Winkler地基梁動力學系統的無量綱化與參數識別*

鄭罡 曹和生 杜宗松 蔡汶秀 陳鵬

(1. 重慶交通大學 省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室,重慶 400074)

(2. 重慶交通大學 土木工程學院,重慶 400074)

引言

Winkler地基梁模型在巖土、公路、鐵路以及航空航天等領域都有著廣泛的應用[1-4],該模型的受力特點決定其易發生梁體損傷、地基脫空等破壞,從而對結構安全造成嚴重影響,因此,國內外學者對該模型的損傷診斷問題進行了大量研究,取得了一系列富有成效的進展.文獻[5]采用有限元法計算該模型在不同損傷工況下的振型與固有頻率,提出基于遺傳算法的兩級參數識別流程,對梁體損傷位置、程度以及地基脫空位置進行識別;文獻[6]通過建立考慮梁內損傷與地基脫空的有限元模型,計算相應工況下的轉角模態,并對其進行連續小波變換,識別了梁體損傷與地基脫空位置;文獻[7]利用分段函數推導了考慮地基脫空損傷的頻率方程,結合共軛迭代算法對地基脫空位置與長度進行識別.

值得注意的是,以上研究均需將各系統參數初始值作為已知量代入計算,若無法對其進行準確識別,則將在一定程度上造成損傷診斷結果與結構實際狀態的不符[8,9],因此,其系統參數初始值的識別問題愈發受到研究者的關注,文獻[10]通過錘擊法實測Winkler地基梁的固有頻率,采用傳遞矩陣法導出以地基剛度為未知數的高次方程,對地基剛度進行識別;文獻[9]基于頻率響應函數提出針對地基剛度與質量分布的雙參數識別算法.值得注意的是,由于Winkler地基梁動力學系統當前未能實現與系統參數的解耦,導致其動力學方程與頻率方程仍含多個系統參數,任意系統參數值的變化均將導致求解的重復,使該系統正、反兩類求解問題都不具適用于系統參數值任意變化的一般性;更重要的是,該系統的雙參數識別反問題也將成為雙參數超越方程組的非線性迭代,造成了求解的不便與困難,在一定程度上限制了雙參數識別算法的發展與應用.

可以看出,Winkler地基梁動力學系統的參數識別仍然存在有待解決的問題,因此,本文提出基于頻率比互等關系的雙參數識別算法,旨在同時對該系統兩項系統參數進行識別,并實現對其計算的簡化.本文首先提出一種新無量綱方法,完成Winkler地基梁動力學系統的無量綱化,實現動力學方程系數的徹底歸一化,建立與系統參數解耦的廣義頻率方程,然后導出頻率-梁長預解集與頻率比-梁長預解集,利用時間、空間還原系數所建立的線性轉換關系提出雙參數識別算法,同時對該系統的兩項系統參數進行識別.

1 Winkler地基梁動力學系統的無量綱化

據調研,根據無量綱方法的不同,Winkler地基梁動力學系統已演化出三種不同形式:(1)時間、空間坐標均未無量綱化的有量綱動力學系統[11];(2)僅對空間坐標進行無量綱化的部分無量綱動力學系統[12];(3)同時對時間、空間坐標進行無量綱化的完全無量綱動力學系統[13].

不同動力學系統所對應的動力學方程與頻率方程(以兩端固定邊界為例)可分列如下:

(1)有量綱動力學系統

動力學方程:

(1)

頻率方程:

(2)

(2)部分無量綱動力學系統

動力學方程:

(3)

頻率方程:

1-cos(δ2)cosh(δ2)=0

(4)

(3)完全無量綱動力學系統

動力學方程:

(5)

頻率方程:

1-cos(δ3)cosh(δ3)=0

(6)

表1 組合參數計算表

因此,下文提出一種新無量綱方法,以實現Winkler地基梁動力學方程系數的徹底歸一化.

1.1 動力學方程的歸一化

首先,引入時間、空間還原系數αt、αx,同時對該系統的時間、空間坐標作如下線性變換:

(7)

(8)

將線性變換式(7)、式(8)代入有量綱動力學方程式(1)有:

(9)

(10)

令:

(11)

(12)

解得:

(13)

(14)

當時間、空間還原系數按上式(13)、式(14)取值時,有量綱動力學方程式(1)即可轉化為如下歸一化形式:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

下文對歸一化動力學方程式(15)展開求解,導出相應邊界條件下的廣義頻率方程,以得到Winkler地基梁動力學系統的一般解.

1.2 頻率方程的廣義化

由分離變量法,可設歸一化動力學方程式(15)的通解為:

v(x,t)=φ(x)exp(iωt)

(22)

將式(22)代入式(15),可得本征函數φ(x)的通解:

φ(x)=A1cosh(δx)+A2sinh(δx)+

A3cos(δx)+A4sin(δx)

(23)

其中,A1～A4為依賴邊界條件與初始條件的復常數;δ系為簡化表達而引入的組合參數,可由式(24)計算.

(24)

此處考慮兩端固定、兩端簡支、固定-自由等3種經典邊界,相應的邊界條件表達式可分列如下:

(1)兩端固定

v(x,t)|x=0,l=0

(25)

(2)兩端簡支

v(x,t)|x=0,l=0

(26)

(3)固定-自由

(27)

將式(22)分別代入邊界條件式(25)～式(27),即可得到相應邊界條件下的廣義頻率方程:

(1)兩端固定

1-cos(δl)cosh(δl)=0

(28)

(2)兩端簡支

sinh(δl)sin(δl)=0

(29)

(3)固定-自由

1+cos(δl)cosh(δl)=0

(30)

由式(28)～式(30)可知,以上各邊界條件下的廣義頻率方程均實現了與系統參數的解耦,僅由組合參數δ與無量綱梁長l兩個變量決定.結合式(24)通過單變量迭代即可一次性求解得到各階頻率ωi關于無量綱梁長l的預解集,即ωi-l曲線;根據式(21),可進一步得到相應階次頻率比ηij關于無量綱梁長l的預解集,即ηij-l曲線.圖1、圖2以兩端固定邊界為例,分別給出了前6階頻率所對應的ωi-l曲線與ηi1-l曲線.

圖1 頻率-梁長曲線(ωi-l曲線)Fig.1 Frequency-Span curve(ωi-l curve)

圖2 頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線)Fig.2 Frequency ratio-Span curve(ηij-l curve)

值得注意的是,由于廣義頻率方程實現了與系統參數的解耦,故頻率-梁長曲線、頻率比-梁長曲線均具有適用于系統參數值任意變化的一般性,依托于時間、空間還原系數所建立的線性轉換關系即可實現對該系統正、反兩類問題的定解,不僅可有效避免傳統求解方法因系統參數值的改變而導致重復迭代的情況,而且可使傳統雙參數識別算法中的雙參數超越方程組的非線性迭代轉換為單參數迭代,使計算得到有效的簡化.

基于以上發現,下文提出基于頻率比互等關系的雙參數識別算法,展開對Winkler地基梁動力學系統的雙參數識別.

2 基于頻率比互等關系的雙參數識別算法

2.1 算法流程

圖3 雙參數識別算法流程圖Fig.3 Flow chart of dual parameter identification algorithm

圖3所示算法在準備工作后,可分5步計算.

準備工作:求解廣義頻率方程,繪制頻率-梁長曲線(ωi-l曲線);由頻率比互等關系式(21)繪制頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線).

Step2:由頻率比ηij,根據頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線)確定無量綱梁長l.

Step3:由無量綱梁長l,根據頻率-梁長曲線(ω-l曲線)確定各階次無量綱頻率ωi、ωj.

Step4:根據頻率轉換關系式(17)計算時間還原系數αt;由梁長轉換關系式(16)計算空間還原系數αx.

2.2 算法本質

根據2.1節算法流程可知,本文所提出的雙參數識別算法,將原本雙參數超越方程組的非線性迭代計算問題轉化為單變量超越方程(廣義頻率方程)的求解與式(16)～式(20)所示的線性轉換,實現了對雙參數識別計算問題的簡化,本節旨在探究識別計算得到簡化的原因.

因此,由廣義頻率方程求解所得到的頻率-梁長曲線(ωi-l曲線)其實是適用于系統參數任意變化的預解集,在正問題(頻率計算)中,各系統參數值是確定的,可由此直接計算時間、空間還原系數,利用頻率-梁長曲線實現對頻率的定解.然而,在雙參數識別反問題中,在兩個系統參數未知的條件下,僅依靠頻率-梁長曲線是不夠的,但通過式(17),發現了有、無量綱兩種體系間所隱含的頻率比互等關系式(21),得到頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線),實現了對動力學系統多模態特性的利用,提出了2.1節所示的算法流程,最終,實現了對雙參數識別計算的簡化.

3 兩類算例

為驗證本文無量綱方法與雙參數識別算法的可靠性與準確性,下文分別在正、反兩類求解問題上,與文獻算例進行比對.

3.1 正問題

表2分列了各組算例所采用的系統參數值,表3、表4則給出了在兩端固定、兩端簡支、固定-自由三種邊界條件下的計算頻率的對比情況.

表2 系統參數表

表3 計算頻率對比表系統1

表4 計算頻率對比表系統2

值得注意的是,文獻[12]以有量綱動力學系統求解、文獻[13]以部分無量綱動力學系統求解、文獻[14,15]以完全無量綱動力學系統求解,本文則采用新無量綱方法,基于歸一化動力學方程與廣義頻率方程求解.可以看出,在以上各邊界條件下,本文計算頻率均與文獻算例吻合良好,表明本文無量綱方法具有良好的可靠性與準確性.

3.2 反問題

本文以兩端固定邊界為例,采用系統1相關計算頻率對實測頻率進行模擬,以研究本文雙參數識別算法的穩定性,考慮頻率測試的不確定性,現對計算頻率施加不同等級隨機噪聲,模擬實測頻率的計算公式可表示如下:

(31)

表5 模擬實測頻率表

本文選取0.1%,0.5%兩級噪聲所對應的模擬實測頻率計算各階頻率比ηij,并以不同階次頻率比分別進行識別計算,分析頻率比的選擇與參數識別誤差的關系,研究適于參數識別的最優頻率比,頻率比的組合方式如表6所示,i、j分別代表分子、分母有(無)量綱頻率的階次.

表6 頻率比組合表

利用表6所示的45種頻率比分別進行參數識別計算,繪制頻率比-識別誤差散點圖,并對散點進行擬合,分析不同頻率比的選擇與彎曲剛度、地基剛度識別誤差的聯系.

由圖4、圖5可知:(1)彎曲剛度的頻率比-識別誤差擬合曲線整體平順,無明顯單調性,表明對于彎曲剛度的識別,頻率比的選擇對其識別精度無明顯影響.(2)地基剛度的頻率比-識別誤差散點呈明顯階梯狀分布,相應的擬合曲線也具有明顯的單調性,均體現出地基剛度的識別誤差隨頻率比分母頻率階次的增大而增大的趨勢,反映出低階頻率對地基剛度的變化更為敏感的特性.

圖4 頻率比-識別誤差曲線(彎曲剛度Fig.4 Frequency ratio-identification error curve

圖5 頻率比-識別誤差曲線(地基剛度Fig.5 Frequency ratio-identification error curve

基于以上發現可知,對Winkler地基梁動力學系統進行參數識別時,應盡量選取低階頻率作為頻率比分母頻率以提高識別精度.因此,本文選取結構基頻作為頻率比分母頻率,以2～10階頻率作為頻率比分子頻率,分別以為頻率比進行參數識別計算,取9組識別值的平均值作為參數識別最終值.下表7分列了不同噪聲等級下彎曲剛度與地基剛度的識別誤差.

表7 參數識別誤差表

由表7可知,在以上5種不同等級噪聲影響下,根據本文參數識別算法,對彎曲剛度的識別誤差小于1.21%,對地基剛度的識別誤差小于5.47%,本文參數識別算法具有良好的識別精度,可對Winkler地基梁動力學系統的系統參數進行有效識別.

4 結論

為簡化Winkler地基梁動力學系統的雙參數識別計算,本文提出新無量綱方法,對Winkler地基梁動力學系統進行無量綱化,實現了動力學方程的歸一化,得到與系統參數解耦的廣義頻率方程,在此基礎上,建立基于頻率比互等關系的雙參數識別算法,對該系統的彎曲剛度與地基剛度進行識別,主要研究結論如下:

(1)基于本文所提出的新無量綱方法,該系統的動力學方程與頻率方程均實現了與系統參數的解耦,適用于具有任意系統參數值的Winkler地基梁動力學系統.

(2)僅需對廣義頻率方程進行一次求解即可在相應邊界條件下得到頻率、頻率比關于無量綱梁長的預解集,該預解集具有適用任意系統參數值的一般性,僅需由時間、空間還原系數所建立的線性轉換關系即可實現對該系統正、反兩類求解問題的定解,避免了傳統求解方法因系統參數值的改變而導致重復迭代求解的情況,實現了解的一般化.

(3)本文雙參數識別算法的計算僅涉及單變量超越方程的求解與線性變換,避免了傳統雙參數識別算法中雙參數超越方程組的非線性迭代計算,實現了計算的簡化.

(4)本文雙參數識別算法對彎曲剛度的識別誤差小于1.21%,對地基剛度的識別誤差小于5.47%,具有良好的識別精度,可對Winkler地基梁動力學系統的系統參數進行有效識別.