基于空間光調制器的艾里光束能量調制方法

翟中生,陸佩佩,劉春利,張 駱

(湖北工業大學機械工程學院現代制造質量工程湖北省重點實驗室,湖北 武漢 430068)

1 引 言

1979年,Berry和Balazs等人求解薛定諤方程得到的一個特殊解[1],此特殊解為艾里函數。在近軸近似條件下,決定光場行為的麥克斯韋方程可以簡化成薛定諤方程形式。Christodoulides 和他的學生便是通過這種方式將艾里光束引入到光學領域中。然而,遵循該解的粒子和波前因攜帶無窮能量,不能存在于現實中。直到2007年,艾里光束被Siviloglou等人在實驗中實際產生才重新開啟了對它的研究[2]。艾里光束也在同年被其和Siviloglou 等人在實驗中產生[3],許多奇異和獨特的特征也被發現,包括無衍射、自加速和自愈合[4-7]。二維艾里光束在一定傳播距離內表現出橫向自加速和近似無衍射的特性[8]。由于艾里光束所具有的這些奇特的光學特性,吸引了人們的廣泛關注。在經過十多年的研究,人們對艾里光束的研究、應用已有重大突破,基于它的三大光學特性,艾里光束在光鑷、光彈、超分辨率顯微成像和等離子體激元等諸多領域都有廣泛的應用[9-15]。

純相位空間光調制器(SLM)由于其高衍射效率,被廣泛應用于全息圖的加載與顯示[16-17]?；诳臻g光調制器改變全息圖與入射光的相對位置可以對艾里光束的軌跡和能量進行調制[5],但是這種方法需要手動調試位置,操作難度大。因為調制難度大之后大多數研究偏向于軌跡控制,可以通過建立自彎曲信號傳輸的高速自由空間光通信系統來產生并控制艾里光束以獲得不同的傳播軌跡;當艾里光束給定初速度且與加速度相反時,艾里光束將經歷先減速后加速的過程,通過探究初速度與加速度的關系可以改變入射角大小來控制軌跡[17]。

本文提出了一種可對艾里光束能量進行可控調制的方法,該全息圖是基于立方型相位掩模的基礎上改進的,可以對艾里光束能量的位置進行任意調制,為囚禁原子和超快激光微納加工等領域提供了一些可能的研究方向,并且還能為光學通信、光束整形、光學成像等應用領域設計相應的相位分布算法和系統架構,為研究新型的空間光調制器技術以提高光場調控系統的分辨率、速度和穩定性也具有一定啟示。

2 理論推導

本文可以使用數學模型來描述液晶空間光調制器的過程。在液晶空間光調制器中,液晶分子的雙折射性通過施加電壓來調制入射光束的相位。改變液晶像素分子上施加的電壓會導致液晶分子和電場之間形成不同的夾角。這個夾角會改變液晶分子的指向矢量和入射光的偏振方向之間的夾角,從而改變液晶的有效折射率(或反射率),進而改變光線在液晶中傳播的相位。入射光的相位變化量由以下公式給出:

ΔΦ=(π/λ)·Δn·d

(1)

其中,V為施加在液晶像素上的電壓;θ為液晶分子的指向矢量和入射光的偏振方向之間的夾角;no為液晶在零電場下的折射率;ne為液晶在電場作用下的額外折射率;Δn=ne-no為液晶的雙折射率變化量;d為液晶層的厚度;λ為入射光的波長。

為了研究類艾里光束的行為,先從考慮傍軸衍射方程開始分析,該方程控制與平面光束相關的電場包絡φ的傳播特性有關。

(2)

式中,i為虛數;φ為艾里光束的電場包絡;s=x/x0為橫向坐標;x0代表任意橫向尺度,會影響艾里主瓣尺寸大小;ξ=z/kx02為傳播距離;k=2πnn/λ為波數;n為介質折射率;λ為波長。對式(2)進行直接求解,可以得到艾里函數解:

(3)

其中,Ai(·)為艾里函數,表達式如下:

(4)

公式(3)作為波函數可以用來描述粒子的運動特性,在初始條件下,艾里光束的振幅分布可以描述為φ(s,ξ=0)=Ai(s),所以在初始條件下艾里波包為標準的艾里函數。在艾里函數上添加一個指數截斷函數便可對無限艾里光束進行衰減得到有限艾里函數。指數截斷函數通常具有以下形式:

f(x)=exp(-x2/w2)

(5)

其中,x是空間坐標;w是截斷參數。函數在x趨近于無窮遠時逐漸趨近于零,從而實現對光場的截斷效果。通過調整截斷參數w的大小,可以控制光場的截斷程度。在實際應用中,添加指數截斷函數可以幫助提高空間光調制器的性能和穩定性,減小由于光場在傳播過程中產生的衍射效應和畸變問題,從而改善激光的聚焦效果和傳輸質量,使艾里函數具有實際意義,則有限艾里光束的一維場分布為:

φ(s,ξ=0)=Ai(s)exp(as)

(6)

式中,a是衰減程度常數,當a=0時,為理想艾里光束的精確解形式,當a>0時起到衰減作用,a值越大衰減程度越高。有限艾里光束的傅立葉光譜,其在歸一化k空間頻譜由φ1給出:

φ1(k)=exp(-ak2)×exp(i(k3-3a2k-a3i)/3)

(7)

這類光譜也可以推廣到二維情況:

(8)

式中,kx,ky分別是x和y方向上對應的波矢。

基于上面的討論,函數Ai(x)exp(ax)的傅里葉變換是用三次相位exp(k3/3)調制的高斯光束;這里相位函數激發了我們的想法。如果能構造相應的調制相位,就可以得到任何所需的強度分布。如果合理地修改立方相位,以產生能量可調諧的艾里光束,將可控相位引入公式(6)得到下式:

(9)

式中,φr=exp(i(6kx2ky-ky3))是對立方相位修改的相位項,φm=exp(-i6vky/2)是能量調制相位項,可以通過改變能量調制參數v對艾里光束進行能量調制。然后基于角譜衍射理論利用快速傅里葉變換計算得到傳播距離z后的復振幅光場表達式U(kx,ky,z):

U(kx,ky,z)=?A(kx,ky,z)·

exp[i2π(xkx+yky)]dkxdky

(10)

A(kx,ky,z)=φ3(kx,ky)·

(11)

3 能量可調諧艾里光束仿真分析

根據角譜衍射規律,可以知道隨距離傳播的艾里光束能量的流向,取v=-2,0,2時的頻譜生成全息圖進行測試,以焦平面(能量最高)為初始平面觀察其前后不同距離處艾里光束的變化規律,如表1所示。當v=0時,φm=1不起調制作用,φr對立方相調制生成調制艾里光束,在初始平面,艾里光束保持完整的相交形狀且主瓣能量最高,隨著遠離初始平面,主瓣的能量逐漸向內部流動且次級旁瓣與主旁瓣有一個失衡又恢復的過程,不變的是各個位置的主瓣能量仍是最高的,還有全息圖并不是完全左右對稱,所以艾里光束在傳播過程兩側能量分布不是完全對稱的。當v=2時φm和φr均起調制作用,距離初始零平面越遠,能量流動越明顯,在初始零平面前,主瓣能量內流,隨著距初始平面越遠主瓣能量越弱,尖銳的波前分布隨著傳播距離的增加逐漸演變成平滑的弧形。相反,在初始零平面后,內部能量流向主瓣,隨著距初始平面越遠主瓣能量越強最后維持穩定。同理,當v=-2時與當v=2時能量流動情況相反。

表1 調制艾里光束隨距離變化的光場演化

因為能量流動的方向不同使其主瓣能量可以調控,根據角譜衍射定律仿真了v=-2、0、2時頻譜生成的全息圖的軸向能量分布,如圖2所示。當v=0時,初始平面能量最高,然后越遠離能量越弱。v≠0時,在類艾里光束的基礎上對其能量進行調制并與v=0對比來觀察能量的轉移規律。當v<0時,從整個傳播軌跡來看,與v=0相比能量偏向了左邊,直觀來看就是圖1(a)所示;當v>0時,從整個傳播軌跡來看,與v=0相比時能量偏向了右邊,直觀來看就是圖1(c)所示。此方法會使艾里光束的傳播軌跡由平面轉到三維空間,但是能量調制的效果是顯然的。

圖1 調制艾里光束相位圖與光強分布

圖2 調制艾里光束相位圖與光強分布

接著,詳細探討了不同數值調制參數v與能量分布調制移動范圍的關系,因為v值的正值與負值是對稱分布的,所以選取v=0、1、2時的相位全息圖根據角譜衍射理論計算了其傳播過軌跡與光強分布,如圖2所示,圖中虛線橢圓框表示能量移動的方向與距離,虛線橢圓框垂直引下的虛線是映射到弦長的能量移動的位置。隨著v值的增加,能量持續右移,以能量分布移動比為標準進行量化調制參數v與能量分布調制移動范圍的關系,能量分布移動比ηp為:

(12)

式中,xn是v值對應的能量移動的位置,x是移動軌跡總長度的一半。通過仿真數據可知x=32 mm,x1=8.8 mm,x2=16 mm,根據能量分布移動比計算可知ηp1=27.5%,ηp2=50 %。因為能量偏移是一個范圍,所以能量調控參數v每改變單位數,能量的移動比約為25 %。

4 實驗結果與分析

可調控能量的艾里光束可通過對其頻譜進行傅里葉變換得到,實驗中使用1064 nm的納秒光纖脈沖激光器(RFL-P20QE,光束直徑:D=6.4 mm,脈沖持續時間:tp=134 ns,重復率fr=60 kHz)產生隨機偏振激光束,激光束穿過半波片和偏振分光棱鏡變為線偏振光水平出射,然后被計算機控制的具有10°入射角的液晶空間光調制器(Hamamatsu X13138-9625,1024×1280 Pixels,像素大小為12.5 μm,填充率97 %)反射,用于產生連續調諧相位圖案。在空間光調制器之后,兩個平凸透鏡(焦距:f1=500 mm,f2=300 mm)形成4f成像系統,光束的縮小率約為1.7×。相位調制的波前然后由傅里葉透鏡(f3=75 mm)進行傅里葉變換。最后,沿z軸的強度分布由焦平面后面的CCD記錄。實驗光學系統如圖3所示。

圖3 光學實驗系統

通過實驗驗證軸向能量調控的效果,將生成的全息圖加載到空間光調制器上進行實驗測試,選取了v=-2、0、2時全息圖并在不同傳播位置處的艾里光束光場分布進行對比,測試結果如圖4所示。

圖4 隨距離傳播的調制艾里光束光強分布

因為實驗測試是先經過空間光調制器再經過4f系統的,而此時的4f系統相當于一個縮束系統,所以其光場分布相當進行了一定比例的壓縮,但總體的規律趨勢是不變的。v=0時,在傳播過程中主瓣始終保持最高的能量,在對稱的位置處的主瓣能量大致相同,但是φr對立方相的位調制作用使得艾里光束并不是垂直相交分布,所以在到達某一位置時能量會有向一側偏移的現象,這也是與仿真相符的;當v=-2時,仍然是初始位置能量最強,不同的是會多出兩條燕尾旁瓣與原先的兩條相交于主瓣,隨著距離的傳播,多余的兩條燕尾旁瓣會逐漸消失,與v=0時相比較,在-12 mm位置處主瓣的形狀保持完整且能量變強了,而在-12 mm位置處主瓣與旁瓣融合且能量變弱了,說明主瓣能量在整個傳播過程發生了轉移;同樣,當v=2時,主瓣能量在整個傳播過程發生了轉移且轉移方向正好相反。通過前面分析可知,這是因為主瓣與旁瓣之間的能量流動造成的,與仿真相符。

實驗選取v=0,1,2時的相位全息圖進行測試驗證調制參數v與能量分布調制移動范圍的關系,選取較高峰值(0～255)的區域來代表能量并記錄其坐標范圍,記錄數據如表2所示。隨著v值的增加,能量持續右移,與仿真結果一樣。實驗數據根據能量移動比可知參數x=24 mm、x1=6 mm、x2=12 mm,因為試驗系統有4f縮束系統且軌跡長度會根據傅里葉透鏡焦距不同而不同,所以實驗中艾里光束的傳播軌跡比仿真的要短一些。根據計算可知ηp1=25%,ηp2=50 %,由此可知,能量調控參數v每改變單位數,能量的移動比為25 %。此實驗結果與仿真結果有很好的一致性。

表2 調制相位圖水平位移的高能量區域峰值強度

5 結 論

本文研究了如何對艾里光束的能量進行調控,通過合理地修改立方相位,得到了能量可調諧的艾里光束。通過相關生成理論、光場演化仿真分析和實驗的對比,驗證了該方法的正確性,它能夠實現艾里光束在軸向能量的任意調控,且能量調控參數v每改變單位數,能量的移動比約為25 %。但因為立方相位不是對稱的,所以艾里光束的兩旁瓣是非正交的,在傳播過程中不能完全保持它們的形狀,但主瓣的強度仍然很強。調制后的艾里光束仍然具有無衍射的能力,只是這種能力與普通艾里光束相比相對較弱。