整體把握內容 開展結構化教學
——基于課堂觀察的分析與思考

平國強

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標”）以結構化為主要的課程理念，并在“課程實施”中明確提出“整體把握教學內容”的教學建議，強調要注重教學內容的結構化，注重教學內容與核心素養的關聯?？梢?，“教學內容結構化”是提升學生核心素養的有效途徑，體現了對學生高階思維的關注和數學能力的培養。

結構化的本質在于強化知識的聯系。2022 年版課標指出：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系?！币虼?，在設計結構化的數學學習任務時，教師需要提供具有現實背景和內在關聯，符合學生認知特點的學習內容，且這些內容應蘊含學科思想、學科特征與結構。

那么，結構化教學的設計與落實具有哪些基本特點呢？通過觀摩和總結相關主題的課堂教學，筆者提煉出以下四個方面。

一、實施單元整體設計，突出知識融合教學

2022 年版課標在多個方面體現了“整體觀念”。從內容的角度，它提出要“整體把握教學內容”，具體策略是“注重教學內容的結構化”；從教學方法的角度，它提出要“選擇能引發學生思考的教學方式”，最重要的策略是“重視單元整體教學設計”。這表明：要在教學內容組織與教學方法層面實現結構化，就要實施單元整體教學設計。

這一特點涉及整體設計與整體教學兩個方面。整體設計的核心在于探究各類知識之間的聯系，并通過教學實施，引導學生感知和感悟這種聯系，構建出豐富且具有關聯的認知結構。整體教學要求教師通過問題引領和任務驅動，將整體設計具體化，幫助學生在整體中探究關系，通過關系主動獲取知識。因此，教師應基于知識間的內在關系與結構，對學習內容進行優化調整，將其以一個有聯系的整體的方式進行呈現，而不是簡單地按照例題或知識點孤立教學。

基于整體設計的教學單元構建有兩種基本類型。一是在核心素養指導下，對現行教材的教學單元進行結構化調整，主要包括教學序列的優化和教學內容的調整。以人教版教材五年級上冊《用字母表示數》一課為例，教材從例1 開始，分別安排了“用字母表示數量關系中的加減關系”“用字母表示數量關系中的乘除關系”“用字母表示運算律和計算公式”“用字母表示數量關系中的較復雜關系，求字母式的值”以及“用字母表示數學規律”五個例題。盡管教材內容設計詳盡，但仍暴露出一個明顯的問題，即過度關注用字母表示數和運算，而對用字母表示數量之間的關系關注不足。此外，五個例題的教學容易使教師簡單地按課時劃分教學過程，從而割裂“用字母表示數”相關知識的整體性和關聯性。

在教學《用字母表示數》一課①來自浙江省杭州綠城育華小學徐嚴兵老師執教的《用字母表示數》。時，教師巧妙地將教材中的五個例題整合為一組材料，呈現出整體設計的特點，值得借鑒。具體而言，教師先讓學生在圖1中找到每個情境圖中數量之間的關系，用字母表示出來。再引導他們思考：找到了怎樣的關系？應該怎么表示？還有其他表示方法嗎？

圖1

這一學習材料的設計旨在引導學生分析并表征各個情境中數量之間的一般關系，同時賦予學生較大的自主表達空間。針對②號情境圖中的總價，學生可以有4a、4x等多種表達方式；針對③號情境圖中的球員得分，學生的表達有3a+2b、3x+2y等；針對④號情境圖中小棒總數的表達方式則更為豐富，包括4+3（x-1）、3a+1、x=4+3（a-1）等。在表征這些數量關系的過程中，學生實際上實現了兩次水平的提升：第一次從簡單關系的表達提升到較復雜關系的表達，第二次從對數的表達提升到用等式完整表達關系。盡管對數的表達也反映了數量關系，但當采用等式進行完整表達時，數量關系更為清晰。由此，促使學生從用字母表示數自然過渡到表示各種數量關系，實現從例1到例5的完整建構，避免知識被人為割裂。

二是突破現行教材的教學單元格局，跨單元甚至跨年級整合有內在聯系的知識，促進學生構建具有學科結構的知識關系，優化學習結果。例如，長度單位、面積單位、體積單位和質量單位分別是不同年級學習的不同內容，但本質上都是對數學度量標準和度量方法的學習。在這一點上，它們具有共性，具備縱橫溝通、相互聯系、整體設計的基礎和必要性。

二、把握數學基本關系，實現知識有序轉化

數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學教學的目的不僅僅是使學生獲得知識、形成技能，更重要的是讓學生理解和把握數學知識之間的內在聯系，實現知識的融通與轉化，是知識結構化的重要體現。隨著年級的升高，學生需要學習的數量關系從基本到復合、由并列到嵌套逐漸復雜，解決問題的步驟也從一步到多步逐漸增加。這是學習的必然過程，也是知識豐富和水平提升的體現。從教學角度來看，這些變化均具有有序性和結構性，而結構化教學的目的就是讓學生理解與把握這種變化的有序性和結構性，理解復雜知識是基于何種方向和路徑進行演繹的，以及其背后的基本關系是什么，從而將知識之間的關系進行回歸或延伸，實現多向轉化。以下是一位教師設計的《校園里的數學故事（多步計算解決問題）》②來自浙江省杭州市紫金港小學倪啦老師執教的《校園里的數學故事》。一課的教學內容。

1.呈現核心材料一，建構基本關系

教師呈現三幅情境圖（如圖2），讓學生獨立思考，并列式計算。

圖2

（1）學生思考：如何解決這些問題？

（2）匯報交流：學生列出算式，并闡述自己的思考過程。

（3）討論明確：這些問題都采用乘法計算，因為它們都是求幾個幾是多少。

提煉數量關系：每份數×份數=總數。

我國酒店業的發展始于20世紀80年代初期，90年代以后發展更加迅速，但這些酒店有很大一部分源于諸如招待所等較為抵擋的居住設施，還有一部分是因為避免房地產的閑置而改做酒店營業。初始條件的限制，必然使我國酒店業在經營起點與思路方面和有上百年歷史的國外酒店管理集團相比有較大差距。雖然經過20多年的發展，我國酒店管理人員的素質得到了較大提高，但與發達國家比仍有較大差距，酒店業職業經理人才、職業化員工整體缺乏的現狀，仍未有效改變。中國內資酒店管理人素質偏低、人才結構不合理、管理人才專業結構單一，缺少專業化人才的局面仍然沒有從根本上得到改變［2］。

2.呈現核心材料二，感悟問題從簡單到復雜的變化

將上述求“一共有多少間教室”問題中的一個條件變成兩個條件（如圖3），把這個問題轉化為兩步計算的問題。

圖3

（1）學生列出算式，并用三張卡片解釋解題思路與意義：第一步求的是什么？

（2）匯報交流：展示自己的算式，并解釋第一步求的是什么。

3.練習將問題從簡單變到復雜

（1）將另外兩幅情境圖中的問題，由一步計算的問題轉化為兩步計算的問題。

（2）全班交流后，提煉變化的策略：改造信息、改造問題、添加信息。

（3）通過微課，梳理數量關系的變與不變（如圖4）。

圖4

上述教學過程基于基本關系，展示有序變化，強調基本結構。2022年版課標提出，要“強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構”。這里的“從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構”就是指引導學生感悟反映數學知識本質的基本關系。

三、基于學生認知經驗，實現知識主動遷移

教學內容結構化的目標是促使學生形成良好的、具有整體理解的認知結構，以便在后續的學習中實現知識的主動遷移。知識主動遷移的發生是有條件的。當學生具有結構清晰、穩定有序的認知基礎和知識經驗，并能夠運用已有知識經驗解決新問題時，遷移才能實現。也就是說，只有存在內在聯系的知識才能實現遷移轉化。若課堂教學要引導學生主動學習，就必須設計結構化的教學內容和任務型的教學進程，這是結構化任務設計的又一特征。

圖5

速度是“速度×時間＝路程”這個數量關系中的核心和重點，本身就是時間和路程之間關系的表達。因此，教師應把理解速度作為教學的突破口。雖然學生的這些回答尚不夠精準，但清楚地顯示出了他們對速度認識的前概念或直覺經驗，即他們已經意識到“速度與時間、路程有關”“速度是物體運動快慢的一種表達”。這些經驗完全可以為教學所用。教師只需要在課內稍加改造和提煉，即可幫助學生建構起數學化的“速度”概念。

第二個階段是應用知識，解決數學問題。應用的實質是遷移，是遷移的外在表征。在新知學習之后，僅僅用于鞏固知識和熟悉技能的練習，不能被視為結構化的學習材料，也不具備遷移的屬性。因此，教師應設計有聯系和層次的練習材料，促進學生從運用遷移獲得新知向運用遷移解決問題發展，提升數學學習的水平，發展數學能力和核心素養。在“數量關系：速度、時間、路程”這一內容的教學中，教師可在學生理解了速度，完成數量關系的建構后設計題目：三人同時從學校出發去往西溪濕地，你能解決如下問題嗎？（如圖6）

圖6

教師設計這一練習材料旨在引導學生用所學的數量關系解決簡單問題和較復雜的問題，提升能力，實現知識的第二次遷移。在完成這一練習之后，教師可提供圖7所示的學習材料，引導學生進行第三次類比遷移，從而實現對知識的結構化理解。

圖7

四、立足數學學科觀念，關注知識核心要素

數學知識豐富多樣，表現為繁雜的概念、技能、性質和方法。然而，僅從這一層面認識數學是遠遠不夠的。數學知識背后擁有學科觀念主導下的關系、結構和核心要素，只有感悟并理解這些公式和方法背后的思想與聯系，才能真正理解數學本質，形成正確的數學觀。

“尺規作圖”是2022年版課標在小學階段新增的學習內容，實質上是數學知識和原理的綜合應用。小學階段的“尺規作圖”主要涉及復制（長度相等的線段）。教學時若僅局限于知識與技能訓練，學生將難以理解它的本質。因此，有必要結合操作活動，讓學生感悟數學學科觀念：（1）直尺可以確定直線；（2）圓規兩腳可確定線段長度，用圓規可以畫出圓（到固定點等于固定長度的點的軌跡）；（3）尺規作圖的本質是“關鍵點”位置的確定。

例如，用直尺和圓規畫一個邊長與線段AB相等的等邊三角形。作圖時，先將AB作為等邊三角形的一條邊，確定兩個頂點A和B，再確定第三個頂點C的位置。頂點C需滿足以下兩個條件：（1）從C點到A點的距離等于AB的長度；（2）從C點到B點的距離等于AB的長度。以A為圓心，以AB為半徑畫圓（?。?，可得到滿足第（1）個條件的所有點；以B為圓心，以AB為半徑畫圓（?。?，可得到滿足第（2）個條件的所有點。它們的交點即為同時滿足兩個條件的C點（如圖8），只要連接AC和BC即可畫出等邊三角形。這個過程可以概括為“用直尺和圓規分別確定符合條件的所有點，它們的交點即為符合所有條件的點”。這便是尺規作圖確定“關鍵點”位置的策略。教師這樣組織與設計教學內容，才有助于學生感悟尺規作圖的觀念和原理，體現教學的結構化。

圖8

平面圖形的面積計算也是小學數學的重要內容。然而，學生學習了這些知識后，往往只掌握了計算公式，而缺乏對整體觀念和基本原理的把握。在這種情況下，學生只有通過具體計算才能進行思考和判斷，這不符合素養為本的數學教學目標。面積計算是一種間接度量，旨在表達平面圖形的大小。而平面圖形的大小由其包含的面積單位的數量來表示，與水平維度（底）和垂直維度（高）有關。其中，只有長方形是兩個維度上面積單位的數量與長、寬的長度“數”完全一致的平面圖形，其他平面圖形都需要經過轉化才能度量，這導致了計算公式的復雜性。

因此，為了讓學生感悟影響面積大小的核心要素是什么，教師有必要設計結構化的教學內容，引導學生探索發現。以《百變四邊形》④來自浙江省杭州采荷第二小學教育集團許麒能老師執教的《百變四邊形》。一課為例，教師教學時可以啟發學生思考：一個四邊形通過變化可以得到什么？教學過程如下。

在學生自由表達的基礎上，教師運用課件改變四邊形的頂點位置和邊與邊的關系，得到一系列四邊形（如圖9），并引導學生思考：它們的面積變了嗎？面積可能和什么有關？

圖9

針對任務一，學生可以通過數或計算方格數得到每個圖形的面積。針對任務二，學生需要運用數學的思維與方法，有策略地進行思考與比較，如比較②號與③號圖形或②號與④號圖形，從而發現面積的差異是由什么因素造成的。通過討論與交流，學生發現影響平行四邊形面積的要素是底和高。接著教師出示另一系列四邊形（如圖10），并提出問題：那么梯形的面積又和什么有關？

圖10

有了對平行四邊形的研究經驗，學生對任務三有了明確的猜想，并有策略地選擇相關的圖形進行對比研究，如比較①號與③號圖形、②號與④號圖形，發現梯形的面積也與底（底的和）和高有關，從而對平面圖形面積的意義和影響面積的核心要素有了更一般的理性認識。

這些學習材料之所以能讓學生獲得豐富的高層次的認知感悟，是因為它們關注的是知識背后的核心觀念與本質。通過對這樣有結構的學習材料的學習，學生最終領悟到決定平面圖形面積大小的核心要素是底和高，這是重要的學科觀念和素養，而面積計算公式僅僅是獲得面積具體大小的工具。

總之，設計結構化教學，需要對結構化的內涵有深刻的理解，對數學能力和核心素養的發展有深刻的認同。在設計教學內容和教學方法時，則應體現整體性，關注基本關系、主動遷移以及知識的核心要素。