巧設數學游戲，培育推理意識

●洪建林

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，要讓學生學會觀察、學會思考、學會表達。作為核心素養的“三會”是一個整體，三者互相支撐。 與廣義的數學思維相比，在“三會”整體結構中，數學思維更加側重于推理?！靶抡n標”將“推理”一詞的含義定位在“演繹推理+合情推理”，由于現實世界是數學思維問題的基礎，所以推理都要由思考現實世界的需要來決定。 游戲是兒童存在的方式，數學游戲源于現實生活，能夠激發學習興趣、激活數學思維，促進學生推理水平向縱深發展。 教學中，可以通過以下策略培育學生的推理意識：游戲整合，“變化”中通透；游戲融錯，“辨析”中反思；游戲進階，“闖關”中深入；游戲促思，“直觀”中創新。

一、游戲整合，在“變化”中通透

游戲是多種學習活動的“催化劑”。[1]數學教學則蘊含著豐富的游戲元素，不少經典數學名題如“雞兔同籠”問題、“李白喝酒”問題等純粹就是蘊含著數學思想方法、數學邏輯推理的智力游戲。一些教師在教學中未能充分發掘智力游戲資源并進行有機整合， 使得富有數學思考價值的游戲利用不夠。 鑒于此，教學中有必要對一些智力游戲有機整合，在變化中通透思維、展開推理。

以教學“雞兔同籠”問題為例：雞兔同籠，雞兔共35只，腳數共94只，雞、兔各有多少只？ 長期以來，不少教師僅僅就題講題，沒有讓問題閃爍“智力游戲”的光彩，也沒有考慮將題目進行適當的變化，著力于體現數學推理的價值。

變化1：雞兔同籠，雞兔共35只，兔腳的只數比雞腳多2只，雞、兔各有多少只？

變化2：雞兔同籠，雞比兔多11只，腳數共94只，雞、兔各有多少只？

變化3：雞兔同籠，雞兔共35只，兔腳與雞腳的只數比是24:23，雞、兔各有多少只？

變化4：雞兔同籠，雞的只數與兔的只數比是23:12,腳數共94只，雞、兔各有多少只？

在以上變化中，每一個問題都會生成新的思路、新的推理。變化1中，可以引領學生這樣推理：由于兔腳的只數比雞腳多2只，1只雞有2只腳，所以可在雞、兔總只數中再增加1只雞，也就是腳的總只數增加2只，這時兔腳的只數與雞腳同樣多，由于每只兔的腳數是雞的2倍， 這時雞的只數就是兔的2倍， 兔的只數：（35+1）÷（2+1）=12（只）；也可以由“兔腳的只數比雞腳多2只”，推出如果將雞、兔總只數擴大2倍，則兔腳的只數比雞腳多4只，假設從總只數中減去1只兔，雞腳與兔腳的只數就同樣多，于是這時兔的只數可以這樣求：（35×2-1）÷（2+1）=23（只），原來兔子的只數：（23+1）÷2=12（只）；還有學生借助方程進行推理，等等。

變化2中，可以這樣推理：由于雞比兔多11只，11只雞有腳22只，94-22=72（只），這樣雞的只數與兔的只數同樣多，兔的只數：72÷（2+4）=12（只）；還可以這樣推理：由于兔比雞少11只，11只兔有腳44只，94+44=138（只），這樣兔的只數與雞的只數同樣多，雞的只數：138÷（2+4）=23（只）；也可以用以下的思路推理：不妨來個“金雞獨立”，雞、兔全部抬起自己一半的腳，94÷2=47（只），也就是雞的只數+兔的只數×2=47，而雞比兔多11只，47-11=36（只），也就是36只正好是兔子只數的3倍，兔子的只數：36÷3=12（只），等等。

變化3、變化4也可以從不同角度進行深度推理。教師通過“一題多變”方式巧妙地整合后，學生智力游戲活動中的推理元素愈加豐富，這對學生核心素養的提升有著積極的意義，從而更有力地促進學生“會思考”。

二、游戲融錯，在“辨析”中反思

課堂因差錯而精彩。[2]利用數學游戲，教師有意設計思維陷阱，讓學生產生認知沖突，生成差錯資源，并反思推理出錯的緣由，這有利于學生推理意識的培養。

教學圓柱的體積后，教師設計了這樣一個“紙的旋轉”游戲：一張直角梯形的紙片（上底3厘米、下底6厘米、高4厘米）相對的兩個頂點連成的線段將圖形分成兩個三角形，請你將紙片沿著高旋轉一周，甲、乙旋轉后分別得到怎樣的圖形？ 所得到圖形的體積有什么關系嗎？ （如圖1）

圖1

教師讓學生進行一張紙的旋轉游戲后， 拋出了這樣的問題：兩個三角形旋轉后，所形成的圖形的體積有怎樣的關系？ 不少同學進行了這樣的推理：甲、乙兩個三角形等高， 因為甲三角形的底是乙三角形的一半，所以甲三角形的面積是乙三角形的一半；又因為兩個三角形都是圍繞相同的軸旋轉一周， 所以甲三角形旋轉后的立體圖形的體積是乙三角形旋轉后的立體圖形的體積的一半。由線段的一半關系，推導出面積的一半關系， 再類比推導出體積的一半關系，于學生的思維推斷而言，似乎合情合理，而且不少同學也認為這樣的推理正確。

教師沒有直接發表意見，而是繼續借助電腦進行游戲操作，讓學生想象一下，兩個三角形旋轉后的立體圖形是否完全相同，并借助直觀演示，引領學生觀察： 乙三角形旋轉一周后所形成的兩個圓錐底面半徑都是4厘米，高的和是6厘米；甲三角形旋轉后不再是一個圓錐，體積是所在圓柱體積的三分之二。學生嘗試計算推理：甲三角形的體積：∏×42×3÷3×2=32∏（立方厘米），乙三角形的體積：∏×42×6÷3=32∏（立方厘米）。同學們頓時感到驚奇，不僅驚奇于面積相等的兩個三角形圍繞同一條軸、 經歷同樣的旋轉運動后，而體積關系卻因此而變，原先的推理也出現了錯誤；還驚奇于兩個立體圖形的體積竟然相等，這樣的結論打破了學生的推理局限：因為高相等，由線段長度的一半關系推出面積大小的關系是成立的，但是，由此推出旋轉后立體圖形體積的一半關系的類比推理并不成立。

指向“三會”素養的數學教學，重在讓學生學會思考，這樣的素養培養不僅僅表現在積極引導學生觀察、分析、比較、抽象、概括，還在于巧妙設計數學小游戲，有效創設認知沖突，甚至故意讓學生出錯，這種錯誤往往體現為推理的出錯，從而引發學生“錯中辨、錯中悟、錯中創”，發展學生的推理意識和思維素養，讓思考更深刻、學習更有深度。

三、游戲進階，在“闖關”中深入

數學游戲活動中的數學闖關游戲，教師可以適當改變游戲規則，讓學生的推理活動隨著規則的變化而呈現出不同的水平。因此，教學中可以設計不同層次的闖關游戲，運用富有變化的游戲規則，讓學生在闖關中進階式推理。

以算24點游戲為例，教師設計了形如“3、3、X、X”的“算24點”闖關游戲。

第一關:下列四個數，只進行加、減、乘、除四則運算，不使用括號，使其運算結果等于24。

3333；3344；3355；3399；

第二關：下列四個數，可以進行加、減、乘、除四則運算，并使用括號，使其運算結果等于24。

3322；3366

第三關：下列四個數，可以進行加、減、乘、除四則運算，并使用括號，使其運算結果等于24。

3388；3377

闖關活動不斷改變游戲規則，第一關和第二關，學生的推理可以在整數范圍內進行。

“第一關”活動中，學生靈活運用符號，調整數的順序，這樣的推理體現基礎性水平。 如3×3×3-3，3×4+3×4，5×5-3÷3，3+3+9+9，等等。

第二關，挑戰性有所提高。 學生僅用加、減、乘、除運算還不能推算出結果，這時需要借助括號進行運算，推算水平進一步提高。 如（3+3）×（2+2），（6÷3+6）×3，等等。

第三關，學生受思維定式影響，往往在整數范圍內進行推算，而這兩題利用整數運算已經無法求解，需要利用小數、分數等知識進行推理，這對學生的推理水平有了更高的要求，更具靈活性和豐富性，教學實踐中能夠獨立算出的同學可謂是少之又少。 如（3+3÷7）×7，8÷（3-8÷3）。

上面的“算24點”闖關游戲，呈現了學生不同的思維層次、不同的推演水平。教師將具有某些特點的數據進行分類并設計具有變化的游戲活動規則，再組織學生進行思維進階訓練，這樣的游戲挑戰能夠激發學生的推理水平向深層次發展。

四、游戲促思，在“直觀”中創新

數學游戲更大的功能不是僅體現為激發學習興趣，更在于啟迪學生玩中思、玩中創。在這方面，幾何直觀發揮著極大的作用，它激活了學生的推理、創新。

我們看這樣一個例子。小明玩了一個小游戲：將一張長3厘米、寬2厘米的長方形紙片任意放在一張圓形紙片上（長方形的一個頂點與圓心重合），并分別沿著相鄰的長、寬畫出兩條頂點都在圓上的線段。問：陰影部分面積比空白部分面積多多少？ （如圖2）

圖2

游戲的過程中，任意放一個長方形，讓學生的注意力更為集中。 由于只知道長方形紙片的長、寬，而陰影、空白兩個部分均為不規則的圖形，并不知道相關條件，學生一下子陷入思路混沌之中。教師在學生卡殼之際，給予適當點撥，將圖形適當“動”起來，引領學生在小組里嘗試著用同樣大的小長方形紙片擺一擺、拼一拼，如圖3。

圖3

排成的四個小長方形與要求的問題有何聯系？借助操作游戲，我們可以發現，4個小長方形具有對稱性、結構性，在其之外的陰影部分面積之和正好與空白部分的面積相等，由此可推理：4個小長方形的面積和就等于陰影部分與空白部分面積之差。 看似無從解答的問題，通過直觀操作就讓問題迎刃而解。教師巧妙利用操作游戲、幾何直觀，迅速激發學生的探索欲望，讓學生推理意識進一步生成、發展，更可貴的是賦予了學生發現意識和創新性思維。

游戲，讓學習更美好。 巧設數學游戲，讓學生在游戲中學會推理、學會學習、學會創造，在整合、變化中通透思維，在融錯、辨析中反思提高，在進階、闖關中深入推導，在操作、直觀中發現、創新，這必將推動學生推理意識的形成、發展，促進學生在游戲中提升核心素養。