含執行器故障的切換非線性系統的事件觸發自適應模糊容錯控制*

王芳 李實 王榮浩

(1. 南京師范大學 電氣與自動化工程學院,南京 210023)

(2. 陸軍工程大學 國防工程學院,南京 210007)

引言

近年來人們對非線性系統的關注度越來越高,大量控制方案已被廣泛研究[1-4].文獻[5]將嚴格實用穩定性相關概念推廣到具有控制輸入的非線性奇異系統,利用兩個Lyapunov函數和比較原理得出該類系統嚴格利用穩定及嚴格實用漸進穩定的充分條件;最近切換非線性系統的穩定性分析以及控制器設計逐漸成為研究熱點[6-8].文獻[6]研究了一類單輸入單輸出切換非線性系統輸出與擾動的解耦問題,提出了此類系統輸出與擾動的完全解耦的充分條件;文獻[7]為基于切換規則為時間依賴型的切換非線性系統設計了觀測器,保證了系統穩定性;文獻[8]研究了典型非線性廣義系統的狀態反饋控制器和觀測器設計問題.

在實際應用中,許多切換非線性控制系統存在系統帶寬和通訊資源有限的問題.如何節約通訊資源成為另一研究熱點.針對這一問題,文獻[9]研究一類輸入飽和的切換非線性系統的事件觸發輸出反饋控制問題,設計了基于降維觀測器的輸出反饋控制器,保證了閉環信號全局有界;文獻[10]設計了一種自適應非線性干擾觀測器,用于任意切換非線性系統的事件觸發跟蹤;基于駐留時間條件,文獻[11-13]研究了切換非線性系統的事件觸發控制問題, 所提出的方案在保證系統穩定性的同時排除了Zeno現象.文獻[14,15]研究了基于平均駐留時間約束的切換非線性系統, 設計了事件觸發控制器并導出了系統穩定所需要滿足的平均駐留時間條件.文獻[16]針對一類切換非線性系統的周期事件觸發控制展開了研究, 給出了輸出反饋周期事件觸發控制方案,保證了系統在任意切換下的穩定性.文獻[17]研究了含有未知控制系數的切換非線性非嚴格反饋系統,設計了一個公共的降維觀測器及帶有離散事件觸發控制器的輸出反饋周期事件觸發控制器,使通訊資源的利用降低.

以上研究是在執行器正常工作前提下展開的,但是實際控制系統,由于外部環境或自身因素影響,執行器在實際運行過程中可能發生故障.文獻[18-22]針對不同類型系統,研究了容錯控制方案;文獻[23]研究了包含未知擾動和執行器故障切換非線性系統,設計了魯棒H∞可靠控制器,使系統在任意切換下全局二次穩定.文獻[24]研究了切換非線性大系統的輸出反饋自適應事件觸發容錯控制問題,設計了新型自適應容錯事件觸發控制器,保證了閉環信號有界.需要指出的是上述結果都是基于公共Lyapunov函數研究的,但是據作者所知針對含有平均駐留時間約束的切換非線性系統容錯事件觸發控制問題研究卻鮮有報道,本文主要提出了3個具有挑戰性的問題:(1)若切換非線性系統包含執行器故障,如何設計容錯事件觸發控制器來克服執行器故障帶來的影響同時節約系統通訊資源?(2) 如何為每個子系統設計狀態觀測器?(3)如何選取平均駐留時間條件,使閉環系統所有狀態有界?本文針對以上問題展開研究,主要內容如下:

(1) 與已有文獻[11-15]相比,本文考慮的系統中包含執行器故障,為了有效地實現容錯控制,我們引入坐標變換將原系統轉換為新系統,并設計出模態依賴的狀態觀測器與控制器.

(2) 不同于文獻[18,21]設計的控制器,為了節約控制系統的通訊資源,本文設計了一種新穎的自適應輸出反饋事件觸發容錯控制方案.

(3) 文中設計了一種新型事件觸發機制,該機制可以有效避免切換發生在觸發區間內,導致的控制器模態和系統模態不匹配的現象對系統穩定性的影響.

1 問題描述

考慮如下切換非線性系統:

(1)

由于外部環境或自身因素影響,執行器在實際運行過程中可能發生故障.在本文中,執行器的故障模型[9]被描述為:

(2)

引理1[26]切換信號有平均駐留時間τa>0,若存在常數N0>0則存在:

引理2[27,28]基于集合Ωz存在連續函數F(Z),對于任意?>0,令L為模糊規則數,存在模糊邏輯系統ΘTΦ(Z)滿足:

其中

Z=[Z1,...,Zn]T,

Θ=[Θ1,...,ΘL]T,Φ(Z)=[φ1(Z),...,φL(Z)]T,

F(Z)=ΘTΦ(Z)+μ(Z),

引理3[29]對于?η>0,x∈R函數tanh(·)滿足

本文的控制目標是為系統(1)設計輸出反饋自適應模糊事件觸發控制器,保證其對應的閉環系統所有狀態半全局一致最終有界.

2 主要結果

2.1 觀測器設計

由于狀態未知,我們引入如下的坐標變換:

ξi=xi/ζ,

(3)

其中i=1,…,n.

由公式(3),系統(1)可以描述為:

(4)

其中

設計狀態觀測器如下:

(5)

是Hurwitz矩陣.

由式(4)和式(5)可得:

(6)

其中

Fσ(t)(ξ)=[f1,σ(t)(ξ1)+b1,σ(t)(1-ζ)ξ1,…,

Dσ(t)(t)=[d1,σ(t)(t),...,dn,σ(t)(t)]T,

注2由于系統(1)的執行器中未知,我們針對系統直接設計觀測器存在一定的難度.因此,我們引入坐標變換(3),將系統(1)轉換為系統(4),并由此設計模態依賴的狀態觀測器(5).

2.2 事件觸發控制器設計

基于觀測器(5),首先定義坐標變換如下:

(7)

其中αi-1為虛擬控制器.

當σ(t)=k表示第k子系統激活.

第1步: 選擇Lyapunov形式為:

(8)

進而可得:

(9)

根據引理2得:

θi=max{‖Θi,k‖2:k∈M},i=0,1,2,...,n,

(10)

(11)

(12)

其中

(13)

由Young’s不等式可得:

(14)

(15)

設計虛擬控制律和自適應律:

(16)

由Young’s不等式得:

(17)

將式(12),式(14)～式(17)代入式(13)得:

(18)

第2步: 選擇Lyapunov函數形式為:

其中r2>0是設計參數.對其求導得:

(19)

(20)

(21)

其中b2=maxk∈M{b2,k}.

將式(18),式(20)和式(21)代入式(19)得:

(22)

其中

根據引理2得:

其中μ2,k(Z2)為逼近誤差.

利用Young’s不等式,有:

(23)

設計虛擬控制律和自適應律:

(24)

其中

(25)

第j步: (3≤j≤n-1)選擇Lyapunov形式為:

(26)

其中rj>0是設計參數.

對其求導得:

(27)

其中

(28)

利用Young’s不等式可得:

(29)

(30)

其中bj=maxk∈M{bjk}.

令

設計虛擬控制律和自適應律:

(31)

將式(29)～式(31)代入式(27)得:

(32)

步驟n: 選擇Lyapunov函數形式為:

(33)

其中rn>0是設計參數,對其求導得:

(34)

其中

令

(35)

(36)

(37)

其中bn=maxk∈M{bn,k}.

設計虛擬控制律和自適應律為:

(38)

(39)

將式(36)～式(39)代入式(34)得:

(40)

設計事件觸發控制器:

(41)

u(t)=?(tp),?t∈[tp,tp+1),

(42)

tp+1=inf{t∈R||ε(t)|≥βk|u(t)|+

γ2,korσ(t)≠σ(tp)},

(43)

其中ε(t)=?(t)-u(t),ηk>0,γ1,k>0,γ2,k>0,0<βk<1是設計參數滿足γ1,k>γ2,k/(1-βk),tp,p∈+是觸發時刻,當觸發規則式(43)被滿足則控制器輸入為u(tp+1).

基于式(41)～式(43)可得:

?(t)=[1+ζ1(t)βk]u(t)+ζ2(t)γ2,k,

(44)

其中|ζ1(t)|≤1,|ζ2(t)|≤1.

控制器可表示為:

(45)

將控制律式(45)代入式(40)得:

(46)

(47)

結合式(46)、式(47)與引理3可得:

(48)

0.557ηk.

(49)

(50)

注3當切換發生在觸發區間[tp,tp+1)時,由于控制器需要在tp+1時刻才進行更新,因此,可能出現控制器模態和系統模態不匹配的情況,進而對系統穩定性產生影響,為了避免這一問題,我們構造了新型的觸發機制式(43).

2.3 穩定性分析

令

h=mink∈M{[λmin(Qk)-4-n]/λmax(Pk),

2ci,2li,i=1,...,n},

φ=maxk∈M{δn,k+0.557ηk}.

可得:

(51)

定理1：考慮切換非線性系統(1)滿足假設1,在觀測器(5),事件控制器(42)及觸發機制(43)的作用下,如果平駐留時間滿足τa>ln?/h,那么可得系統(1)對應閉環系統所有狀態半全局一致最終有界.

證明：為系統(1)選取Lyapunov函數為:

Vk[X(t)]≤?Vs[X(t)],

(52)

其中?>1,k,s∈M.

選擇函數H(t)=ehtVσ(t)[X(t)],有:

≤φeht,t∈[tq,tq+1)

(53)

其中[tq,tq+1)表示相鄰切換時間間隔.

結合式(52)可得:

H(tq+1)=ehtq+1Vσ(tq+1)[X(tq+1)]

(54)

選擇區間q=0→q=Nσ(T,0)-1,得:

≤…

(55)

?T≥t≥0.

(56)

由Nσ(T,0)-q≤1+Nσ(T,tq+1),q=0,1,…,Nσ(T,0)可得:

?Nσ(T,0)-j≤?1+N0e(h-l)(T-tq+1),

(57)

由于l

(58)

結合式(57)和(58),式(55)可變為:

(59)

進一步有:

(60)

為排除Zeno現象,由ε(t)=?(t)-u(t),對于?t∈[tp,tp+1)有:

(61)

≤ψ(tp+1-tp).

(62)

3 仿真算例

在本節中,將通過仿真算例驗證所提出方案有效性.

例1 考慮如下切換非線性系統:

(63)

本例考慮υ(t)=0.5u(t)+0.8sin(t).

根據式(5)設計狀態觀測器,根據式(16),(31),(38)和(39)設計虛擬控制律和自適應律,根據式(41)～(43)事件觸發控制器.跟蹤信號設置為yd=0.2sin2t,針對系統(63),選取初始值及參數如下:

仿真結果如圖1～圖6所示:

圖1 y和yd軌跡Fig.1 Trajectories of y and yd

圖1顯示系統輸出信號和跟蹤信號,圖2,3顯示系統的狀態軌跡,切換信號顯示在圖4,控制信號和事件觸發時刻分別顯示在圖5和圖6.從仿真結果可以看出,閉環系統所有狀態有界,從而驗證本文提出的方案是有效的.

圖2 狀態ξ1,ξ2和ξ1,ξ2的軌跡Fig.2 Trajectories of ξ1,ξ2 and ξ1,ξ2

圖3 系統狀態x2的軌跡Fig.3 Trajectory of x2

圖4 切換信號σ(t)Fig.4 Switching signal σ(t)

圖5 事件觸發時刻Fig.5 Event-triggered instants

圖6 控制信號uFig.6 Control signal u

4 結論

本文針對一類具有執行器故障的切換非線性系統,解決了模糊自適應事件觸發輸出反饋容錯控制問題.通過設計狀態觀測器,估計了不可測量狀態.設計了事件觸發控制策略能減輕傳輸負擔,最后利用多Lyapunov函數和平均駐留時間方法,證明了所設計的方法使閉環系統所有狀態半全局一致最終有界并排除Zeno現象.未來將進一步研究隨機切換非線性系統的事件觸發控制問題.