不可壓縮超彈性球體中微孔運動的分岔和混沌*

馬敏富 趙振濤 陳威屹 袁學剛,3?

(1. 北方民族大學 數學與信息科學學院,銀川 750021)

(2. 大連民族大學 機電工程學院,大連 116600)

(3. 大連民族大學 理學院,大連 116600)

引言

橡膠、類橡膠等是典型的超彈性材料,被廣泛應用于汽車、建筑、電子、航空航天等諸多領域,具有很好的減震或吸能作用[1,2].作為一種具有儲能函數的非線性彈性物質,其本構關系可以完全由它們的應變能函數給出,如neo-Hookean、Ogden、Mooney-Rivlin和Yeoh材料模型等[3].特別地,neo-Hookean材料模型因其形式簡單以及無條件穩定性等優點,為非線性彈性體動力學建模和求解提供了很大的便利[4,5].

當非線性材料和結構受到外部拉伸時,會出現空穴的生成、增長以及相鄰空穴的貫通等現象,由此引起了眾多學者的關注.其中,Polignone等[6]基于超彈性材料組成的球體,研究了微孔的生成和增長以及微孔的靜態分岔問題.Yuan等[7]推導出微孔運動的二階非線性常微分方程,并分析了微分方程解的定性性質,討論了材料參數對微孔進行周期振蕩的影響.Tang等[8]基于非線性動力學理論,研究了粘彈性材料組成的結構穩定性問題.任九生等[9]研究了周期載荷作用下不可壓縮超彈性球體中的空穴生成問題,并對系統進行數值模擬,得出周期載荷的平均載荷與空穴運動之間的關系.Yuan等[10]對于超彈性材料組成的球形薄膜,推導出描述薄膜徑向對稱運動的二階非線性常微分方程.詳細討論了在周期階梯載荷作用下球形薄膜隨時間產生的非線性周期振動并給出相應的數值模擬.近年來,隨著非線性動力學理論的發展以及數值計算的進步,使得與超彈性材料相關的更復雜問題的求解成為可能.張弛等[11]研究了受軸向激勵彈性支承梁的穩定性問題,在非線性彈性理論框架下推導控制方程,并對其進行數值模擬.Xu等[12]研究了一類不可壓縮熱超彈性材料組成的圓柱體的有限變形問題.利用邊界條件等推導出隱式解析解,數值算例表明,圓柱體中部的徑向變形幾乎是均勻的,當軸向載荷較大時,兩端附近的變形沿軸向變化較明顯.曾青等[13]針對一類擬周期激勵的分段非線性軋機輥系統,發現存在多種路徑可以產生奇異非混沌吸引子并進行了證明,該研究為非光滑動力學系統中的混沌控制提供了相應的理論依據.Aranda-Iglesias等[14]研究了超彈性材料組成的圓柱結構的軸對稱非線性振動,證明了圓柱殼的運動可以由周期到擬周期和混沌的變化,并討論了參數對結構非線性振動的影響.張文等[15]針對一類單自由度齒輪動力學系統,將其動力學方程簡化為二階微分方程,通過打靶法得到嵌入混沌吸引子中的不穩定周期軌道,并利用OGY方法實現了混沌控制.同時考慮材料和幾何非線性,Zhao等[16]研究了動態加載下粘-超彈性球殼的非線性動力學行為,根據變分原理和有限粘彈性理論推導出描述粘-超彈性球殼徑向對稱運動的耦合的積分-微分型方程,并發現材料的粘性系數改變時,系統的共振頻率發生偏移,混沌和多周期振動交替出現.隨后,Zhao等[17]又研究了動態載荷和結構阻尼對不可壓縮超彈性球殼的非線性動力學行為的影響,并使用Melnikov方法對混沌運動進行了分析.此外,李雙寶等[18]介紹了非光滑系統全局動力學Melnikov方法的研究進展.李冠強等[19]基于Duffing振子系統,對控制方程進行數值模擬,進一步揭示了對稱系統到非對稱系統的演變過程.

本文研究了周期擾動載荷作用下微孔的復雜動力學行為.首先,針對一類徑向橫觀各向同性不可壓縮超彈性neo-Hookean材料組成的球體,建立描述內部微孔徑向對稱運動的數學模型,并將其約化為二階非線性常微分方程;其次,討論了材料和結構參數對非線性系統平衡點的影響,并進行了定性分析;最后,結合數值算例分析了周期擾動載荷下微孔的擬周期和混沌運動.

1 模型建立

1.1 控制方程

基于彈性力學理論,描述彈性體運動的平衡微分方程為:

(1)

本文研究了在一類周期擾動載荷作用下,超彈性球體中心處微孔的徑向對稱運動.令(R,Θ,Φ)和(r,θ,φ)分別為初始構型和當前構型下的球體坐標.特別地,在球對稱變形假設下,式(1)可以簡化為如下的偏微分方程

(2)

在式(2)中,σrr(r,t),σθθ(r,t)是Cauchy應力張量的兩個主值,分別為

(3)

其中,p(r,t)是待定的靜水壓力,F的主值由下式給出

(4)

本文假設球體由一類徑向橫觀各向同性neo-Hookean材料組成,相應的應變能函數為[6]

(5)

其中μ是剪切模量,a≥0是反映各向異性程度的無量綱材料參數.

球體的外表面受到徑向周期性擾動,并且微孔表面無約束,相應的應力邊界條件為

σrr[r(ε,t),t]=0

(6)

其中,P(t)=p0+ηsinωt是與時間t相關的徑向擾動載荷,p0為常值載荷,η為外激勵幅值,ω為擾動載荷的外激勵頻率,A和ε分別表示球體的外表面半徑和微孔的初始半徑.

球體在時間t=0時處于未變形狀態,則初始條件可以表示為

(7)

因此,描述在徑向周期擾動載荷作用下超彈性球體的徑向對稱運動的數學模型由式(2)～式(7)給出.

1.2 模型求解

根據材料的不可壓縮約束,有?r(R,t)/?R=R2/r2(R,t).等式兩邊關于R積分,可以得到

(8)

其中r1(t)=r(R1,t)≥0是與微孔半徑相關的待定函數.根據式(7)和式(8),有

(9)

對球體的平衡微分方程以及初邊值條件進行整理可得

(10)

為了便于定性分析,引入如下形式的無量綱變換

x(t)=r1(t)/A,δ=(A3-ε3)1/3/A,

(11)

其中,τ為無量綱時間.根據式(10),式(11),得到如下形式的無量綱方程

(12)

其中

(13)

(14)

2 常值載荷

(15)

2.1 平衡點及其定性分析

Pcr+Mnx3+o(x3),(x→0+)

(16)

其中,Pcr是微孔生成的臨界載荷.

令Mn=0,求得微孔分岔的臨界材料參數a0,當aa0時,存在臨界結構參數δ0,當0<δ≤δ0時,系統只有一個中心(x2,0);當δ0<δ<1時,存在兩個臨界載荷Pt1和Pt2,出現二次轉向分岔的情況:(1)若PPt2,系統只有一個中心(x3,0);(2)若Pt1

圖1 系統的平衡點曲線Fig.1 Equilibrium point curves of the system

2.2 微孔的周期運動

進一步求得式(12)的首次積分

(17)

其中C是與初始條件相關的“能量常數”,S(x,δ,P)為系統的勢能函數,具體形式為

(18)

對給定的材料參數,微孔在常值載荷作用下的非線性振動周期為

(19)

其中xmax對應微孔的最大半徑.

給定初始條件時,系統可圍繞任一勢阱作周期運動,也可以同時圍繞兩個勢阱作周期運動,且勢阱與系統的中心相對應,如圖2(a)、圖2(b)所示.由圖2(c)、圖2(d)可知,對給定的材料參數,當微孔半徑足夠小時:(1)若aa0,微孔的振幅逐漸增大,同樣存在臨界載荷Pμ,此時振幅出現了跳躍現象,其相軌跡為非對稱“∞”型同宿軌道.

圖2 不同參數對應的勢阱和等高線Fig.2 Well potential and contour lines corresponding to different parameters

3 周期擾動載荷

3.1 微孔的擬周期運動

當初值取在系統的中心附近時,通過時程曲線,相軌跡和Poincaré截面重點關注微孔圍繞單勢阱和兩勢阱的擬周期運動.

圖3 不同擾動參數下中心附近的時程曲線和相軌跡Fig.3 Time response curves and phase diagrams near the center under different perturbation parameters

注意到,在周期擾動作用下,微孔表現出擬周期運動,Poincaré截面變為多個獨立的封閉曲線,且單勢阱和雙勢阱運動都有類似的表現,如圖4所示.

圖4 周期擾動下的Poincaré截面,(a) 單勢阱運動,(b) 雙勢阱運動Fig.4 Poincaré sections under periodic perturbation of (a) one well potential and (b) double well potentials

圖5 不同初始條件下的Poincaré截面Fig.5 Poincaré sections with different initial conditions

3.2 微孔的混沌運動

為探究微孔在鞍點附近的動力學行為,首先分析了鞍點附近時程曲線的變化,由圖6可以看出,微孔在鞍點附近對擾動參數的變化更加敏感.

圖6 不同擾動參數下鞍點附近的時程曲線Fig.6 Time response curves near the saddle point under different perturbation parameters

圖7 不同擾動參數下鞍點附近的Poincaré截面和最大Lyapunov指數Fig.7 Poincaré sections and maximal Lyapunov characteristic exponents near the saddle point under different perturbation parameters

4 結論

本文針對一類徑向橫觀各向同性不可壓縮neo-Hookean材料組成的球體,分析了周期擾動載荷對微孔定性行為的影響,通過對該問題進行數學建模和定性分析,得到的主要結論為:

(1)在常值載荷作用下,討論了材料參數和結構參數對微孔分岔行為的影響.結果表明,材料參數和結構參數都會導致系統的二次轉向分岔現象,并且隨著外載荷的增大,系統的平衡點個數出現“1-3-1”的變化情況.通過分析系統平衡點和勢阱的變化情況發現,材料參數和結構參數影響微孔的分岔并影響其生長速率.特別地,存在臨界載荷,導致結構剛度的明顯變化,甚至產生振幅跳躍現象.

(2)在周期擾動載荷作用下,基于二次轉向分岔的討論,給出了結構出現混沌運動的條件.特別地,不同的初值選擇導致微孔具有完全不同的運動方式:① 初值取在中心附近時,發現微孔呈現擬周期運動;② 初值取在鞍點附近時,通過時程曲線、Poincaré截面和最大Lyapunov指數等方法發現微孔呈現混沌運動,并通過擬周期運動中出現的等勢線破裂現象進行了解釋.