強化“三個二次”關聯，落實數學核心素養
——二次函數、一元二次方程、不等式課堂實錄

●羅志英

一、創設情境，引入問題

以教材中的問題作為引入：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉。 若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區域的面積要大于20m2，則這個矩形的邊長為多少m？

教師：請同學們閱讀以上文字并嘗試解決這個問題。

生：設這個矩形的一條邊長為xm，則另一條邊長為（12-x）m。

由題意得：（12-x）x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}。

整理得：x2-12x+20＜0，x∈{x|0＜x＜12}①

求得不等式①的解集，就得到了問題的答案。

師：同學們，我們一起觀察這個不等式，可以發現這個不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是二次。 像這樣的不等式就是一元二次不等式。 （在PPT 上呈現教材中給出的概念）把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是二的不等式，稱為一元二次不等式。 一般形式：ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（其中a，b，c均為常數，a≠0）。

設計意圖:數學源于生活，又服務于生活。 在錯綜復雜的現實背景中，要學會抽象出最為本質的關系，并運用數學語言進行表達。這個問題的解決需要學生有數學抽象、數學建模、數學運算的能力，其中運算的解決是這節課的重點之一，有利于形成數學素養。

二、聯系舊知，探究新知

師：對于上述不等式的解法我們尚未悉知，但是我們在初中學習過一元一次不等式的解法。 同時探尋過一元一次不等式、一次函數、一元一次方程的內在聯系。 同學們可以呈現一下嗎？

生：初中是從一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式。 一次函數記為y=kx+b（k≠0），y=0時得到一元一次方程kx+b=0；y＞0 或y＜0 時得到一元一次不等式kx+b＞0 或kx+b＜0；從圖象上看，方程的解是一次函數圖象與x 軸交點的橫坐標，kx+b＞0的解集是x 軸上方圖象對應的x 的取值；kx+b＜0 的解集是x 軸下方圖象對應的x 的取值。

設計意圖：知識的建構要達成，不僅需要給予新的“腳手架”，還需要他們在原有的“腳手架”上找到支撐?！叭齻€二次”就應該是在“三個一次”上的生長。 當熟悉的感覺撲面而來，畏難情緒會降低。

圖1

師：回答得非常清楚，我們是否可以嘗試用該想法求得一元二次不等式的解集？

生：類似的，可以先畫出二次函數的圖象。 然后觀察圖象與x 軸的關系，根據所求不等式的符號，選擇位于上方或者下方部分作為二次不等式的解集。

圖2

師（追問）：能否舉例說明？

生：以一個具體的二次函數為例，比如y=x2-12x+20，可以得到一元二次方程x2-12x+20=0 的兩個根是x=2 和x=10。 一元二次不等式x2-12x+20＞0的解集就是位于x 軸上方圖象對應的x 的取值，即x＜2 或x＞10。

師：為了便于描述，我們再來統一一個概念，即二次函數的零點，對于二次函數y=ax2+bx+c，把使ax2+bx+c=0 的實數x 叫做二次函數y=ax2+bx+c 的零點。（a≠0）零點即是函數對應方程的根?？焖偬幚砗瘮祔＝x2-3x+2 的零點是多少？

生（幾乎是全體）：1 和2。

設計意圖：教材是我們學習的主要材料，值得認真理解分析。教材在這個地方設計了零點的概念。這個和以往的教材略有不同。

師：類似的，能否從降次觀點看一元二次不等式， 進而得出一元二次不等式的求解方法呢？ 如果不好敘述， 仍然以一元二次不等式x2-12x+20＜0 為例分析。

生： 可以把一元二次不等式x2-12x+20＜0 左邊因式分解得到 （x-2）（x-10）＜0， 分類討論得到，解集取兩者的并集。

師：X 同學通過因式分解，將二次降為一次，用符號法則將問題轉化為一次不等式組的求解，這就是同學們在初中學習并掌握了的知識。 老師也希望同學們能在未來的學習中逐步體會并應用這種想法。

師：或許我們還有別的思考方向。如果這個方向不容易琢磨，老師或許可以略作提示。 比如，一元二次方程x2-12x+20=0，易知x≠0，同除以x，得到x-

設計意圖：教材上只涉及了思考一，即用二次函數的圖象解決二次不等式的求解。 目的是讓學生學會類比推理，感知“三個一次”與“三個二次”是有共同點的。學習不是傳輸與接受的過程。筆者希望能夠思考的每一個點，都讓學生去感受，哪怕是不完美、不完整的探索與思考。事實上，方案二的降次想法、方案三的函數方程想法也都是對化歸想法的鋪墊和滲透。

師：同學們的想法很好，這樣的變化就比較豐富了。 同時需要注意在解二次不等式的時候，符號（特別是負號）對問題的影響。 通過這些比對，你們想用哪種方式求解一元二次不等式？

生：第一種。

師：那么我們一起，試從二次函數的角度解二次不等式并歸納求解基本步驟。 以PPT 上這個例來分析。

三、運用例題，同化新知

例1 求不等式x2-5x+6＞0 的解集。

生：對于方程x2-5x+6=0，因為△＞0，所以它有兩個不等實數根。 解得：x1=2，x2=3。

師：先觀察不等式的形式，整理成最高次項系數為正，然后解對應的一元二次方程。

生：畫出二次函數y=x2-5x+6 的圖象。

師：有具體的二次函數畫出圖象是比較容易的。

生：結合圖象得不等式x2-5x+6＞0 的解集為{x|x＜2，或x＞3}。

師：剛才X 同學的解答過程詳細完整，我們具體梳理一下基本步驟：（1）整理（整理成最高次項系數為正的形式）；（2）求根（求出二次方程的根）；（3）畫圖（畫出二次函數的大致圖象）；（4）結論（用集合語言寫出不等式的解集）。 接下來，我們再嘗試兩個練習（兩分鐘）。

例2 求不等式9x2-6x+1＞0 的解集。

例3 求不等式-x2+2x-3＞0 的解集。

生2：整理不等式，求得方程的Δ＜0，畫出圖象，發現沒有滿足條件的取值，于是原不等式的解集為φ。

設計意圖：通過具體問題，得到二次不等式解法基本步驟，過程自然、流暢。 三個例題代表了三個典型的方向，有利于完成后面的總結，解決數學運算問題。

師：結合剛才的練習，請同學們交流討論，再次思考、理解、總結“三個二次”之間的關系，完成表格，只須考慮a＞0 的情況即可。

生1：Δ＞0 時，方程ax2+bx+c=0 有兩個不等實根x1，x2（x1＜x2），不等式ax2+bx+c＞0 的解集為{x|x＜x1，或x＞x2}，不等式ax2+bx+c＜0 的解集為{x|x1＜x＜x2}。

生2：Δ=0 時，方程ax2+bx+c=0 有兩個相等實根，不等式ax2+bx+c＞0 的解集為不等式ax2+bx+c＜0 的解集為φ。

生3：Δ＜0 時，方程ax2+bx+c=0 無實數根，不等式ax2+bx+c＞0 的解集為R，不等式ax2+bx+c＜0 的解集為φ。

師：通過總結，進一步熟悉了三個二次的關系，也有利于熟悉二次不等式的解法， 請同學們迅速完成教材P53.1 內容（三分鐘），訂正答案。

設計意圖：比較簡單，讓學生獨立完成，從而落實“四基”、發展“四能”。

師：接下來，我們再次總結“三個二次”的關系，重點在關注彼此的聯系。 (1)三個“二次”中，二次函數是主體；(2)方程的根、函數的零點、兩函數的交點橫坐標是統一的；(3)不等式的問題可以和方程（等式）的問題統一解決。

設計意圖：根據最近發展區理論，搭建梯子，給予探究過程中關鍵步驟、關鍵問題的導引，使學生通過梯子一步一步攀升，進而解決問題，從而在探究的過程中培養學生的高階思維、科學精神和意志品質。

師：及時處理例2 若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0 的解集為R，求實數a 的取值。

生：1.當a-2=0 時，即a=2 時，原不等式恒成立，解集為R。

綜上所述，a 的取值范圍為-2＜a≤2。

師：X 同學解決問題的思路清晰，非常棒。 分類討論是數學的重要方法之一。

設計意圖：分類討論思想是數學的重要思想方法，這個例題旨在培養學生嚴謹的邏輯思維。

四、梳理總結，促進內化

師：我們一起來總結一下。 這節課，你學到的具體知識——

生：兩個概念，第一是一元二次不等式、函數的零點；第二是一元二次不等式的解法，梳理了“三個二次”之間的內在聯系。

師：很好，那么在具體知識之外你想到了什么？數學和哲學一樣，需要有對未知領域的沉思。

設計意圖：學生進行交流與分享，談收獲與困惑，更利于釋惑明理。

《普通高中數學課程標準 (2017 年版2020 修訂)》強調在教學的過程中既要關注學生學習的結果，更要重視其學習的過程。 在本課堂教學中，筆者通過各種不同形式的探究活動，引導學生思考、交流、探究、歸納二次不等式的解法以及“三個二次”的聯系，探究過程中學生能體會從特殊到一般的的歸納、從未知到已知的化歸。