非定常流場時程重構的深度學習方法

戰慶亮，白春錦，吳智虎，葛耀君

（1.大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧大連 116026；2.同濟大學橋梁結構抗風技術交通行業重點實驗室，上海 200092）

0 引 言

高分辨率的流場數據對于流體力學的研究至關重要，如船舶繞流分析[1-2]、海洋結構的繞流[3-5]及流固耦合問題研究等。然而，高分辨率流場的直接獲取往往存在一些困難：在數值模擬領域，實現高分辨率的流場數據需要增加計算網格的密度，而這也伴隨著求解效率的降低；在流體實驗方面，流場中的某些位置可能無法布設傳感器，而PIV 方法仍難以實現大范圍的三維全場測量。針對這些問題，本文提出一種基于深度學習的高分辨率流場重構方法。

深度學習方法能夠有效地分析復雜數據的內在規律，因而在處理流場的強非線性特性方面具有突出優勢，為流體力學的研究提供了新的方法[6]。例如在基于數據建模的湍流模型研究中發揮了重要作用[7]，將數據與物理信息相結合可得到更高精度的湍流模型[8]，是一種重要的新的研究方法[9]。另一方面，深度學習方法在復雜流動的模態分解[10]、流固耦合分析[11]等方面得到了應用。同時，深度學習方法也可用作偏微分方程的求解新工具[12]，進一步實現流場與結構的耦合分析[13]。

深度學習方法也成為了流場重構問題的新的研究方法與熱點[14-15]。例如Maulik 等[16]提出了單層前饋人工神經網絡模型，可以將低分辨率且包含噪聲的流場數據還原得到可靠的高分辨率流場；Fukami[17]提出了混合下采樣跳過多尺度模型，同樣實現了由低分辨率圖像重建高分辨率的湍流流場數據，且該方法能較準確地保留湍流動能譜；Liu[18]提出的多時間路徑卷積神經網絡以速度場時間序列作為輸入，融合了連續流體場的時空信息，可精確提取時間相關信息，成功用于湍流和各向異性通道流的超分辨率重構；Kim[19]借助循環一致生成對抗網絡成功地克服了監督學習的數據配對要求，能夠使用未配對的湍流數據進行訓練，以實現湍流場的超分辨率重建。

前述深度學習技術專注于處理流場的實驗數據或模擬數據快照，運用圖像重構技術以完成數據處理。本文從時程數據的特征提取與表征方式出發進行流場重構，其中文獻[20-22]對流場時程特征的提取方法開展了研究，為本文的重構模型提供了依據。本文通過建立非定常流動數據的低維表征模型，構造物理空間與編碼空間的對應關系，并采用解碼器生成新的時程數據，方法面向時程數據且具有較高的時間維度準確性，相比于傳統基于快照的重構方法具有一定的優勢。

1 非定常流動的低維表征模型

流體受到固體表面的干擾后，會形成復雜的流動分離等現象，導致流場中不同區域內的流動特征各不相同，這種非定常流動系統不僅具有高度復雜性還蘊含了豐富的流動特征。前期的研究結果表明，一維卷積的深度學習模型可以準確地捕捉到時程的流動信息，并以更低的維度表征這些特征。因此，對時程的流動信息進行準確的低維表征是流場高分辨率重構的關鍵。在此基礎上，本文提出基于一維卷積流場時程自動編碼（flow time history autoencoder,FTH-AE）的流動低維表征模型，將高維時序特征映射到低維抽象空間內，簡化流動系統的復雜度。

圖1所示模型結構包含五個主要部分，即輸入層、卷積編碼層、特征代碼層、卷積解碼層以及輸出層。輸入層接收流場不同位置處的時程數據x，經過編碼過程以提取和壓縮特征，進而獲得低維特征向量λ；隨后，特征代碼經由卷積解碼層進行還原，以產生與輸入時程信號相等的輸出x'。

圖1 FTH-AE模型結構示意圖Fig.1 Architecture of FTH-AE model

為保證時程特征重構的準確性，在構建FTH-AE 模型時，首先根據流場及其樣本特征，選擇合適的卷積編碼器結構；其次，編碼器與解碼器需滿足下式的變換，來保證特征代碼λ可以準確表征輸入x的特征：

式中，Fe表示卷積編碼器，Fd代表卷積解碼器，x為輸入的流場時程數據，λ為流場時程的特征編碼。由其結構可知，在FTH-AE 模型中輸入數據與輸出數據具有相同的屬性，即兩者時程的長度與采樣間隔是相同的。本文的FTH-AE 模型采用無監督學習訓練方法，模型輸出時程后利用反向傳播算法使其與輸入時程盡可能相同，進而保證特征向量λ最大程度地保留了原有的數據信息。編碼器中卷積層對輸入數據的計算過程為

式中，T為輸入數據的長度，l為卷積核的大小，K為當前層的卷積通道個數。在計算過程中，各通道采用了“共用權值參數w”的方法，在減少模型參數個數的同時共享了偏置矩陣b?；诹鲌鰰r程的編碼卷積計算原理如圖2 所示，編碼器通過卷積層從輸入時程中逐層提取特征，且層數越深，特征的維度越低，抽象程度越高。在訓練后，如果模型的輸出數據與輸入數據近似相等，則表明高維數據已成功映射到低維特征向量λ中。

圖2 時程卷積的計算過程Fig.2 Time-convolutional calculation procedure

2 流場時程數據的生成方法

FTH-AE 模型建立了流場時程數據到其自身低維表征的映射關系，其中低維的特征向量λ、編碼器與解碼器共同實現了整個流場時程數據的低維表征。編碼器建立了流場中不同位置處時程樣本到低維度編碼空間的映射，而解碼器則將編碼空間中的低維向量還原成物理空間對應位置處的時程信號。因此，求解出物理空間中任意點映射在編碼空間的低維度特征向量，即可通過解碼器生成該位置的流場時程樣本，其原理如圖3所示。

圖3 時程的生成原理Fig.3 Generation method of FTH

如圖3所示，已知物理空間中測點P1與測點P2的空間坐標位置及其時程樣本，則可以通過編碼器獲得兩個樣本在編碼空間中的編碼P1'和P2'。對于物理空間中P1和P2附近的未知點r，即r點處的流場時程是未知的，此時可以根據P1、P2與r之間的幾何關系，由P1'和P2'構造得到編碼空間的r'，利用r'和解碼器還原得到物理空間r處的時程樣本，即平均向量組合法（average vector combination，AVC）。具體做法為：在r附近選擇多對已知樣本點，其坐標分量分別為pi與qi，采用兩個物理空間中的已知樣本點向量構造待求r向量，αipi+βiqi=r，從而得到編碼空間中待求像的位置為

式中，n表示所進行平均的組數。

3 算例與分析

本文以低雷諾數下的圓柱繞流場為例，采用數值模擬方法獲得流場數據，驗證方法的準確性。計算域如圖4 所示，雷諾數ReD=200。其中圓柱的直徑為D，計算域的順流向長為44D，橫向長度為48D，上、下游長度均為22D。圓柱周圍矩形區域內使用較密的非結構化三角形網格，距離圓柱較遠的區域使用較稀疏的網格。左側為來流入口邊界，右側是壓力出口邊界。

圖4 整體及局部的網格劃分Fig.4 Global and local meshes distribution

考慮到圓柱周圍區域的流場特征更加豐富多樣，在圓柱周圍選取了6892 個測點，均勻分布在流場計算網格密集的矩形區域內，測點分布如圖5所示。在流場計算的每個時間步結束時，輸出各測點的流向速度與橫向速度，得到兩物理量的時程集合。

圖5 測點位置示意圖Fig.5 Location of sampling points

3.1 FTH-AE模型參數

FTH-AE 模型參數如表1 所示，編碼器中三層卷積層的核數為128、64 與16，并使用尺寸為13 的大卷積核來獲得更大的局部視野。經過卷積層逐層提取特征后輸出樣本的尺寸為1000×16。為了保留卷積權重與時程序列之間的對應關系，本文使用Flatten 層附加通道數為2的全連接層進行降維，最終將單個時程樣本壓縮為2 維空間中的一點。由于自編碼器具有對稱性，模型的解碼部分各參數與編碼部分相對應。

表1 自動編碼特征降維模型參數Tab.1 FTH-AE model parameters

本文在訓練時使用無監督學習模式，并在流場時程數據中隨機選取50%的樣本進行訓練，另外的樣本用作模型預測結果的驗證集。模型優化器為Adam并設置學習率為默認參數，可通過自適應調整學習率加速模型收斂。模型訓練時，Batch_size 大小設置為4，損失函數采用均方誤差MSE，網絡各層的激活函數均為ReLU。訓練次數為200次的Loss 曲線如圖6所示，隨著迭代次數的增加，網絡在訓練50 次時Loss 曲線開始趨于穩定，訓練100 次后Loss 曲線達到收斂值0.0005，訓練結束后保存Loss值最優模型。

圖6 FTH-AE模型的訓練損失值Fig.6 Loss of FTH-AE with respect to epoches

3.2 模型表征的準確性驗證

FTH-AE 模型在訓練過程中不需要帶有標簽的樣本，也不需要成對的樣本，其訓練目標是自身的解碼誤差最小。本文選用MSE 損失函數來衡量模型輸入時程與輸出時程的差異，損失值越小說明網絡對輸入數據特征提取越精準。為了直觀展示模型的準確性，本文在整個流場區域隨機選取了3條參數U、V的樣本并比較原始曲線與模擬曲線的差異值。由圖7 可知，原始數據與由低維編碼還原得到的時程曲線差異很小，兩條曲線幾乎重合，說明模型可以準確地提取到流場中各個測點處數據的低維度特征，驗證了降維模型的可行性。

圖7 原始時程與FTH-AE模擬的時程Fig.7 Original samples and FTH-AE result

為驗證整個流場中的模型解碼精度，本文將各點位置處的輸入時程與解碼時程之間的相對誤差進行無量綱化，記為Rerr（relative error），

式中，x為原始輸入時程，x'為輸出的解碼時程，n為時程長度，max 與min 分別為時程的最大值與最小值。由于數據集中的時程曲線形態多樣，相對誤差Rerr更加合理地表示了各點誤差與時程振幅之間的相對關系，直觀地展示出解碼時程對原始時程的擬合準確性。

將所得到的誤差值賦予不同顏色并按照測點坐標繪制散點圖，如圖8 所示。其中綠色、藍色、黃色、橘色和紅色分別表示誤差值為0～0.1、0.1～0.15、0.15～0.2、0.2～0.3 和0.3～0.5 的區域。由圖可見，FTH-AE模型很好地對輸入時程數據進行了低維表征，并準確地解碼還原了輸入時程。

圖8 模型解碼的誤差分布圖Fig.8 Error distribution of model reconstruction

3.3 模型預測的準確性驗證

進一步對驗證集中的測點物理坐標進行AVC 組合，獲得這些點在編碼空間中的坐標集。對坐標集中的編碼坐標進行FTH-generate 解碼預測，獲得各點處的預測時程。同樣隨機選取了6 條預測時程，與CFD計算值進行了比較，如圖9所示。

圖9 模型的預測曲線Fig.9 Original samples and FTH-AE result

對比圖9中的結果可發現，本文方法成功地對時程進行了預測，并求得各時程預測結果的相對誤差，列于圖10。比較圖10 和圖8 可知，預測時程的精度要低于還原時程精度，尤其在上游來流區以及圓柱壁面附近，相對誤差較大。主要原因可分為兩方面：一方面根據相對誤差的定義，由于上游來流區域的流場波動較小，導致式（4）時程的最大值與最小值相差較小，因此相對誤差較大；另一方面，圓柱表面附近流動梯度較大，在訓練樣本較稀疏的情況下流場的預測時程難以準確預測分離區內部流場的變化，導致相對誤差較大。

圖10 模型預測誤差分布圖Fig.10 Error distribution of model prediction

進一步地，對所有預測的流場時程數據取同一瞬時的值，就可以得到整個流場的瞬態結果，見圖11。其中圖11（a）和（d）分別為流向速度與橫向速度的輸入樣本分布，圖11（b）和（d）為FTH-AE 模型的預測結果，圖11（c）和（f）為CFD 計算結果。由圖中結果可以發現，本文方法成功地對稀疏的輸入流場進行了較準確的重構，然而在部分位置預測結果出現了一定差異，計算方法仍需改進。

4 結 論

本文提出了一種基于流場時程的FTH-AE 模型，通過其實現了復雜流動的低維表征，并進一步實現了流場時程的重構，得到以下結論：

（1）本文提出的FTH-AE 模型，可較準確地將全場的流場時程投影到低維編碼空間中，實現層流流場的低維表征。

（2）利用FTH-AE 模型結合AVC 向量映射方法，可實現未知測點處流場時程的重構，并對ReD=200的圓柱繞流問題成功地實現了流場時程重構。

（3）本方法是一種無監督學習方法，無需高空間分辨率樣本，可廣泛應用于基于單點時程的流動測量數據中，是一種全新的方法。