一類平面解析系統強退化奇點的可積性

梅世明 黃土森

摘 要： 利用正規型理論研究一類平面解析系統強退化奇點的可積性問題。首先證明，任意一個可微系統，在可微同胚的變量變換以及時間尺度變換下，可積性保持不變。其次，對于二次齊次的微分系統，可以通過仿射變換及時間尺度變換化為4種標準形；針對其中的一種標準形，結合正規型理論，利用主系統是哈密爾頓的，且所對應的哈密爾頓函數的分解式是單因式的形式微分系統可積的充要條件，給出了相應的非線性系統可積的條件。該結果為研究平面系統的相圖和局部定性結構提供了理論依據。

關鍵詞： 平面解析系統；強退化奇點；可積性；正規型；時間尺度變換

中圖分類號： O175.14

文獻標志碼： A

文章編號： 1673-3851 （2024） 03-0255-10

The integrability of strongly degenerate singularity for a class of planar analytical systems

Abstract： The integrability problems of strong degenerate singularities for a type of planar analytical systems are studied by means of the normal form theory. Firstly， it is proved that the integrability of any differentiable system remains unchanged under the variable transformation of the differentiable homeomorphism and time scale transformation. Secondly， the quadratic homogeneous differential system can be transformed into four canonical forms by affine transformation and time scale transformation. Finally， as for one of the canonical forms， the conditions of the integrability for the corresponding nonlinear analytical systems are given by using the normal form theory together with the necessary and sufficient conditions that the main system is Hamiltonian system and that the factorization of the corresponding Hamiltonian function only has simple factors. The results provide a theoretical basis for studying the phase diagram and local qualitative structure of planar systems.

Key words： planar analytical systems; strongly degenerate singularity; integrability; normal form; time scale transformation

0 引 言

非線性微分方程出現在應用科學的眾多分支中。在平面系統的背景下，一個基本問題是單值性問題，它涉及是否可以在系統奇點的一個鄰域中定義Poincar第一返回映射。如果可以定義Poincar第一返回映射，那么這樣的奇點稱為單值奇點［1］。對于平面解析系統而言，其單值奇點要么是一個中心，要么是一個焦點［2］。對于任一給定的系統，一旦建立了單值性，則解決Poincar的中心-焦點區分問題（通常稱為中心問題或穩定性問題）的后續工作是尋找決定單值奇點是中心還是焦點的條件。

首次積分是定義在R2上的某個非空開子集上的非常數函數，它沿平面系統的解曲線（軌跡）是恒定的。對于平面系統，與中心問題密切相關的是（局部）可積性問題，即確定平面系統在單值奇點的某鄰域中是否存在首次積分。如果首次積分存在，則稱該平面系統是可積系統。因為首次積分的存在完全決定了一個系統的相圖，所以可積性問題也是微分方程定性理論中一個非常重要的問題。平面系統的可積性類型，根據其首次積分所屬的函數類不同，可以分為多項式可積、有理可積、代數可積、Ck-可積（k是自然數）、形式可積以及解析可積等。

有關確定給定平面系統是否可積的問題，與Hilbert第十六問題［3］密切相關，目前仍然是一個尚未完全解決的經典問題。如果解析平面系統的某個非退化奇點是中心，那么系統在該奇點的線性部分等價于（-y，x）T。根據Poincar定理，解析平面系統的某個非退化奇點是中心的充要條件是存在解析首次積分［2］。但當系統的奇點是退化奇點時，即系統在該奇點的線性化矩陣是冪零矩陣（相應的奇點稱為冪零奇點）或零矩陣（相應的奇點稱為強退化奇點或線性零奇點），雖然某些冪零中心或強退化中心有解析的首次積分，然而與非退化情形不同，此時由系統的解析可積性不能確定中心是否為冪零中心或強退化中心［3］。

變量變換是研究平面系統可積性的重要方法之一，其目的是將平面系統化為更簡單的形式。對于變換后的系統，更容易確定它是否存在首次積分。正規型理論的基本思想是對平面系統進行變量變換，使用一系列近恒等變量變換及時間尺度變換（有時需要使用無窮多次［4-5］），消去系統中“不重要的項”以簡化系統。通常研究簡化后系統的可積性更容易些，但是只有當變換后系統的可積性與原系統的可積性一致時，才可以得到原系統的可積性，甚至求得原系統的一個首次積分。因此，變量變換的選擇非常重要，在對一個系統進行變量變換時，首先就要證明所作的變量變換不會改變原系統的可積性，否則就沒有任何意義。擬齊次正規型理論［4-7］是本世紀初建立起來的一個重要研究工具，它是經典正規型（即齊次正規型）理論的推廣，已應用于強退化奇點的單值性與可積性等局部定性性質研究［3］。

本文主要研究一類最低次是二次齊次的平面解析系統的可積性判別條件。首先證明了在可微同胚的變量變換以及時間尺度變換下，任意一個可微系統的可積性保持不變。其次，通過仿射變換及時間尺度變換，將二次齊次的微分系統變換為4種標準形；并針對其中一種標準形，通過計算其正規型給出該類系統的解析可積條件。本文的結果有助于研究這類系統的相圖和局部定性結構。

1 預備知識

考慮平面微分系統

其中：P，Q是在原點取值為零并且沒有公因式的形式或解析函數，原點是系統（1）的一個孤立奇點。記X=（x，y）T，且F=（P，Q）T表示與系統（1）相關的向量場，則系統（1）用向量記號可以寫成

若系統（2）存在形式（解析）首次積分，則稱它是形式（解析）可積的。設H（x，y）是在原點某鄰域中的一個C1函數，顯然，H（x，y）是系統（2）的一個C1首次積分當且僅當它在該鄰域中滿足方程ΔH·FHxP+HyQ≡0；該方程稱為系統（1）或系統（2）的可積性方程。

為了介紹擬齊次正規型理論，令m=（t1，t2）是任意給定的非負、無公因子且不全為零的整數對子；設t1≤t2，記|m|=t1+t2表示m的模。設f是一個兩變量的標量函數，如果存在整數k，對任意的非負實數ε，滿足

則稱f是一個m型k次擬齊次函數。顯然，若m=（1，1），則f是一個k次齊次函數。

與齊次正規型理論類似，擬齊次正規形理論的關鍵思想，也是通過選擇合適的坐標變換，把系統（3）化為盡可能簡單的表達式。對于系統（3），若使用近恒等變換

X=Y+Pk（Y）（4）

其中：Pk∈Qmk，k≥1，則系統（3）變成

其中：I為單位矩陣，Gi（Y）（i=r，r+1，…，r+k，…）稱為第i次擬齊次項，容易證明式（5）中，第r次到第r+k-1次擬齊次項都是不變的，即

Gr（Y）=Fr（Y），…，Gr+k-1（Y）=Fr+k-1（Y），

而第r+k次擬齊次項為Gr+k（Y）=Fr+k（Y）-Lr+k（Pk）（Y），其中Lr+k是同調算子：

Lk：Qmk→Qmr+k，

Pk→Lk（Pk）=Pk，Fr=DPk·Fr-DFr·Pk（6）

其中：Pk，Fr=DPk·Fr-DFr·Pk是兩個向量場Pk和Fr的李括號，用Range（Lk）表示算子Lk的值域。

顯然，式（6）中的算子Lk僅依賴于系統（3）的最低次擬齊次項Fr。為了簡化r+k次擬齊次項Fr+k，只需要選擇合適的Pk，在Fr+k中消去屬于Lk的值域部分。特別地，若Fr+k∈Range（Lk），則可選擇合適的Pk，使得Gr+k=0。若Fr+kRange（Lk），由線性代數知識可知，因為Range（Lk）是Qmr+k的一個子空間，所以可選取Range（Lk）在Qmr+k中的一個補空間，記為Cor（Lk），使得

Qmr+k=Range（Lk）Cor（Lk），

于是可以把Fr+k分解成一個直和，消除分解式中屬于Range（Lk）的那一部分，就得到了盡可能簡單的Gr+k，Gr+k∈Cor（Lk）。

稱

為系統（3）的r+k階截斷擬齊次正規型，系統（5）為系統（3）的r+k次擬齊次正規型。

對于平面系統（3），從k=1開始對其作一系列近恒等變換（4），求得r+k次擬齊次正規型（5），然后把變量Y換回到原變量X，就可以得到所要求的擬齊次正規型。但由于Range（Lk）在Qmr+k中的補空間一般是不唯一的，因此所求得的系統（5）也是不唯一的，且有時需要作很多次的近恒等變換（4），最終的近恒等變換是前面所有這樣的近恒等變換的復合，所以對于一個具體的微分系統，要求出其擬齊次正規型及相應的近恒等變換十分困難，一般需借助Lie三角形算法［6］實現。另外，由于所作的近恒等變換僅針對系統變量X而沒有作時間尺度變換，這樣的擬齊次正規型也稱為共軛等價正規型。

為了得到系統（3）更為簡單的形式，往往先對系統（3）作如下與狀態變量有關的時間尺度變換：

其中：λk（X）∈Pmk，k≥1，則系統（3）變為

現在對系統（8）作近恒等變換（4），得到r+k次擬齊次正規型

其中：Hr（Y）=Fr（Y），…，Hr+k-1（Y）=Fr+k-1（Y），而

Hr+k（Y）=Fr+k（Y）-Lr+k（Pk）（Y）-λkFr（Y），

把由此得到的正規型稱為系統（3）的拓撲（或軌道）等價擬齊次正規型。

引進同調算子

如同共軛等價正規型情形，這里Hr+k∈Cor（Lk），k≥1。為了簡化計算，再引入李導數算子

Range（Lk）=Range（Lk）+Cor（Pk-r）Fr［8］，

由文獻［8］定理2.2得：當k>t1t2-|m|時，Pmk≠{0}，結合引理2知，命題1中的函數H是一個多項式。特別地，如果m=（1，1），對所有的k≥0，Pmk≠{0}，于是有下面的推論。

下面介紹文獻［8］中有關系統（3）可積性方面的一個重要結論，即命題2。

命題2［8］ 設系統（3）中的最低次項Fr（X）為哈密爾頓向量場，并且假設hi+|m|僅有單因式，則系統（3）是形式可積系統當且僅當它的擬齊次正規型是一個零散度系統。

值得注意的是，推論1雖然是針對擬齊次情形，但對于齊次情形也適用，它已經被用來解決一些特殊類型強退化奇點的單值性與可積性等局部定性問題［3，8，11-18］。另外，推論1中的前提條件是最低次項Fr（X）為哈密爾頓向量場且其相應的哈密爾頓函數hi+|m|僅有單因式，否則結果未必成立。近年來，有學者研究，當最低次項Fr（X）為非哈密爾頓向量場或保守部分hi+|m|有重因式時，這種一般系統的單值性或可積性問題［18-22］。

2 主要結論

先給出一個平面微分系統與它的共軛等價系統或軌道等價系統首次積分之間的關系，即定理1和定理2。

定理1 對于平面系統（1），設u=φ（x，y），v=ψ（x，y）是一個可微同胚，系統（1）變為

若F（x，y）是系統（1）的一個首次積分，則F［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］是系統（16）的一個首次積分。

證明 顯然系統（16）等號右邊的函數為：

U（u，v）=φx［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］P［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］+

φy［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］Q［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］，

V（u，v）=ψx［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］P［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］+

ψy［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］Q［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］。

因為F（x，y）是系統（1）的一個首次積分，所以成立恒等式

Fx（x，y）P（x，y）+Fy（x，y）Q（x，y）≡0。

于是

Gu（u，v）U（u，v）+Gv（u，v）V（u，v）=［Fxφ-1u+Fyψ-1u］［φxP+φyQ］+［Fxφ-1v+Fyψ-1v］［ψxP+ψyQ］=

1J（FxP+FyQ）J=FxP+FyQ≡0，

所以G（u，v）：=F［φ-1（u，v），ψ-1（u，v）］是系統（16）的首次積分。

證畢。

若F（x，y）是系統（1）的一個首次積分，則F（x，y）也是系統（17）的一個首次積分。

定理1與定理2表明：平面微分系統（1）與它的共軛等價正規型或軌道等價正規型具有相同的可積性。

Chavarriga等［23］系統地研究了原點是非退化孤立奇點的微分系統

的可積性問題，其中ad-bc≠0；Algaba等［11］研究了一類冪零系統

的可積性，其中m=（1，2n+1）；Algaba等［12］研究了形式為

的解析可積性；Algaba等［13］研究了形式為

的解析可積性；Algaba等［3］利用Algaba等［12-13］中的有關結果繼續研究了形式為

與

的原點為單值甚至是中心的條件。注意到這些比較具體的系統的最低次項都是守恒的，并且相應的哈密爾頓函數的因式都是單因式，另外，上述文獻中的研究與強退化奇點的單值性有關。

考慮下面的平面微分系統

其中：Xk（x，y）與Yk（x，y）是k次齊次多項式，k≥3。顯然，原點是系統（18）的強退化奇點。由于這類系統的原點不可能是單值的，因此關于其可積性問題的研究沒有引起重視。本文將對最低次是二次齊次的平面微分系統的可積性做比較系統的研究以便獲得這類系統的相圖。

本文首先給出系統（18）的主系統，即下面的二次齊次多項式微分系統的標準形。

命題3［24］ 二次齊次多項式微分系統

經過仿射變換以及時間尺度變換后可得到如下4種標準形：

其中：p1和p2是兩個任意常數。

由定理1與定理2可知，本文研究系統（18）的主系統為上述4種標準形之一就可以了。本文僅研究主系統為（19）所對應的系統。

對于微分系統

定理3 系統（24）形式軌道等價于

其中：a（i），b（i），c（i），d（i）∈R，i=0，1，…。

證明 因為F1=F1+t1F1+t2=-2xy-x2+y2，所以由命題1，只需計算Cor（j），j=1，2，3。因為

Pm1=span{x，y}；

Pm2=span{x2，xy，y2}；

Pm3=span{x3，x2y，xy2，y3}；

Pm4=span{x4，x3y，x2y2，xy3，y4}。

如果取μ1∈Pm1，即μ1=α1x+α2y，其中α1，α2∈R，則

如果取μ2∈Pm2，即μ2=α1x2+α2xy+α3y2，其中α1，α2，α3∈R，則

如果取μ3∈Pm3，即μ3=α1x3+α2x2y+α3xy2+α4y3，其中α1，α2，α3，α4∈R，則

于是，由命題1和引理2知，系統（24）的軌道正規型為系統（25）。

證畢。

引理3 對于系統（2），設F∈CωUR2，R2，U是原點的一個鄰域。則系統（2）是解析可積的（即Cω-可積的）的充分必要條件是它是形式可積的（即C∞-可積的）。

根據推論1與定理3及引理3，可以得到下面的結果：

定理4 對于系統（24），設右邊級數是收斂的，則系統（24）是Cω-可積的充分必要條件是它軌道等價于

3 結 語

本文證明，任意一個平面微分系統，在可微同胚變換以及在原點非零的連續時間尺度變換下，可積性保持不變。特別地，任何一個平面微分系統與它的共軛等價正規型和軌道等價正規型具有相同的可積性。本文引用了最低次是二次齊次系統的標準形（類似于二階方陣的Jordan標準形）的結果，即命題3，針對其中的一種標準形，在該二次齊次向量場是哈密爾頓的且相應的哈密爾頓函數在復多項式環中的分解式都是單項式的前提下，利用擬齊次正規型理論研究了對應擬齊次系統可積的充要條件。對于最低次是其他3種標準形的系統，可以采用類似的方法進行研究。

由于最低次是二次齊次的平面系統的原點不是單值的，所以很少有學者研究這類系統的可積性問題。但鑒于一個平面系統的首次積分可以決定其相圖，進而確定其局部定性結構，在這個意義上，研究最低次是二次齊次的平面系統的可積性，并由此得到所有最低次是二次齊次平面系統的定性分類非常重要。

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