雙諧振環金屬超表面中的連續域束縛態*

王玥 王豪杰 崔子健 張達篪

(西安理工大學,陜西省超快光電技術與太赫茲科學重點實驗室,西安 710048)

超表面由于具備獨特的電磁響應特性,在微波、太赫茲以及光學領域的應用十分廣泛.在電磁超表面中構建連續域束縛態(bound states in the continuum,BIC)模式諧振可以產生尖銳的諧振透射峰,因此BIC 被廣泛用于設計具有高品質因子諧振的超表面.本文實驗研究了一種支持準 BIC (quasi-BIC,q-BIC)諧振的新型金屬太赫茲超表面,通過設計兩組金屬開口諧振環(split ring resonators,SRRs)的結構參數來調節各自主導的諧振的工作頻率,使不同模式諧振之間產生耦合,形成q-BIC 模式諧振.并利用電磁場分布及其散射功率的多極分解的計算結果證明了不同模式的共振機制.在入射電磁波分別沿x,y 偏振時,通過Jaynes-Cummings 模型計算了兩模式之間的歸一化耦合強度比,分別為0.54% (x 偏振)與4.42% (y 偏振),解釋了不同諧振模式的工作頻率隨SRRs 器件結構參數改變而變化的規律.

1 引言

連續域束縛態(bound states in the continuum,BIC)是一類頻率位于輻射連續域內但被完全局域的特殊電磁本征態,具有諸多有趣的物理特性和豐富的應用場景[1],最初由馮諾依曼(John von Neumann)和尤金維格納(Eugene Paul Wigner)于1929 年在量子力學領域[2]中提出,后來同樣發現于電磁波[3-5]、空氣中的聲波[6-8]、水波[9-11]和固體中的彈性波中.理想的BIC 模式諧振存在于無損結構或系統參數取極值時,在頻譜上表現為零帶寬諧振[12]、具有無限高的質量因子(quality,Q).而由于加工精度和損耗問題,在實際測試中通常只能觀測到Q-因子有限的準BIC (quasi-BIC,q-BIC)模式諧振,因此需要打破諧振器結構的對稱性或調節諧振器結構參數將其轉變為q-BIC 模式諧振才能用于實際應用.

BIC 通?？梢苑譃閷ΨQ保護型BIC (symmetry protected BIC,SP-BIC)[1]和偶然型BIC (accidental BIC)[13],前者是由于諧振模式與輻射模式之間因模式對稱性的差異而無法耦合,從而形成束縛態;而后者是通過調節結構參數使得諧振模式不再與輻射模式耦合.根據偶然型BIC 的相關理論[13],調整光學系統的某些參數可使某兩種不同的輻射模式之間發生相互耦合作用,從而形成q-BIC 模式諧振,諧振耦合強度的變化導致q-BIC模式諧振的工作頻率在頻譜中的位置產生偏移.通過改變光學系統的結構參數,可以有效地控制q-BIC 模式諧振的帶寬、工作頻率和Q-因子[13,14],這有助于高Q-因子器件的實際設計.

超表面是一種由亞波長結構的人工結構組成的二維平面材料,可實現對入射電磁波的振幅、相位、偏振等靈活的調控,具有強大的電磁操控能力[15-20].由于超表面所具備的獨特電磁響應特性而被廣泛應用于傳感器[21,22]、濾波器[23]、吸收器[24]和增強非線性效應[25]等各個領域.q-BIC 由于其極窄的帶寬和高Q-因子,非常適用于設計高Q-因子的超表面[21-28].例如,在金屬開口諧振環(split ring resonators,SRRs)、石墨烯、硅柱和光子晶體等超表面上構建的q-BIC 模式諧振都獲得了極高的Q-因子,從而應用于窄帶濾波[23]、高靈敏度傳感[29]、分子光譜編碼成像[15]和圖像邊緣檢測等領域[30].

本文采用周期排列的SRRs 結構構建了透射型金屬超表面,實驗測試驗證了在入射電磁波分別沿x,y偏振下,超表面的透射譜光譜特征;數值計算結果揭示了諧振的工作頻率、帶寬和Q-因子與超表面子單元結構參數之間的關系;不同模式諧振的電場分布與表面電流分布驗證了多極分解的計算結果,闡明了q-BIC 模式諧振的物理機制;并通過Jaynes-Cummings (JC)模型計算了入射電磁波偏振方向不同情況下兩種不同模式之間相互耦合的歸一化耦合強度比;此外,還計算了超表面在用于傳感檢測領域時,其透射譜與待測物介電常數和損耗角正切之間的關系,驗證了該超表面在痕量檢測領域有潛在的應用價值.

2 結構設計

如圖1(a)所示,超表面子單元由SRRs 層和石英襯底組成(石英的介電常數為3.6),SRRs 的幾何中心共點且并都在x,y方向上都保持旋轉對稱性.其結構參數如圖1(b)所示,超表面子單元的周期為r=230 μm,石英襯底厚度為h2=50 μm;SRRs 層厚度 為200 nm.本文按照結構特點將SRRs 分為大諧振環和小諧振環(圖1(b)),大諧振環外邊長a=198 μm、線寬m=10 μm、間隙x=10 μm,小諧振環外邊長b=130 μm、線寬n=20 μm、間隙d=10 μm、間隔c=20 μm.為了研究所提出的超表面的電磁特性,本文采用基于有限元方法 (finite element method,FEM)的數值計算方法研究了該超表面的透射光譜,計算過程選取超表面SRRs 結構的一個周期作為仿真域,仿真域的x,y方向上均采用周期邊界條件,入射平面是x-o-y平面,電磁波垂直入射到超表面結構上.

圖1 (a) 金屬太赫茲超表面陣列單元幾何結構示意圖;(b) 超表面子單元;(c) 超表面樣品光學照片;(d) 超表面顯微照片Fig.1.(a) Geometry diagram of metal THz metasurface array cells;(b) metasurface subunits;(c) metasurface sample photographs;(d) metasurface micrographs.

3 結果與討論

在電磁波正入射(即傳播方向垂直于x-o-y平面)的條件下,實驗測試了超表面在入射電磁波沿x,y偏振時的透射譜光譜特性,如圖2(a)、圖3(a)中紅色叉點所示,其透射譜都出現兩個不同工作頻率的諧振透射谷(紅色和藍色標注部分)和一個諧振透射峰(黃色標注部分).為方便描述,將超表面透射譜中對應的諧振分別命名為Mode 1 諧振和Mode 2 諧振(圖2(a))、Mode 3 諧振和Mode 4諧振(圖3(a)).通過數值計算,得到了超表面透射譜中諧振變化與其SRRs 結構參數之間的關系,并計算和分析了不同諧振處的電場分布與表面電流分布.

圖2 入射電磁波沿y 偏振 (a) q-BIC 模式諧振時的透射譜(d=10 μm),Mode 1 的電場分布(c)和表面電流分布(f);Mode 2的電場分布(d)和表面電流分布(g);(b) BIC 模式諧振時的透射譜(d=30 μm),BIC 的電場分布(e)和表面電流分布(h)Fig.2.y-polarized:(a) Transmission spectrum at q-BIC mode resonance (d=10 μm),electric field distribution in Mode 1 (c) and surface current distribution (f);the electric field distribution (d) and surface current distribution (g) of Mode 2;(b) transmission spectrum at BIC mode resonance (d=30 μm),electric field distribution (e) and surface current distribution (h) of BIC.

圖3 入射電磁波沿x 偏振 (a) q-BIC 模式諧振時的透射譜 (n=20 μm),Mode 3 處的電場分布(c)和表面電流分布(f),Mode 4處的電場分布(d)和表面電流分布(g);(b) BIC 模式諧振時的透射譜(n=14.6 μm);Mode BIC 處的電場分布(e)和表面電流分布(h)Fig.3.x-polarized:(a) Transmission spectrum at q-BIC mode resonance (n=20 μm),electric field distribution (c) and surface current distribution (f) at Mode 3,electric field distribution (d) and surface current distribution (g) at Mode 4;(b) transmission spectrum at BIC mode resonance (n=14.6 μm);electric field distribution (e) and surface current distribution (h) at Mode BIC.

當入射電磁波沿y偏振時,Mode 1 諧振的電場分布(圖2(c))主要集中在小諧振環的SRRs 間隙處,其表面電流(圖2(f))表現為集中在小諧振環的SRRs 臂上與大諧振環內側,由于超表面SRRs的對稱性設計,其電場、表面電流均沿y軸方向對稱分布,且表面電流沿x軸的分量等大反向;而Mode 2 諧振的電場分布(圖2(d))則集中在大諧振環的SRRs 間隙,其表面電流(圖2(g))表現為集中在大諧振環的SRRs 臂上,且二者同樣沿y軸方向對稱分布.

不同諧振的電場分布的不同與超表面中不同SRRs 的結構尺寸相關,大、小諧振環的結構尺寸不同,因此會產生工作頻率不同、主導模式不同的諧振.當參數d取30 μm 時,透射譜中只存在一個透射諧振谷(圖2(b)),q-BIC 模式諧振透射峰消失,即形成BIC 模式,其電場分布和表面電流分布同時具備Mode 1 諧振與Mode 2 諧振的特征(圖2(e)和圖2(h)),說明這一頻率處也同時存在兩種不同的諧振,但由于不同諧振之間的相互耦合,使得其中一種諧振的對外輻射完全耦合到另一模式中,在透射光譜中表現為透射峰線寬為零而消失.在入射電磁波沿x偏振情況下,超表面透射譜特征與入射電磁波沿y偏振入射情況相似(圖3(a));圖3(c),(f)與圖3(d),(g)分別為Mode 3 諧振與Mode 4 諧振的電場分布和表面電流分布情況,可見前者電場主要分布在大諧振環SRRs 的四個角和夾縫處、其電場與表面電流均沿x軸對稱分布,且表面電流沿y軸的分量等大反向,后者主要集中在小諧振環SRRs 上,其電場與表面電流均沿x軸對稱分布;當參數n取14.6 μm 時,超表面形成BIC模式(圖3(b)),對應電場分布和表面電流分布也同時具備Mode 3 諧振與Mode 4 諧振的特征(圖3(e),(h)).

為了定量分析q-BIC 模式諧振的物理機制,計算了磁偶極(MD)、電四極(EQ)、磁四極(MQ)、電偶極子(ED)和環偶極子(TD)[31]等笛卡爾坐標系中不同多極矩的散射功率(I).計算公式如下:

其中r是位置矢量;J是表面電流密度;ω 是入射電磁波頻率;c是真空中的光速,i 是單位虛數;δα,β是δ 函數,且α,β=x,y.多極分解所計算的不同多極矩的散射功率可以展現不同多極矩在這一諧振中的貢獻占比,也解釋了不同諧振工作頻率處近場分布情況的特點.如圖4(a)所示,可見當入射電磁波沿y偏振時,其產生的Mode 1 諧振和Mode 2諧振的主要來源于MD;當入射電磁波沿x偏振時,其產生的Mode 3 諧振主要來源于TD,Mode 4諧振主要來源于EQ.

圖4 當入射電磁波沿y (a),x (b)偏振時的多極分解結果.MQ,EQ,TD,MD 和ED 分別表示磁四極子、電四極子、環偶極子、磁偶極子和電偶極子Fig.4.Multipole decomposition results during irradiation of y-polarized (a) and x-polarized (b) waves:MQ,EQ,TD,MD and ED represent magnetic quadrupole,electric quadrupole,ring dipole,magnetic dipole,and electric dipole,respectively.

此外,計算了q-BIC 模式諧振透射峰的Q-因子(Q=λpeak/Δλ,Δλ=|λpeak-λdip|)隨著超表面子單元諧振層SRRs 結構參數的變化情況.當入射電磁波沿y偏振,參數d由10 μm 增加到50 μm,超表面透射譜中Mode 1 諧振工作頻率從0.42 THz藍移至0.57 THz (圖5(a)中黑色虛線所示);當d逐漸接近30 μm 時,q-BIC 模式諧振透射峰的線寬減小至趨于零,Q-因子增加并趨于無窮大(圖5(b)).由于Mode 1 諧振與Mode 2 諧振之間的相互耦合作用,在二者工作頻率接近的過程在頻譜中表現為抗交叉線形(圖5(a)).同樣,入射電磁波沿x偏振時(圖5(c),(d)),參數n由20 μm 減至10 μm,Mode 4諧振的 工作頻率從0.92 THz 紅移至0.72 THz(圖5(c)中虛線所示,為標注明顯,使用紫色加以區別,并插圖放大);當n逐漸接近14.6 μm 時,透射譜中q-BIC 模式諧振透射峰的變化和Mode 3諧振、Mode 4 諧振的工作頻率變化情況與前者相似(圖5(d)).可見超表面透射譜中相關聯諧振的工作頻率決定于對應電磁場及表面電流主要分布所在的SRRs 的結構參數;當超表面的SRRs 的結構參數取適當值時,兩不同模式諧振的工作頻率相同,二者之間的相互耦合作用形成BIC 模式;當SRRs 的結構參數偏離該值時,兩模式之間不能完美耦合,產生泄漏,形成q-BIC 模式諧振,這與以往的研究結果一致[32].

圖5 y-偏振:透射譜 (a)和q-BIC 諧振透射峰的Q-因子(b)與參數d 的關系;x-偏振:透射譜(c)和q-BIC 諧振透射峰的Q-因子(d)隨著參數n 的關系Fig.5.y-polarization:Relationship of the transmission spectrum (a) and the Q-factorof the q-BIC resonant transmission peak (b) to parameter d;x-polarization:relationship of the transmission spectrum (c) and the Q-factor of and the q-BIC resonant transmission peak (d) to the parameter n.

為描述不同模式諧振之間的耦合作用,采用標準的Jaynes-Cummings (JC)哈密頓模型來描述兩模式諧振之間的耦合作用[33],以入射電磁波沿y偏振入射時的情況為例,旋轉波近似 (rotatingwave approximation,RWA)下,系統的總哈密頓量為

圖5(a),(c)中的Ω為真空拉比(Rabi)頻率,其值為兩不同諧振本征頻率相同時(這一頻率記為ω),在透射譜中的對應透射谷頻率之差(即圖5(a),(c)中兩實曲線對應頻率的差值).Ω與歸一化耦合強度比g之間存在著g=Ω/2ω的數值關系,可算出當入射電磁波沿y偏振入射時其歸一化耦合強度比g為4.42%;同理可算出當入射電磁波沿x偏振入射時,兩不同模式(Mode 3 與Mode 4)諧振之間的歸一化耦合強度比g為0.54%,這證明了入射電磁波偏振不同的情況下,構成q-BIC 模式諧振的不同模式諧振之間的耦合強度是不同的,也解釋了圖5(a),(c)中兩模式諧振工作頻率接近時抗交叉程度不同的原因.

此外,由于超表面所產生的諧振所激發的電磁場和待測物[34]之間會發生強烈相互作用,其透射譜中諧振的工作頻率和幅值會受待測物物理性質的影響,因此,高Q-因子諧振在超靈敏傳感應用中非常有前景.本文研究了超材料的傳感性能,設待測物的折射率在1—2 的范圍內(其中包括許多重要的材料和生物分子[35]).對于金屬超表面而言,被增強的電磁場的體積通常不會很大,而當待測物到達一定厚度時,待測物會超過邊緣電場,處于電場外的待測物將不再與超表面產生的諧振所激發的電磁場產生相互作用,當待測物厚度達到飽和厚度時,待測物厚度的增加將不再影響超表面透射譜中諧振工作頻率的頻移程度.設置待測物介電常數ε=2,超表面SRRs 結構幾何參數不變,仿真得超表面透射光譜中q-BIC 諧振的工作頻率與待測物厚度之間的變化關系,如圖6 所示.

為了對比入射電磁波偏振不同情況下超表面靈敏度的差別,待測物厚度均取h=100 μm.圖7 為不同待測物對超表面透射譜的影響.設待測物損耗角正切tan δ 為0,當其介電常數ε 從1 變化到2 (對應折射率從1 變化到1.4)時,入射電磁波沿y偏振入射時,q-BIC 模式諧振峰工作頻率從0.4648 THz紅移到0.42 THz,靈敏度為108 GHz/RIU(圖7(a));入射電磁波沿x偏振入射時,q-BIC 諧振透射峰的工作頻率則是從0.8485 THz 紅移到0.7858 THz,其靈敏度為151 GHz/RIU(圖7(c)),可見q-BIC諧振透射峰的工作頻率和待測物介電常數之間存在明顯線性關系.超表面傳感靈敏度的不同與其在入射電磁波偏振方向不同時產生q-BIC 諧振的不同有關,相比于近場分布主要在超表面SRRs 內部的諧振,近場分布主要在超表面SRRs 外的諧振工作頻率對環境介電常數更為敏感(圖2(e)與圖3(e)).此外,還檢測了待測物損耗角正切tan δ 對超表面q-BIC 模式諧振峰的影響(圖7(b),(d)),可見超表面透射光譜中q-BIC 諧振透射峰的頻移只與待測物的介電常數相關.

圖7 y-偏振 (a) q-BIC 諧振透射峰與待測物介電常數ε 的關系(損耗角正切tanδ=0);(b) q-BIC 諧振透射峰與待測物tanδ 的關系 (介電常數ε=1).x-偏振 (c) q-BIC 諧振透射峰與待測物介電常數ε 的關系(損耗角正切tanδ=0);(d) q-BIC 諧振透射峰與待測物tanδ 的關系(介電常數ε=1)Fig.7.y-polarization:(a) Relationship between transmission peak of the q-BIC resonance and the dielectric constant of the subject to be measured ε (loss angle tanδ=0);(b) relationship between q-BIC resonance transmission peak and tan δ to be measured(dielectric constant ε=1).x-polarization:(c) Relationship between transmission peak of the q-BIC resonance and the dielectric constant of the subject to be measured ε (loss angle tanδ=0);(d) relationship between q-BIC resonance transmission peak and tan δ to be measured (dielectric constant ε=1).

4 結論

本文提出了一種由兩組SRRs 組成的金屬太赫茲超表面,利用太赫茲時域系統實驗驗證了不同偏振的電磁波入射時,超表面的透射光譜特征;通過數值計算研究了超表面的SRRs 結構參數與其透射光譜中不同模式諧振之間的關系;不同諧振的電場分布及表面電流分布結合多極分解的計算結果,證實了超表面透射譜中的Mode 1 諧振和Mode 2 諧振的主要來源于MD,Mode 3 諧振主要來源于TD,Mode 4 諧振主要來源于EQ;在Jaynes-Cummings 模型下計算了形成q-BIC 模式諧振的兩種不同模式諧振的歸一化耦合強度比,分別為0.54% (x-偏振)和4.42% (y-偏振).結果表明:超表面透射光譜中的不同模式諧振之間通過相互耦合作用形成q-BIC 模式諧振,且不同諧振的工作頻率取決于其主要響應的SRRs 的結構參數.因此,通過調節超表面SRRs 的結構參數可以有效控制其產生的q-BIC 模式諧振的工作頻率、帶寬和Q-因子,這有利于高Q-因子超表面的實際設計.此外,還研究了該超表面在傳感方面的性能,計算結果表明該超表面在入射波為y偏振時的靈敏度為151 GHz/RIU;入射波為x偏振時,其靈敏度為108 GHz/RIU.