的建模則只需要當前時刻的速度。對于周期性激勵,可以利用Iwan模型結合Masing映射準則進行求解,但是隨機載荷作用下的結構通常沒有傳統的穩態響應形式,為了解決這個問題,本文采用被廣泛研究的Jenkins模型進行本構建模。如圖1所示Jenkins模型對于摩擦力的表述可以歸納為微分形式和離散形式[18]。Jenkins模型的微分形式和離散形式的不同之處在于:微分形式方便用于時域數值積分方法,離散形式更適用于諧波平衡求解。本文提出的方法采用離散形式的Jenkins模型結合時頻變換進行頻域隨機振動分析。為了對本文方法進行對比驗證,在蒙特卡羅模擬法(Monte Carlo simulation,MCS)的時域數值積分中選取了微分形式的Jenkins模型。下面將分別介紹這兩類模型。

圖1 Jenkins模型

1.1 微分形式的Jenkins本構模型

對于摩擦力以微分形式表達的Jenkins模型,其非線性力fJenkins可以表示為

fJenkins=kJenkins(u-z)

(1)

式中:kJenkins為彈簧的剛度,z是滑塊元件的位移。其演變規律為

(2)

這里的φ*為臨界滑移力

φ*=μFn

(3)

式中:μ為庫侖摩擦因數;Fn為接觸界面的壓力。其對應的滯回曲線如圖2所示。

圖2 Jenkins模型的滯回曲線

1.2 離散形式的Jenkins模型

基于離散摩擦力形式的Jenkins模型,其非線性力的表達形式為

(4)

相比于微分形式的模型,該模型更適用于諧波平衡法等頻域迭代求解方法。利用該臨界滑移力φ*,可以判斷Jenkins模型的兩個狀態:滑移和黏滯,當達到臨界滑移力時,會出現經典的摩擦行為,否則為純彈性接觸。其中,ftr為第i-1個時間步和第i個時間步之間的臨界位置試驗力

ftr=fi-1+kJenkins(ui-ui-1)

(5)

1.3 連接組合結構動力學方程

非線性結構的動力學方程可以表達為如下形式

F(t)

(6)

(7)

式中:T為局部到全局的轉換矩陣;fJ(fJenkins)為多個Jenkins單元組成的局部非線性力向量。

2 非線性隨機振動分析的擴展虛擬激勵法

2.1 擴展虛擬激勵法

基于三角級數疊加法[19]和歐拉公式,高斯平穩隨機過程可以建模為

(8)

(9)

式中:Sff(ωk)為激勵的功率譜密度;Φk為在[0,2π]內均勻分布且相互獨立的隨機相位角,且滿足Φ-k=-Φk。

基于平穩隨機激勵模擬的相關理論,Roncen等[20]提出了將確定性分析的HBM方法用于隨機振動問題。按照類似的思路,下面對非線性結構動力學方程(6)的求解進行多諧波方程推導。假定方程(6)右端的平穩激勵向量為F(t)=[f1(t),…,fj(t),…,fn(t)]T,其中第j個自由度的平穩隨機激勵為fj(t),按照式(8)表達為復指數基底展開的形式

(10)

利用式(10),平穩隨機激勵向量F(t)表示為

(11)

將式(11)代入多自由度非線性結構的運動方程(6),得到:

(12)

(13)

和

(14)

將式(13)和式(14)代入式(12),則對于頻率的各個分量ωk,由多諧波平衡的概念,可以得到如下在頻域上描述的非線性代數方程組

(15)

(16)

(17)

需要注意FFT雖然可以提高運算速度,但是也對參與運算的樣本序列做出了限制,要求樣本數為2的冪次方。此外,為了避免信號混疊,并提高所計算非線性力的準確性,通常需要更大的采樣頻率[22]。為了避免信號泄漏,在FFT的過程中可以對數據進行加窗處理。

在具體實現過程中,對平穩隨機過程建立一個特定的時間歷程樣本,并以此來估計隨機過程的統計特征。隨機激勵樣本下的樣本響應qi(t),其時域樣本歷程可以由式(13)給出

(18)

對于隨機過程樣本qi(t),其頻域統計特征用樣本功率譜矩陣來表征,定義為

(19)

Sqq(ωk)≈E[Sqiqi(ωk)]

(20)

2.2 虛擬響應求解的牛頓法

(21)

其中

R(Q)=GQ+Fnl-F

(22)

其中:

其中,R[·]代表取實部,I[·]代表取虛部。

牛頓法是求解非線性方程組最有效的方法之一,其迭代計算過程表達為如下

Qp+1=Qp-[?Rp/?Q]-1Rp

(23)

式中:上標p代表了迭代次數;[?Rp/?Q]是Rp對應的雅可比矩陣。雅可比矩陣[?Rp/?Q]可以采用解析方法或有限差分法進行計算。通常解析表達式并不容易得到,這里采用中心差分法計算雅可比矩陣[?Rp/?Q]。此外,對于迭代開始,將未考慮結構非線性Fnl的線性解作為初始解。

2.3 牛頓法收斂性問題的討論

對于Duffing型或多項式型的剛度、阻尼及其混合非線性,由于其對應的非線性本構通?？梢员碚鳛檫B續可導函數,所以雅可比矩陣的計算一般不會存在病態問題,這也保證迭代求解通常是收斂的。但是對于螺栓連接這類的接觸非線性模型,其本構函數通常為非光滑、非連續函數,將會導致雅可比矩陣是奇異的,最終導致迭代不收斂。另一方面,如果迭代初始解與真實解的距離較遠,牛頓法也可能會不收斂。為了解決傳統牛頓法的收斂性問題,研究人員提出了非常多的改進的方法,如弧長延拓、修正牛頓法[23]等。還有一類方法是將非線性方程組的求解問題轉換為等價的非線性最小二乘問題,之后利用高斯-牛頓法、Levenberg-Marquardt法、信賴域Levenberg-Marquardt法等求解最小二乘優化問題[24]。對于式(22)中的非線性方程組,可以轉化為最小化問題

(24)

3 數值算例

3.1 二自由度模型

選取如圖3所示的二自由度模型[26]進行隨機振動分析,Jenkins非線性位于兩個自由度之間,模型的相關參數均在表1中給出。為了驗證本文方法的正確性,采用蒙特卡羅模擬法(MCS)進行對比驗證。MCS將式(8)所建立的時域隨機激勵作用于非線性二自由度模型上,再利用龍格—庫塔數值積分方法求解系統響應的時域歷程,之后對計算得到的響應時域歷程利用功率譜密度估計方法得到樣本的功率譜密度,通過對樣本功率譜密度進行統計平均,可以得到非線性系統的響應理論功率譜估計。

表1 二自由度模型的參數值

圖3 二自由度模型

對于此二自由度模型,激勵功率譜Sff(ω)=10 N2/Hz情況下的位移響應樣本功率譜密度如圖4所示。

(a) 自由度1

可以看出,E-PEM相比MCS更加光滑,主要是由于MCS在進行非線性響應功率譜估計的過程中存在一定的信號泄漏。從圖4可以看出,E-PEM和MCS對于非線性響應功率譜的計算具有較好的一致性。

圖5給出了Jenkins非線性在隨機激勵下的滯回曲線,相比于周期激勵作用下滯回曲線,隨機激勵作用下的滯回曲線與加載歷程相關,并不能給出同周期加載一樣確定性的滯回曲線。滯回非線性力被限制在了-1～1 N,正好等于庫侖摩擦定理的最大滑動摩擦μFn。在虛擬響應求解過程中,將牛頓迭代法、修正牛頓迭代法和信賴域方法進行了對比。圖6給出了不同方法下的迭代歷程曲線。在相同初始解的前提下,信賴域方法的收斂性最好,表明信賴域方法具有很好的計算優勢。雖然牛頓迭代法和修正牛頓法在首次迭代時下降速度很快,但是在雅可比矩陣出現病態后就很難保證結果的收斂性,而信賴域方法通過優化迭代步可以實現全局收斂。

圖5 非線性力的滯回曲線

圖6 不同方法下的迭代曲線

在樣本功率譜密度的基礎上,通過樣本平均可以實現理論功率譜密度的估計。圖7為結構在激勵功率譜Sff(ω)=10 N2/Hz作用下的位移理論功率譜密度估計。其中MCS和E-PEM的樣本數均為30。從圖7可以觀察到,MCS和E-PEM得到的結果一致,驗證了E-PEM的正確性。在圖7(b)中,非線性響應相比于線性響應,在96 Hz附近還出現了一個峰,此峰恰好是共振峰頻率(32 Hz)的3倍,表明在隨機激勵作用下Jenkins非線性單元存在倍頻現象。對于Jenkins單元所具有的這種非線性,文獻[27]通過解析推導后,得出此類非線性系統的響應會產生額外奇數倍的頻率分量(最小即為3倍),本文計算得到的現象與文獻結果具有一致性。

(a) 自由度1

3.2 螺栓連接組合結構隨機振動響應分析

本小節將開展螺栓連接組合結構隨機振動響應分析。圖8為本文研究的螺栓連接組合梁結構,圖8(a)為該組合結構的模型示意圖,圖8(b)為建立的簡化有限元模型。該結構由兩個相同的矩形等截面梁組成,矩形梁的尺寸為0.002 m×0.005 m×0.5 m,這兩根梁的一端部分重疊并用螺栓相互固定,另一端采取固定約束。兩個梁材料均為Q235鋼,材料屬性:密度為7 860 kg/m3,泊松比為0.288,彈性模量為212 GPa。

(a) 模型示意圖

組合梁結構的有限元模型借助商業有限元軟件Abaqus建立,以提供組裝部件的線性動態響應。整個連接組合結構有限元模型共包含16個線性可剪切變形梁單元(B21單元),每個單元包含2個節點6個自由度,模型共54個自由度。模型的阻尼為瑞利阻尼,阻尼系數α和β分別為0.2和0.000 5。圖8(b)中螺栓連接非線性涉及的參數為:接頭預緊力Fjoint、界面摩擦因數μjoint和接頭連接剛度kjoint。隨機激勵施加在組合模型左端的第四個節點處,觀測點位于右端梁的第三個節點處。圖8(b)中螺栓連接非線性涉及的參數及取值為:接頭預緊力Fjoint=10 N,界面摩擦因數μjoint=0.1,接頭連接剛度kjoint=5×103N/m。

圖9為螺栓連接組合梁在Sff=1 N2/Hz隨機激勵作用下的響應功率譜密度。隨機激勵僅包含10～40 Hz的頻率范圍,用于激起結構的前兩階模態(分別為16.67 Hz和31.06 Hz)。圖9(a)分別給出了線性和螺栓預緊力分別為10、20和50 N下,觀測點的平均功率譜密度。圖9(b)是共振峰處(10～40 Hz)的局部細節放大,可以看到,隨著預緊力的減小,第二階模態變得越來越不明顯。

(a) 0～80 Hz范圍的位移功率譜密度

為了進一步研究不同激勵水平對螺栓連接梁結構滯回非線性的影響。本文在預緊力Fjoint=50 N、界面摩擦因數μjoint=0.1的情況下,對螺栓連接梁結構在激勵強度Sff為0.1 N2/Hz,1 N2/Hz,5 N2/Hz和10 N2/Hz的情況進行了隨機振動分析。圖10為連接接頭處的位移非線性力曲線。在激勵強度Sff為0.1 N2/Hz的載荷強度下,由于接頭界面力未達到臨界滑移力(5 N),所以并未出現滯回效應。但是隨著激勵強度的增加,接頭處的滯回效應逐漸顯現且滯回環也隨著激勵強度的增加而逐漸擴大。

圖10 接頭處的位移-非線性力曲線

4 結 論

本文發展了實現考慮滯回效應的螺栓連接組合結構頻域譜特性分析的E-PEM。將激勵功率譜轉化為復指數級數的展開形式,非線性隨機振動響應功率譜分析轉換為虛擬響應的乘積運算。引入時頻變換(AFT)處理非線性本構在頻域計算困難,進一步針對傳統牛頓法處理非連續、非光滑本構時出現的收斂性問題,將非線性代數方程的求解問題轉換為最優化問題并利用信賴域方法進行求解。在數值算例中,研究了含Jenkins模型非線性系統的隨機振動響應功率譜特性,并采用MCS進行了對比驗證,結果表明本文方法與MCS的結果吻合度較高,本文方法也為類似非線性動力學系統隨機振動功率譜分析提供一種新的求解思路。

針對螺栓連接結構開展相關試驗研究是一項富有挑戰性工作。一方面原因是真實的螺栓連接結構中通常存在著多種耦合且不易分離的非線性[28](如:幾何非線性、材料非線性、界面接觸非線性等);另一方面,由于連接界面所具有的時變性和不確定性[29-30],也需要開展參數辨識、模型確認驗證工作。本文研究目前所開展的螺栓連接組合結構頻域隨機振動分析僅進行了數值研究,通過與其他方法對比驗證本文方法的正確性和有效性,針對螺栓連接結構開展隨機振動試驗驗證有待更進一步的工作。