跨尺度結構智能優化方法與快速設計

霍樹林，江和昕，宋賢海，周恩臨，何智成

（1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082；2.南昌航空大學 材料科學與工程學院，南昌，330036）

拓撲優化技術是一種在有限的設計領域中尋找最優材料布局的強大的結構設計工具，被廣泛的應用于汽車[1-2]及航空航天[3-4]等領域。拓撲設計通過尋找結構的最優材料分布來獲得結構的最優性能。然而，若僅在結構宏觀尺度進行優化設計，則難以發揮結構的最佳性能及進一步提升結構的輕量化效果，而同時考慮結構的微觀拓撲構型和宏觀材料分布能夠有效釋放設計潛力。因此，對結構進行跨尺度優化設計，即同時生成宏微觀結構是進一步提升拓撲構型性能和輕量化效果的關鍵方法。

目前，拓撲優化算法有固體各向同性材料懲罰法[5]（Solid isotropic material with penalization, SIMP）、進 化 結 構 法[6]（Evolutionary structural optimization method, ESO）/雙向漸進結構優化算法[7]（Bi-directional evolutionary structural optimization method, BESO）

和水平集法[8]。Huang 等[9]基于BESO 實現了最大體積或最大剪切模量的多孔材料微觀結構的優化設計。Gao 等[10]結合水平集法和數值均質化法對多孔復合材料的宏觀結構和多個代表性微觀結構進行了優化。付君健等[11]為實現二維和三維的多層級結構拓撲優化并避免其中的連接性問題，提出了一種基于子結構法的多層級結構拓撲優化方法。Li 等[12]基于水平集法提出了一種用于在一定激勵頻率范圍內并發設計多相復合結構的多尺度拓撲優化方法并通過2D 和3D 數值算例驗證了其有效性。盡管拓撲優化在結構優化設計中帶來了極大的便利，然而，由于拓撲優化問題中存在大量的設計變量，并且在得到最優設計變量之前需要進行多次優化迭代，因此拓撲優化問題的計算成本非常高。而多層級拓撲優化相對于傳統的單尺度拓撲優化增加了許多參數，計算成本更高，計算效率更為低下。

在過去的幾年中，隨著高性能計算技術的快速發展，深度學習算法也得到了快速的發展。深度學習作為一種數據驅動的方法，不僅是傳統實驗或模擬方法的有效替代模型，也是從各種數據中提取材料相關信息的革命性方法。許多學者已經把深度學習應用到了拓撲優化領域。Yu 等[13]提出了一種深度學習模型，該模型能夠在不使用迭代方案的情況下預測給定邊界條件和優化設置的優化結構。White 等[14]利用神經網絡代理模型開發了彈性結構的多尺度拓撲優化框架。葉紅玲等[15]采用生成式對抗神經網絡實現了對跨分辨率拓撲構型的快速預測。Cheng 等[16]結合卷積神經網絡和長短期記憶神經網絡實現了在各種載荷條件和體積分數限制下，以最小柔度自動生成結構拓撲構型。深度學習在拓撲優化領域得到了很好的運用，然而，目前基于深度學習的拓撲優化研究大多集中在傳統的單尺度拓撲優化上，關于多層級拓撲優化的研究少之又少。

本文提出了一種基于耦合深度學習的跨尺度拓撲優化方法來快速生成基于各種邊界條件下最優微觀和宏觀拓撲結構。首先，利用BESO 算法產生數據，建立神經網絡的數據庫；然后，結合Resnet、U-net架構及SEnet 中的注意力機制建立用于快速生成跨尺度拓撲結構的深度學習模型。研究結果表明該模型在快速生成跨尺度拓撲結構的同時，也能保證93%以上的準確度。

1 并行拓撲優化設計

基于均勻化方法與BESO 優化策略，建立雙尺度拓撲優化模型及其分析方法，通過分別在宏觀尺度與微觀尺度上進行靈敏度分析，獲得各尺度最優的材料分布，為后續神經網絡的輸入提供數據支持。

1.1 雙尺度優化系統

結構雙尺度優化即同時對宏觀構型與微觀單胞進行優化設計。圖1）所示為雙尺度優化系統示意圖，其中圖1a）灰色區域為均勻多孔材料；圖1c）黑色區域為優化得到的實體單元，白色區域為空洞單元。在優化中對各尺度進行結構離散，宏觀單元設計變量定義為 αj(j=1,2,···,M)，微觀單元設計變量定義為 βj(j=1,2,···,N)。

圖1 雙尺度優化系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of a dual scale optimization system

為了獲得清晰的拓撲，將材料插值方案應用于宏觀和微觀兩個尺度上。在微觀尺度上，采用人工材料插值模型得到的單元彈性矩陣DM可以表示為

式中D0為微觀實體單元彈性矩陣。采用同樣的插值方法，宏觀單元彈性矩陣DMA可描述為

式中DH為等效彈性矩陣。等效彈性矩陣數值表達式可以用均勻化方法通過微觀尺度分析來計算，計算式為

式中： |Y|為 材料單元細胞的面積；I為一個 3×3的單位矩陣；b為應變-位移矩陣；u為微觀結構節點位移場。

1.2 并行設計拓撲優化模型

雙尺度拓撲優化的目的是宏觀上找到最優材料分布，在微觀上優化周期單胞。兩個尺度上的優化過程通過均勻化理論集成到一個系統中，分別在宏觀尺度和微觀尺度上進行計算。宏觀尺度上的設計變量是離散宏觀結構的單元相對密度，微觀尺度的設計變量是離散微觀結構的單元相對密度。本文以宏觀結構柔度為優化目標，以體積為設計約束，建立雙尺度拓撲優化數學表達式：

式中：C為平均柔度； αi為宏觀結構第i號設計變量；βi為微觀結構第j號設計變量；M和N分別表示在宏觀層級和微觀層級的有限元單元總數；Vi和Vj分別表示宏觀結構第i號單元體積和單元細胞第j號單元體積；V和Vc分別為宏觀結構體積和單元細胞體積大??；WMA和WMI分別表示宏觀和微觀上定義的體積分數；xmin為單元最小相對密度。

采用伴隨方法，C目標函數關于宏觀設計變量αi的靈敏度可表示為

其中

同理，目標函數C關于微觀設計變量 βi的靈敏度可表示為

其中

由式（5）和式（7）可知，目標函數在宏觀和微觀層面的敏感性是相互關聯的。宏觀結構的位移場是評價微觀結構設計變量的重要指標，而微觀結構的設計變量將改變宏觀結構的材料有效彈性張量。

2 數據的獲取和處理

本文中用于訓練神經網絡模型的數據集主要由多對最優微觀和宏觀構型及其相應的邊界條件、載荷和體積約束組成。數據集由常用的BESO 算法生成，設計域的大小為80 ×40，對拓撲優化的體積約束、負載和邊界條件設置如下：1）體積分數從0.5到0.8 之間的均勻分布中采樣得到，間隔為0.05；2）固定設計域的左邊緣作為邊界約束，力的施加位置從設計域右側的節點集合中選擇，力F= 1 kN，所施力的角度 θ ∈[0,175?]，每隔5°取一個測試點。根據上述參數設置，通過BESO 算法進行相應的計算，計算得到的最優微觀拓撲構型和最優宏觀拓撲構型分別保存在兩個文件夾中。把生成的數據中有錯誤的數據剔除，最終產生了10200 個數據對用于神經網絡模型的訓練。其中的一個負載和邊界條件及生成的多層級結構如圖2 所示。

圖2 邊界約束及相應的多層級結構Fig.2 Boundary constraints and corresponding multi-layer structures

由于本文使用了卷積神經網絡，因此需要把輸入信息轉化成適合卷積神經網絡的數據形式。由于本文使用的拓撲優化的設計域為80 ×40，因此總共由81 ×41 個節點。體積約束、負載和邊界條件通過圖片表示如圖3 所示。如圖3 所示，體積約束、邊界條件和負載都用含81 ×41 個像素點的圖片表示。這樣，對于邊界條件和負載，使用兩個數據矩陣表示X方向力和Y方向力的加載位置及約束位置，其中約束位置標記為“1”，加載位置分別標記為“Fx=Fsinθ ”, “Fy=Fcosθ”，其余位置則都標記為“0”，如圖3a）和圖3b）所示。對于體積約束，使用像素值全為體積分數值的圖片表示，如圖3c）所示。

圖3 X 方向力及邊界條件，Y 方向力及邊界條件， 體積約束Fig.3 X-direction force and boundary conditions, Y-direction force and boundary conditions, volume constraints

3 耦合神經網絡模型

本文主要目標是提出一個耦合深層神經網絡模型來加速跨尺度拓撲優化結構的生成。該耦合神經網絡模型結合了Resnet、U-net 架構和SEnet 中的注意力機制。由Resnet 模塊組成的U-net 是本文的主體網絡，而SEnet 中的注意力機制則加入到Resnet模塊中以提高網絡的精度。

3.1 Resnet、U-net 和SEnet 介紹

卷積神經網絡是一種特殊架構的前饋網絡，它的生物啟發類似于動物視覺皮層的組織，其中每個單獨的皮層神經元僅對受限視覺區域中的外部刺激做出反應。類似地，卷積神經網絡內部的卷積層包括多個卷積濾波器。每個過濾器都與來自上一層的輸入進行卷積，并生成特征圖作為下一層的輸入。卷積神經網絡主要由若干卷積層和池化層組成，在圖像處理方面有著十分出色的表現。然而，隨著卷積神經網絡深度的增加，其泛化能力沒有提升，反而下降。而Resnet 的出現解決了這一問題。Resnet中的殘差塊如圖4 所示。

圖4 Resnet 中的殘差塊示意圖Fig.4 Schematic diagram of residual blocks in Resnet

由圖4 可知，輸入經過非線性變換后，又加上了原來的輸入，這樣子就保證了輸入經過非線性層之后的結果不會比原來的結果差。因此，本文選取Resnet 作為主干網絡。

U-net 是一種全卷積的網絡結構，最初是為了解決圖像分割問題而被發現的。U-net 以其特殊的模型架構命名。U-net 包括一個下采樣過程和一個上采樣過程。下采樣過程和傳統的卷積神經網絡一樣，使用池化層將少圖片的維度，并隨著網絡的深入，逐漸提取全局圖像特征。而上采樣過程則分兩步進行：一是擴展特征圖大小的反卷積算子；二是concatenate 層，它結合了不同層次的特征，這樣子可以通過下采樣和上采樣獲得全局和局部特征。同時，輸出可以調整為原始圖像大小。因此，本文采用U-net 架構來生成跨尺度拓撲結構。

SEnet 是一種全新的圖像識別結構，它可以通過對通道的相關性進行建模來強化重要的特征而提高模型的準確性。SEnet 中一個模塊如圖5 所示。

圖5 SE 模塊示意圖Fig.5 Schematic diagram of SE module

SEnet 的計算過程主要分為3 步：

采用SPSS 23.0統計軟件進行數據分析。定量資料以均數±標準差(x±s)表示，先進行正態性分析;正態分布資料采用兩獨立樣本t檢驗、非正態分布資料采用兩獨立樣本Mann-Whitney U檢驗，定性資料用百分數(%)表示、采用卡方檢驗進行組間比較。當P＜0.05時表示差異具有統計學意義。

1）輸入X經過一次卷積操作Ftr后，特征通道數由c1變成了c2，得到U。

2）U經過全局池化Fsq降維，然后經過兩個全連接層Fscale為每個特征通道生成權重。

3）將第二步生成的通道權重逐通道相乘到U上。

通過這3 個步驟就可以自動獲取每個通道的重要程度，然后依據這個重要程度來增強有用的特征而抑制對當前任務無用的特征，從而實現通道的自適應校準，提高網絡的準確度。

3.2 耦合神經網絡模型的建立

耦合神經網絡模型架構和 Resnet-SE 模塊如圖圖6 所示。

圖6 耦合神經網絡模型架構 和 Resnet-SE 模塊Fig.6 Coupled neural network model architecture and resnet-SE module

建立如圖6a）所示耦合神經網絡模型，模型的輸入包含3 張圖片，分別是X方向力及邊界條件，Y方向力及邊界條件和體積約束，大小都為41 × 81。模型的輸出包含兩張圖片，分別為最優的宏觀構型和最優的微觀構型。如圖6a）所示，主體網絡模型的左邊部分由Resnet-SE 模塊和池化層組成，主要提取輸入圖片的特征信息和對圖片降維；網絡的右邊部分由上采樣和Resnet-SE 模塊組成，用來恢復被池化計算減少的數據維數，并采用通道堆疊操作分別將左邊對應層的輸出連接到當前層。通過采用這種特殊的U 形架構，可捕獲輸入的全局和局部信息，可以訓練模型以預測最優的多層級結構的演變。圖6b）表示了主體神經網絡中使用的Resnet-SE 模塊，它由批量歸一化處理、整流線性單元（ReLU） 、卷積層、全連接層和‘Sigmoid’激活函數組成。圖中右邊的通道表示SEnet 在Resnet-SE 模塊的實現，中間和左邊的連個通道則為Resnet 的實現。

4 結果分析

在建立了適合用于生成跨尺度拓撲結構的耦合神經網絡模型后，利用生成的數據樣本對模型進行訓練。共有102000 對數據作為訓練、驗證及測試數據。圖7 和圖8 展示了模型損失函數和準確率的收斂歷史。隨著訓練次數的增加，損失函數值逐漸降低，準確度逐漸增大，訓練和驗證過程的損失函數值和準確度的趨勢都一致且相差很小，訓練模型的總體質量較好，過擬合度在可接受的范圍內。

圖7 針對宏觀構型的訓練歷史參數的變化Fig.7 Changes in training history parameters for macroscopic configurations

圖8 針對微觀構型的訓練歷史參數的變化Fig.8 Changes in training history parameters for micro configurations

訓練過程完成后，通過使用與訓練數據集和驗證數據集不同的測試數據集來對模型進行最終評估。同時，Dice 系數也被計算來定量評價模型的性能，Dice 的定義表達式為

式（9）用來計算兩張圖片 [y,]（y表示真實的圖片，表示預測的圖片）的相似度。最后，通過從測試數據集中隨機挑選的最優跨尺度拓撲結構來與真實的最優跨尺度拓撲結構進行比較來進行定性評估。

表1 表示一些BESO 生成的跨尺度結構和耦合深度學習模型生成的跨尺度結構的比較及計算得到的Dice 系數（表中的例子為從測試集中隨機選取的10 個樣本）。結果表明，耦合深度學習模型生成的跨尺度結構與BESO 的結果幾乎一樣，深度學習模型在模擬BESO 的優化過程中有著很好的性能。計算深度學習模型生成的跨尺度結構和BESO 的結果的Dice 系數，無論是宏觀結構還是微觀結構，Dice 系數均在0.93 以上，其平均Dice 系數分別為0.954 和0.946。Dice 系數表明提出的深度學習模型生成的多層級結構與BESO 的結果的相似性在93%以上，耦合深度學習模型生成的最優多層級結構是非?？煽康?。

表1 深度學習模型和BESO 方法生成的二維多層級拓撲優化結構的比較（從測試集中隨機選取的10 個樣本）Tab.1 Comparison of 2D multi-level topology optimization structures generated by deep learning models and BESO methods(10 samples randomly selected from the test set)

表2 對耦合深度學習模型生成最優跨尺度拓撲結構的計算時間和基于有限元的BESO 方法生成最優跨尺度拓撲結構的計算時間進行了對比（表中數據為表1 中的10 個樣本對應的計算時間）。

表2 有限元方法與耦合深度學習方法計算時間的比較Tab.2 Comparison of computational time between finite element method and coupled deep learning method

由表2 可知，對于有限元方法，生成一個最優跨尺度拓撲結構的平均時間為143.56 s，而對于深度學習方法而言，從讀取數據、生成結構、計算Dice 系數及保存數據，平均時間為5.37 s，相對于有限元方法節約了96%的時間，本文提出的耦合深度學習方法在效率上遠遠優于傳統的有限元方法。綜上所述，本文提出的耦合深度學習方法能在保證結果的高準確性的情況下，高效的生成最優跨尺度拓撲結構。

5 結論

本文提出了一種能快速生成基于各種邊界條件下最優微觀和宏觀拓撲結構的耦合深度學習方法。作為一種數據驅動的方法，該耦合深度學習模型由BESO 生成的數據樣本進行訓練，以獲得用于生成跨尺度拓撲結構的神經網絡結構。與傳統的基于有限元方法的結果相比，該耦合深度學習模型生成的結果的準確性在93%以上，深度學習模型生成的結構與BESO 生成的結構幾乎一樣。與此同時，深度學習生成跨尺度拓撲結構的時間比基于有限元的BESO 方法節約了96%以上，大幅提高了跨尺度拓撲優化的效率。