一種艦船高精度感應磁場快速正演建模方法

何保委 孫兆龍 劉月林 周國華 唐烈崢

一種艦船高精度感應磁場快速正演建模方法

何保委 孫兆龍 劉月林 周國華 唐烈崢

（海軍工程大學電氣工程學院 武漢 430033）

為了解決矢量積分方程法計算艦船感應磁場時效率較低和計算量較大的問題，提出一種基于簡化標量磁位的積分方程正演模型，并引入多層自適應交叉近似（MLACA）算法，不僅能夠保證磁場計算精度，還能大幅減少計算機的內存需求和計算時間。數值仿真表明，使用基于MLACA的標量積分方程法能夠快速獲取高精度的鐵磁物體感應磁場。針對艦船鐵磁材料的磁性參數不易獲取的問題，基于磁場實測值和正演耦合模型，以磁場擬合度、磁化率先驗分布和光滑約束條件為目標函數建立磁化率反演模型，并采用模擬退火（SA）算法優化得到等效磁化率的空間分布。球殼數值仿真和船模試驗結果表明，磁化率反演優化模型有效可行，其中球殼磁場的預測誤差為2.2%，船模磁場的預測誤差約為4.8%。

艦船磁場 簡化標量磁位 多層自適應交叉近似 模擬退火法 等效磁化率

0 引言

大多數艦船由鐵磁材料制成，在地磁場的磁化作用和其他因素的影響下會產生艦船磁場，成為被攻擊或監視的信號源，因此，全面、準確地了解和掌握艦船磁場的空間分布特性是實施磁防護措施的重要前提，也是磁隱身技術的一項重要研究內容[1-2]。艦船磁場按照產生機理可以分為鐵磁性磁場、渦流磁場、雜散磁場和極低頻磁場等。而鐵磁性磁場又包含了感應磁場和固定磁場兩類[3]。獲取艦船固定磁場和感應磁場的一般做法是利用艦船下方的磁傳感器陣列直接測量艦船在不同外磁場作用下產生的磁場并進行分解計算[3]，但是該方法要求艦船左右大致對稱，且在測量過程中艦船的位置不能出現較大偏移，測得的也僅為有限的磁場信息。若想得到艦船的空間磁場分布，還需要利用有限的測量點磁場值再次進行延拓和換算。針對測量法這一弊端和通用性不夠的問題，需要研究數值建模方法來計算得到更加精確的艦船全空間磁場。艦船感應磁場與地磁場的大小、方向以及材料磁導率等因素有關，對于非規則的鐵磁物體來說，可以使用等效源法[3-6]、邊界元法[7]、有限元法[8]和積分方程法[9]等數值方法進行建模。因此，本文主要研究艦船感應磁場的建模和計算方法，進而為艦船磁性設備的位置選定、磁性處理、消磁系統設計等提供幫助。

艦船感應磁場的計算歸結為開域問題，而對于開域的靜磁場計算問題來說，由于積分方程法僅需對鐵磁區進行離散，且不需要考慮邊界條件和可以求解連續函數等的優點，受到廣泛關注和應用。國內，Fan Mingwu等[10]提出了三維靜磁場的矢量積分方程法；倪振群等[11]將該方法應用于艦船感應磁場的計算；周國華等[12]、郭成豹等[13]、朱武兵等[14]使用非規則體單元、面單元對艦船幾何結構進行網格離散，研發了用于計算艦船感應磁場的工具包；何保委等[15]使用標量磁位建模提升了求解精度。針對在感應磁場求解過程中鐵磁物體磁化率難以確定的問題，郭成豹等提出了利用試驗樣品的磁性參數替代的方法[16]，周國華等則提出一種利用粒子群算法對磁化率進行優化的模型[17]，為艦船感應磁場的正演計算奠定了基礎。國外，C. W. Trowbridge等[18]早在1970年間就將積分方程法用于求解物體的電磁場；O. Chadebec等[19]首次將積分方程法引入薄殼體艦船模型的閉環消磁算法建模當中；S. Guerin[20]和Y. Vuillermet[21]研究對比了以磁化強度、點磁荷、切向磁偶極子為磁源的感應磁場建模方法。近年來，法國Grenoble Alpes大學的研究團隊陸續提出了新的關于積分方程法的加速改進算法和耦合算法[22-24]，在減少網格數量的同時提升了磁場計算精度?？偟膩碚f，積分方程法已經廣泛應用于磁場計算領域，但是求解時間過長和對計算機配置要求較高等問題還有待進一步改善。

本文以艦船感應磁場的計算為研究背景，提出一種改進型標量積分方程法。首先，通過選取三角形單元離散薄殼體，依據插值原理[25]將計算點由單元中心點轉移至節點，推導得到了基于標量磁位的積分方程公式。其次，在求解稠密耦合系數矩陣的逆運算時，為減少計算機的內存需求和計算時間，引入了通用性較強的多層自適應交叉近似（Multi- Level Adaptive Cross Approximation, MLACA）算法和廣義最小殘差（Generalized Minimal Residual, GMRES）法，將源點和場點按照相對位置進行分組計算。由于感應磁場正演需要已知鐵磁材料的磁性參數，考慮到臨近單元的磁化率應當平滑過渡。然后，基于磁場實測值和正演耦合算法建立了等效磁化率的反演模型，以磁場擬合度、磁化率先驗分布和光滑約束條件構建目標函數，采用模擬退火（Simulated Annealing, SA）算法對磁化率尋優求解，在具有磁場解析解的鐵質球殼上進行數值仿真對比驗證。最后，將本文所提出的高精度感應磁場建模方法應用于一艘磁性參數未知的縮比船模進行試驗研究，通過將測量值和實測值進行比較，最后得出結論。

1 基于標量磁位的感應磁場正演建模方法

1.1 標量磁位積分公式

在艦船內部，假設船體鐵磁材料各向同性，即

圖1 地磁場作用下的艦船離散單元模型和感應磁場方向

基于疊加定理，空間任意一點的磁位為所有離散單元在該點產生的磁位的代數和。聯立式（3）～式（6），可以得到

1.2 離散單元的選取

（1）從離散單元來看，使用面單元要比體單元更加適應薄殼體的剖分。

（2）對于同一艘艦船或者薄殼體，使用面單元離散后的單元數量相比較于體單元數量能夠大幅減少，從而提高求解速度、降低計算機的內存需求。

不失一般性，采用如圖2所示的三棱柱作為離散單元，此時式（8）仍然適用，并且可以轉化為

圖2 三棱柱離散單元

考慮到薄殼體結構的厚度e相比于長度和寬度都小得多，因此可以使用三角形面單元對艦船的薄殼體結構進行離散，從而得到

（12）

1.3 三角形線性插值

觀察式（12）的被積函數，需要對未知的標量磁位求梯度，因此需要消去該梯度算子?；谌切螁卧木€性插值原理[25]，可以將單元內部的標量磁位用插值函數和節點標量磁位來表示，即

聯立式（12）～式（15），可以得到

式（5）和式（18）組成了基于面單元求解艦船感應磁場的標量磁位積分方程法公式。首先以地磁場作為左端的輸入項，通過求解該代數方程組可以得到每個離散單元的標量磁位，然后再求解空間任意場點的磁場值。

1.4 計算耦合系數矩陣

式中，為局部坐標系的軸與全局坐標系的軸的夾角，=，=。全局坐標系和局部坐標系的位置關系如圖4所示。

至此，基于標量磁位的薄殼體感應磁場正演建模方法和公式已經給出。為了體現標量建模方法相比于矢量建模方法的優越性，參照式（18），直接給出以磁感應強度為待求量的積分方程作為后續對比研究，其表達式為

2 基于MLACA的加速求解方法

2.1 MLACA算法原理

MLACA為一種矩陣壓縮算法，它將離散單元劃分為近場組和遠場組兩類，對于近場組的單元采用直接計算方法，對于遠場組的單元采用兩個滿秩矩陣的乘積來近似表示，其原理為

為了使得近似矩陣盡量逼近精確矩陣，定義殘差計算公式為

2.2 基于MLACA的感應磁場正演流程

MLACA算法的優點在于它是純數學方法，不會涉及積分方程核函數的展開和變換，所以適用于各種不同核函數的積分方程組，通用性較強，直接給出MLACA算法應用于標量磁位積分方程法的磁場正演流程[29]。

1）網格離散。對鐵磁目標進行幾何建模和網格剖分，獲取單元和節點的信息。

2）建立八叉樹。將鐵磁目標所占空間按照八叉樹模式劃分為多個小區域，以層數=2為例，鐵磁區域空間一共劃分成了64個小立方體，每個立方體包含了一組場點或源點的集合，若64組點的集合相互作用，得到的是一個64×64的矩陣塊。在該矩陣中，近場區為位于對角線的矩陣塊，是滿秩矩陣；遠場區為非對角線的矩陣塊，是低秩矩陣。按照近場區和遠場區的劃分，分別采用直接求解方法和調用MLACA算法求解系數矩陣。

3）對遠場區調用MLACA算法。

4）采用廣義最小殘差（GMRES）法求解式（18），輸出值為單元節點的標量磁位。

2.3 鐵質球殼模型數值仿真

為了檢驗標量磁位積分方程法結合MLACA算法的應用效果，本文給出了具有磁場解析解的鐵質球殼算例進行驗證。為了排除網格疏密帶來的影響，分別采用不同的網格密度對球殼模型進行剖分，用于檢驗所提出算法的計算精度、運行速度以及對計算機所消耗內存的壓縮程度。

鐵質球殼模型及測量點示意圖如圖5所示，外徑為10 m，厚度為0.01 m，材料磁導率為61。外磁場大小ez=36 000 nT，方向豎直向下。以球殼模型的中心點為原點建立三維直角坐標系（豎直向下為軸正方向），測量點的范圍為∈[-30, 30 ] m，步長為1 m；∈[-10, 10] m，步長為10 m；=15 m。

球殼模型在垂向外磁場的作用下，三分量感應磁場的解析結果可以表示為

圖5 鐵質球殼模型及測量點示意圖

根據式（18）和式（22），分別使用基于MLACA的標量積分方程法（Scalar Integral Equation Method, SIEM）和矢量積分方程法（Vector Integral Equation Method, VIEM）求解不同網格密度球殼下方測量點的感應磁場。以磁場解析解為理論值，評估不同方法計算得到的磁場的平均相對誤差。

為保證使用不同算法進行比較的公平性，本文使用的編程軟件統一為Matlab 2020，選用的計算機平臺為搭載12核心的Core i7 10 750H型處理器，主頻為2.6 GHz，RAM為32 GB的筆記本，計算結果見表1，當網格密度模式為3號時，球殼模型的磁場三分量結果如圖6所示。

對于球殼模型來說，根據表1和圖6的數據可以得出以下結論：

（1）網格密度越高，積分方程法的磁場計算誤差越小，說明適當增加離散單元的數量可以得到高精度的鐵磁物體感應磁場，但是當網格密度增加到一定程度時，計算精度提高的不明顯。

表1 使用積分方程法計算不同網格密度球殼模型磁場的結果

Tab.1 The calculation results of spherical shell models with different mesh densities utilizing integral equation method

（2）本文使用了MLACA算法壓縮內存（層數為6）和加速計算后，SIEM+MLACA相比較VIEM節省了內存消耗約97%，節省了計算時間約65%。

圖6 鐵質球殼磁場計算結果比較

（3）在相同網格密度的情況下，基于MLACA的SIEM在保證計算精度不變的前提下，能夠大幅減少計算時間和降低計算機的內存需求，驗證了MLACA算法的有效性。

3 等效磁化率反演優化方法

3.1 等效磁化率反演模型

根據積分方程法原理可知，計算物體感應磁場的前提是獲得材料的磁化率（或磁導率）。對于一般的鐵磁性材料來說，可以通過查閱磁化率曲線或者采取樣品試驗的方法來獲取磁化率[17]，但由于艦船鐵磁材料的多樣性以及船體需要經過多次的高溫鍛造和沖擊試驗，意味著艦船磁化率不是一個常數，而是一個與空間位置相關的變量。

首先假設在某一磁化狀態下個測量點獲取的艦船三分量感應磁場為

在反演模型中，通常根據磁場計算值和測量值的擬合程度來尋找合適的磁化率分布，令擬合函數為

根據式（27）和式（28）可以得到眾多符合截止條件的空間磁化率分布，然而對于物體“真實”的磁化率來說，該方法得到的解可能是眾多局部最優解的其中一個。為確保得到擬合度和穩定性較好的等效磁化率，加入兩個約束條件來減少解空間的維度，從而改善反演結果的質量。

（2）約束條件2：等效磁化率的分布應當符合物理客觀規律和滿足平滑性準則，即不允許某一單元的磁化率無限大，也不允許相鄰單元的磁化率發生突變。具體實現辦法是使用有限差分格式[30]使得相鄰單元的磁化率過渡更加平滑，具體表達式為

3.2 基于SA算法的等效磁化率求解方法

模擬退火算法借鑒于高溫固體的退火過程，當固體的溫度較高時，由于內能較大，固體內部的粒子處于快速且無序的運動狀態[31]。在溫度緩慢降低的過程中，由于內能減小，粒子緩慢趨于有序。最終，在固體處于常溫時，內能達到最小，此時粒子狀態最為穩定。SA算法由兩層循環組成，內外層循環分別是同一溫度下尋找局部最優解和溫度冷卻過程中尋找全局最優解，它是通過在內循環搜索解的過程中賦予一定的概率來跳出局部最優解從而達到全局尋優的目的[32]。下面直接給出由SA算法對磁化率進行反演建模的流程，如圖7所示。

圖7 模擬退火法用于反演磁化率的流程

將SIEM+MLACA方法獲得的鐵質球殼磁場三分量作為輸入，使用SA算法對鐵磁球殼的磁化率進行反演優化，使用和不使用約束條件前后的磁化率光滑度對比結果如圖8所示?？梢钥闯?，增加了5%的光滑度約束之后，相鄰單元的磁化率過渡更加平滑，說明了約束方程的作用。

圖8 優化前后的磁化率曲線光滑度對比

基于反演優化得到的等效磁化率對球殼在25 m深度的五條測線的磁場進行預測，結果如圖9所示。與“真實磁化率”計算得到的磁場解析值進行對比，預測磁場的平均相對誤差僅為2.2%，證明所獲取的等效磁化率是相對準確的。

圖9 基于等效磁化率的球殼模型磁場預測值和解析值比較（左舷-龍骨-右舷）

4 船模試驗研究

4.1 試驗方案設計

為驗證所提出的等效磁化率反演優化方法在工程上的實用，以一磁性參數未知的縮比船模（見圖1）為試驗研究對象，通過測量其感應磁場求解得到等效磁化率分布，并將其用于預測其他深度的感應磁場，從而驗證等效磁化率的穩定性。

船模磁場測量示意圖如圖10所示，船模長度為=2.75 m，寬度為=0.5 m，厚度為=0.8 mm，在船模下方設置上層磁傳感器陣列1和下層磁傳感器陣列2，分別作為磁場測量平面和磁場預測平面。此外，為了排除環境磁場的影響，在遠離船模的地方設置了單個傳感器用于監測環境磁場的變化，所使用的傳感器為高精度三分量磁通門傳感器，測量分辨率為1 nT。船模所在試驗環境的磁場水平分量為34 200 nT，垂向分量為35 000 nT，通過逐點測量法獲取船模下方的垂向感應磁場，測量點的范圍為∈[-,]，步長為/60；∈[-,]，步長為；1=1.3，2=2。

圖10 磁性船模測量磁場測量示意圖

4.2 船模試驗結果

將船模在1平面測量的磁場值作為輸入，通過反演優化模型求解得到其等效磁化率分布，根據磁場擬合值判斷等效磁化率是否合理，然后將其用于預測2平面的船模磁場。船模在1平面的磁場擬合效果和2平面的磁場預測值和實測值的對比結果如圖11所示。

由圖11看出，磁場擬合值和預測值都和實測值比較吻合，其誤差分別為5.1%和4.8%，表明本文所提出方法得到的等效磁化率是有效的，可用于艦船感應磁場的高精度建模。從整個測量和計算的過程來看，試驗結果的誤差主要來源以下方面：

（1）測量誤差：主要包括測傳感器自身的測量誤差、使用逐點測量法測量船磁時的人為操作引入的誤差以及試驗環境變化帶來的偶然誤差。

（2）計算誤差：考慮到計算時間不宜過長，船模的剖分單元不能無限多，但理論上只有離散單元足夠小、足夠多時，每個單元才可以被看作均勻磁化體，但是這種做法會導致計算量急劇增加。

（3）模型誤差：船模受地磁場磁化時，實際磁化率仍會有微小變化，但是本文為了求解等效磁化率，認為磁化率在弱磁環境中基本不變，這種線性化處理方式引入了誤差。

5 結論

本文首先提出了一種結合多層自適應交叉近似算法的改進型標量積分方程法，用于快速高效獲取高精度的艦船感應磁場。其次通過建立以磁場擬合度、磁化率先驗分布和平滑約束條件為目標函數的等效磁化率反演模型，并使用模擬退火算法進行優化求解，解決了工程中鐵磁物體磁化率不易獲取的難題，得出以下結論：

1）球殼數值仿真表明，所提出的鐵磁物體感應磁場正演模型高效準確。當幾何模型的網格密度較小時，基于MLACA法的標量積分方程法微弱提高了磁場計算精度；隨著網格密度增大，該方法在保持計算精度的同時，大幅減少了計算時間和計算機的內存消耗。

2）球殼數值仿真和縮比船模試驗研究結果表明，等效磁化率反演模型有效可行，其中船模試驗結果的磁場擬合誤差和預測誤差約為5.0%，表明所提出的感應磁場正演模型和等效磁化率反演優化模型可以用于大型艦船的高精度磁場建模，能夠為艦船鐵磁設備安裝位置的確定和消磁繞組的設計提供 依據。

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A Fast Forward Modeling Method for High Precision Induced Magnetic Field of Ships

（School of Electrical Engineering Naval University of Engineering Wuhan 430033 China）

Mastering the distribution of a ship’s induced magnetic field is an important issue for implementing magnetic stealth technology, and the integral equation method is one of the main methods to calculate the ship’s induced magnetic field. The integral equation method only needs to discretize the ferromagnetic region and does not need to consider the boundary conditions, so it has been widely concerned and applied. The traditional vector integral equation for modeling induced magnetic fields has the problems of low efficiency and an enormous computational burden. Considering that there are many discrete elements of large ferromagnetic objects such as ships, the coupling coefficient between elements forms a huge asymmetric dense matrix. As a result, the computing time and memory requirement will increase sharply with the increase of the number of elements. Therefore, a scalar magnetic potential integral equation method based on surface elements is proposed. Since the integral equation method needs to obtain the magnetic susceptibility of ferromagnetic materials, the equivalent magnetic susceptibility inversion model is established based on a multi-level adaptive cross approximation (MLACA) algorithm.

Firstly, the scalar magnetic potential integral formula based on triangular surface elements is derived. According to the principle of linear interpolation, the scalar magnetic potential of the center point of discrete elements is expressed by interpolation function and node scalar magnetic potential, and the elements’ coupling coefficient matrix is obtained by establishing a local coordinate system. Therefore, the scalar integral method of surface elements is obtained for solving the ship’s induced magnetic field. Secondly, the MLACA algorithm is introduced to guarantee the accuracy of magnetic field calculation and reduce the memory requirement and computing time of the computer. Finally, aiming at the problem that the magnetic parameters of ferromagnetic materials of ships are not easy to obtain, a magnetic susceptibility inversion model is established based on the measured magnetic field values and the forward coupling model. The magnetic field fitting degree, prior distribution of magnetic susceptibility, and smooth constraint are the objective function. The spatial distribution of equivalent magnetic susceptibility is optimized by simulated annealing (SA) algorithms.

A numerical simulation of the spherical iron shell shows that the proposed scalar magnetic potential coupling forward modeling method can efficiently obtain the ship’s induced magnetic field with high precision. For the same discrete elements, compared with the vector method, the scalar method can save about 97% of the memory consumption and 65% of the computing time, which verifies the effectiveness of the scalar magnetic potential integral equation method based on the MLACA algorithm. According to the inversion model, the equivalent magnetic susceptibility of the spherical iron shell is optimized by the SA algorithm, which is utilized to predict the spherical shell of other positions, and the average relative error is only 2.2%. After using of smooth constraint condition, the equivalent magnetic susceptibility obtained is smoother.

In order to verify the practicability of the proposed forward modeling method and magnetic susceptibility inversion method in engineering, an experimental scheme was designed for a reduced-scale ship model with unknown magnetic parameters. Firstly, the equivalent magnetic susceptibility distribution of the ship model is obtained by measuring the magnetic field of the ship model at the1 plane, and it is used to predict the induced magnetic field at the2 plane. The magnetic field fitting and prediction errors of the ship are about 5.0%, indicating that the proposed forward modeling model of induced magnetic field and the inverse optimization model of equivalent magnetic susceptibility can be used for induced magnetic field modeling of large ships with high precision and can provide support for the implementation of magnetic stealth technology on ships.

Ship magnetic field, reduced scalar magnetic potential, multi-level adaptive approximate cross, simulated annealing method, equivalent magnetic susceptibility

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222204

TM153

國家自然科學基金資助項目（51377165, 52207020）。

2022-11-22

2022-12-29

何保委 男，1995年生，博士研究生，研究方向為電磁環境與防護技術。E-mail: hebaowei188@163.com

劉月林 女，1989年生，碩士，講師，研究方向為電磁環境與防護技術。E-mail: mooncake1024@163.com（通信作者）

（編輯 陳 誠）