基于共同稀疏貝葉斯學習的多頻等效源近場聲全息方法

張鳳敏,張小正,周 蓉,張永斌,畢傳興

(合肥工業大學 噪聲振動研究所,合肥 230009)

近場聲全息技術是一種廣泛應用于設備噪聲源測試與分析的工具,它通過測量聲源近場范圍內的聲學量,并經過投影變換算法來重建聲場,進而實現噪聲源的識別與定位以及聲場可視化[1-2]。Willimas等首先提出基于傅里葉變換的近場聲全息方法,該方法原理簡單、效率較高,因此得到廣泛的研究和應用。但受截斷效應以及聲源形狀所限,該方法在工程應用時受到一定限制。為了克服基于傅里葉變換的近場聲全息方法的不足,國內外學者相繼發展了統計最優近場聲全息[3]、基于Helmholtz最小二乘法的近場聲全息[4]、基于邊界元法的近場聲全息[5]和基于等效源法的近場聲全息[6-8]等。

傳統的近場聲全息技術為了提高空間分辨率需要減小測量間隔,測量間隔的減小意味著測量成本的增加,因此傳統的近場聲全息技術存在空間分辨率與測量成本之間的矛盾。為緩解該矛盾,壓縮感知技術[9-10]被引入到近場聲全息方法中,它利用待求信號的稀疏特性,可以在遠低于奈奎斯特采樣率要求下準確重建信號[11-12]。Chardon等[13]首次將壓縮感知引入到基于傅里葉變換的近場聲全息方法中,用少量測點精確重建了激勵板的輻射聲場,該方法相比傳統基于傅里葉變換的近場聲全息方法展現出巨大優勢?？紤]到等效源近場聲全息法計算簡單且能適用于任意形狀聲源的聲場重建,眾多學者開展了基于壓縮感知的等效源近場聲全息方法研究[14-17]。Fernandez-Grande等[18]首先將壓縮感知應用于等效源近場聲全息方法中,并提出壓縮等效源近場聲全息方法,該方法采用較少的聲壓數據精確重建了點源源強。為提高壓縮等效源近場聲全息方法的計算效率,Hald[19]基于梯度下降算法提出了快速寬頻全息方法,該方法可在較寬的頻帶范圍內實現聲場的快速重建。此后,Ping等[20]提出了一種改進的寬頻全息方法,通過對低于所設定閾值的等效源源強進行加權處理,有效改善了寬頻全息方法的低頻重建性能。Shi等[21]提出一種基于混合壓縮感知的等效源近場聲全息方法,用于改善寬頻全息方法的低頻定位性能,并用于遠場的聲輻射預測[22]。為了實現空間延展型聲源的稀疏重建,Bi等[23]利用聲輻射模態分解的正交基作為稀疏基,提出了一種壓縮模態等效源近場聲全息方法;Hu等[24]則利用傳遞函數正交模態基作稀疏基,提出一種基于稀疏采樣的等效源近場聲全息方法;Zhang等[25]將等效源源強在傅里葉級數下展開,提出基于快速傅里葉波疊加譜法的等效源近場聲全息方法;這三種方法均成功重建了激勵板的輻射聲場。此后,為實現不同類型聲源同時存在時的聲場重建,Bi等[26]將聲輻射模態基函數和點源的基函數組合成冗余字典,分離出干擾噪聲,成功實現了空間稀疏型聲源和空間延展型聲源同時存在時的聲場重建;He等[27]和Hald[28]也分別利用傳遞函數模態基函數與單位矩陣組成冗余字典,實現了不同類型聲源的聲場重建。為避免上述研究在通過數值方法構造稀疏基時可能導致的不準確問題,Fernandez-Grande等[29]利用等效源源強向量自身的稀疏性及其空間二階導數的稀疏性作為先驗信息,提出基于融合總變分的等效源近場聲全息方法;Bai等[30]基于截斷閾值提出基于壓縮牛頓法的等效源近場聲全息方法,這兩種方法均不需構建稀疏基,可以實現空間稀疏型聲源與空間延展型聲源的精確重建。在上述基于壓縮感知的聲場重建方法中,正則化參數等調優參數的準確選擇是實現聲場精確重建的重要保障,由于上述方法大都基于L曲線、廣義交叉驗證或通過經驗公式等方法進行調優參數的設置,往往不能獲得最優解。為解決該問題,Bi等[31]利用聲場的結構特性,提出了一種基于塊稀疏貝葉斯學習的等效源近場聲全息方法,并使用塊稀疏貝葉斯學習求解分塊的等效源源強向量,實現了在不構建稀疏基情況下重建不同類型聲源的輻射聲場。

盡管上述基于壓縮感知的等效源近場聲全息方法相比傳統等效源近場聲全息方法在聲場重建精度方面有所提高,但這些方法都是基于單頻處理的單測量向量模型進行聲場重建。有研究表明[32-33],基于單測量向量模型的信號重構方法對噪聲魯棒性較差,并且存在精度不足問題。為了解決上述問題,基于多測量向量[34-35]的信號重構方法被提出用以增強噪聲魯棒性并提高重構精度,后被引入到波束形成方法中用于提高聲源定位精度和噪聲魯棒性[36-37]。本文擬將多測量向量方法引入等效源近場聲全息方法中,提出一種基于共同稀疏貝葉斯學習的多頻等效源近場聲全息方法實現多頻聲場同時重建。該方法針對聲源位置不隨頻率而變化的穩態寬頻聲源,首先利用多頻協同處理技術,構建多頻等效源近場聲全息模型;然后,通過為每個頻率的等效源源強指定同分布高斯先驗從而獲得共同稀疏約束;最后,通過最大后驗估計求解具有共同稀疏約束的等效源源強的后驗分布并使用期望最大算法更新超參數。該方法利用待求等效源源強向量中不同頻率的源強會聚集在一起形成的共同稀疏特性,從而可以獲得更準確的源強解,實現聲場的精確重建并提高對噪聲的魯棒性。

1 多頻等效源近場聲全息模型建立

真實聲源輻射的聲場可以通過求解等效源積分方程獲得,即

(1)

式中:pr(r)為場點r處的聲壓;G(r,rE)為場點r與等效源點rE之間的格林函數;ω為角頻率;ρ為流體介質的密度;Ω(rE)為連續等效源區域。

為實現數值計算,將空間中等效源面進行離散化,并在離散點布置若干等效源,此時空間位置的聲壓可由若干等效源的輻射聲壓疊加獲得,即

(2)

(3)

(4)

式中,λ為正則化參數,用于控制模型的誤差項與懲罰項。

為實現多頻測量下的同時重建,將多測量向量引入到模型(3)中實現等效源源強的求解,但在式(3)的模型中,傳遞函數隨頻率變化,無法將每個頻率的重建模型簡單疊加,因此首先對模型進行變換。

根據式(3)可知,寬頻噪聲源的M個測量值可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

圖1 單頻等效源近場聲全息模型與多頻等效源近場聲全息模型結構圖

2 共同稀疏貝葉斯學習方法

由于基于貝葉斯推斷的方法?；趯崝颠\算,為計算式(9)中的復值等效源源強,首先將式(9)中復值模型轉化為實值模型,得到

(10)

其中

(11a)

(11b)

(11c)

假設噪聲和每個頻率下的等效源源強均為高斯分布,根據高斯分布得到聲壓的似然函數為

(12)

式中:λ為噪聲的方差;“p(·)”為概率操作符。假設先驗滿足如下高斯分布

(13)

其中,Σ0的形式為

(14)

(15)

其均值和方差可通過解析方法得到

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

首先估計超參數γ=[γ1,γ2,…,γ2N]。式(20)中第一項與超參數γ無關,因此,關于超參數γ的代價函數可化簡為

(21)

(22)

(23)

將式(22)整理,可以獲得γ的更新公式為

(24)

同理,式(20)中第二項與λ無關。因此,關于λ的代價函數簡化為

(25)

對式(25)求關于λ的一階偏導并令偏導數等于零,可以得到λ的更新公式為

(26)

聯合式(10)與式(16)、(17)以及式(24)、(26)構成的整個過程描述了基于共同稀疏貝葉斯學習的等效源近場聲全息方法的原理。在這個過程中,為同一空間位置處所有頻率的等效源源強指定同分布高斯先驗,可以充分利用等效源源強向量中的共同稀疏結構,促進更準確的解。首先給定超參數初始值,計算等效源源強的均值和方差,并更新超參數,然后計算代價函數值并判斷收斂條件,若不收斂,使用更新后的超參數再次計算等效源源強的均值和方差并繼續更新超參數,若收斂,則輸出等效源源強的均值。

3 方法驗證

3.1 單極子聲源的仿真驗證

下面首先采用兩個單極子聲源作為研究對象來驗證所提方法的可行性。兩個單極子源分別位于(-0.05,0,0) m和(0.1,0,0) m處(圖2中的實心圓點)。為了更好地滿足稀疏性假設,將等效源面與源面重合。全息面和重建面為分別位于z=0.15 m和z=0.10 m的平面,且全息面和重建面在x和y方向的尺寸均為0.5 m,范圍從-0.25～0.25 m,測點間隔為 0.05 m,仿真模型如圖2所示。為模擬真實的環境噪聲,為測量聲壓添加信噪比為10 dB 的高斯白噪聲。從全息面網格點位置處隨機選取64個測點組成測量陣列。所提算法重復運行10次,并在誤差圖中給出不同運行結果誤差的標準差,稱為“誤差棒”,用以說明隨機測量陣列對重建算法的魯棒性影響。為了客觀地評估重建方法的重建性能,采用相對均方根誤差作為衡量指標,定義為

(27)

圖2 仿真配置示意圖

式中,pcal和pth分別為重建面上的重建聲壓和理論聲壓。為評估所提算法的優越性,給出無共同稀疏約束的單頻等效源近場聲全息方法的重建結果,此時解向量中沒有共同稀疏特性。為簡潔起見,下文將無共同稀疏特性的單頻等效源近場聲全息方法簡稱為單頻方法,將基于共同稀疏貝葉斯學習的多頻等效源近場聲全息方法簡稱為多頻方法。

首先,評估所提多頻方法求得的等效源源強的準確性,并與單頻方法進行對比,重建結果如圖3所示?？梢钥闯?單頻方法在很多頻率處會產生偽源,并且由于兩個單極子聲源距離較近,在很多頻率處無法識別兩個單極子聲源;而在多頻等效源近場聲全息模型中,所提多頻方法整個頻率測試范圍內都不存在偽源。這是因為在所提方法中,空間同一位置處不同頻率的等效源源強聚集,形成共同稀疏結構,為等效源源強添加共同稀疏約束,可以更好地過濾掉由于噪聲引起的偽影,從而產生更準確的解。

(a) 單頻方法

隨后分析多頻方法重建聲壓的性能表現,繪制了500 Hz和1 500 Hz時重建面上的聲壓,并與單頻方法重建的聲壓進行對比,結果如圖4所示?？梢钥闯?在500 Hz處,利用共同稀疏約束時重建的聲壓比單頻方法重建的聲壓更準確,在1 500 Hz處,兩種方法重建的聲壓與理論值都非常接近。此時,在500 Hz處,所提多頻方法和單頻方法的重建誤差分別為4.39%和12.34%;在1 500 Hz處,兩種方法的重建誤差分別為2.88%和2.94%。

(a) 500 Hz

進一步分析多頻方法和單頻方法的重建誤差隨頻率的變化關系,誤差曲線如圖5所示。從圖5可以看出,在100～2 000 Hz范圍內,所提多頻方法可以獲得更低的重建誤差,并且在整體范圍內,所提多頻方法重建誤差都低于5%。單頻方法的重建誤差較大,主要原因是不利用共同稀疏約束時,無法獲得最稀疏的解。此外,利用共同稀疏約束時獲得的“誤差棒”比不利用共同稀疏約束時更小,說明為同一位置所有頻率的等效源源強添加共同稀疏約束,還可以有效地降低隨機測量陣列對重建誤差的影響。

圖5 單頻方法和多頻方法的重建誤差

解向量中等效源源強呈現共同稀疏特性,為等效源源強添加共同稀疏約束,可以在更大程度上避免噪聲對重建結果的影響。因此下面分析不同信噪比下,所提多頻方法重建聲壓的性能,除要分析的信噪比外,其他參數不變。圖6繪制了所提多頻方法與單頻方法重建誤差隨頻率和信噪比變化的對比圖?？傮w上,利用共同稀疏約束時,所提多頻方法的重建誤差比單頻方法更低,且單頻方法的重建誤差隨信噪比變化更加明顯。當信噪比為5 dB時,整個頻率范圍內,所提多頻方法的重建誤差都低于8%,而單頻方法的重建誤差基本在15%以上。當信噪比高于5 dB時,所提多頻方法的重建誤差基本在5%以下,這說明為等效源源強施加共同稀疏約束對噪聲具有更好的魯棒性。

(a) 單頻方法

3.2 試驗驗證

為進一步驗證方法性能,下面采用兩個小音箱作為目標聲源,在半消聲室中進行試驗,試驗裝置如圖7所示。在空間建立笛卡爾坐標系,以兩小音箱中心連線的中點為坐標原點,兩個音箱的紙盆中心分別位于(-0.05,0,0) m和(0.1,0,0) m。通過電腦產生的信號驅動音箱,驅動信號為間隔100 Hz正弦合成信號,頻率范圍從500～2 000 Hz。采用一個線性陣列,通過掃描法來獲取測量面的聲壓數據。線性陣列的傳聲器數量為11,y方向上的跨度為-0.25～0.25 m,測量間隔0.05 m。全息面距離音箱表面 0.15 m,x方向上的范圍從-0.25～0.25 m,測量間隔為0.05 m。重建面距離音箱表面0.1 m。等效源面與小音箱前表面重合,且等效源布置與全息面測量點網格相同。

圖7 音箱試驗裝置示意圖

首先考察重建方法重建小音箱等效源源強的性能。圖8為重建的小音箱等效源源強圖。圖8(a)為單頻方法重建的等效源源強圖,圖8(b)為多頻方法重建的等效源源強圖?？梢钥闯?使用單頻方法進行單頻重建時,在很多頻率處都出現了雜亂、小峰值的偽源;而利用共同稀疏約束時,所提多頻方法可以較好地過濾掉較小幅值的偽源,從而獲得符合小音箱聲源的等效源源強系數。

(a) 單頻方法

圖9為500 Hz和1 500 Hz時測量聲壓與多頻方法和單頻方法重建的聲壓對比。在這兩個頻率處,相比不利用共同稀疏約束時單頻方法重建的聲壓,所提多頻方法重建的聲壓與重建面上的測量聲壓更接近,說明所提多頻方法可以更好地重建小音箱輻射的聲場。此時,在500 Hz處,所提多頻方法和單頻方法的重建誤差分別為12.11%和14.23%;在1 500 Hz處,兩種方法的重建誤差分別為18.59%和24.92%。

(a) 500 Hz

圖10給出了500～2 000 Hz范圍內重建結果的相對均方根誤差曲線?？梢钥闯?在總體上,所提多頻方法的重建誤差比單頻方法獲得的誤差更低,說明利用共同稀疏約束時,所提多頻方法可以更好地重建小音箱輻射的聲場。并且可以看到,利用共同稀疏約束時,所提多頻方法的“誤差棒”相比不利用共同稀疏約束時更小,也就是說當利用共同稀疏約束時,所提多頻方法對隨機采樣陣列的魯棒性更強。此時,在實際應用時,所提多頻方法對隨機測量陣列位置點的選擇要求更低。從圖10中可以發現,隨著頻率增加,誤差隨之增高,主要原因是小音箱具有一定體積,當前等效源配置下不能獲得小音箱的最優表征,并且由于高頻聲波波長較短,等效源配置和聲源體積對較高的頻率影響更大從而導致高頻時重建誤差更高。此外,小音箱內部的空腔共振帶動小音箱體表面振動產生的噪聲,也可能導致在高頻時重建誤差更高。

圖10 小音箱試驗中單頻方法和多頻方法的重建誤差

4 結 論

基于壓縮感知的等效源近場聲全息方法通常采用基于單頻處理的單測量向量模型進行重建,雖然可以較好地實現聲場重建,但仍存在重建精度不足以及對噪聲魯棒性較差的問題。為解決這些問題,本文提出了一種基于共同稀疏貝葉斯學習的多頻等效源近場聲全息方法。在該方法中,假設噪聲源具有寬頻特性,采用多頻協同處理,構建多頻等效源近場聲全息模型,此時解向量中同一空間位置處的元素聚集形成共同稀疏特性,通過為等效源源強指定共同高斯先驗的形式施加共同稀疏約束,然后使用共同稀疏貝葉斯學習方法估計等效源源強。論文首先通過單極子聲源的仿真驗證了所提方法的有效性,并通過與基于無共同稀疏約束稀疏貝葉斯學習的單頻等效源近場聲全息方法對比,說明所提方法在重建精度方面有明顯優勢;同時還分析了所提方法在不同信噪比下的重建性能,并發現在信噪比為5 dB時所提方法仍具有不超過7%的重建誤差,說明所提方法具有較好的噪聲魯棒性,在低信噪比環境具有更明顯優勢。隨后,論文在半消聲室中進行了兩個小音箱的試驗,發現所提方法很好地消除了偽影,可以更準確地識別小音箱的位置和重建小音箱的聲場,進一步驗證了所提方法的優越性。論文所提方法對實際中寬頻噪聲源識別具有較大的優勢,但同時需要說明的是,該方法在等效源源強的后驗估計過程中,協方差矩陣需要迭代求逆,當分析頻率數量較多時計算效率較低,因此后續將繼續研究快速計算方法進一步提高其計算效率。