SS－擬正規子群對有限群p－超可解性的影響

高建玲　毛月梅　曹陳辰

摘要：設G為有限群，若存在B≤G使得G=HB，且對任意p∈π（B），P∈Sy1p（B），都有HP=PH，則稱子群H在G中SS－擬正規.利用極小階反例法，討論某些p－子群SS－擬正規的有限群結構，得到p－超可解群的若干充分條件，推廣了p－超可解性的部分結果.

關鍵詞：p－子群；SS－擬正規子群；p－超可解群；極小階反例

中圖分類號：O 152.1文獻標志碼：A文章編號：1001－988Ⅹ（2024）02－0001－05

Influence of SS－quasinormal subgroups on thep－supersolvability of finite groups

GAO Jian－ling MAO Yue－mei CAO Chen－chen

Abstract：Let G be a finite group.A subgroup H is said to be SS－quasinormal in G if there is a subgroup B of G such that G=HB，and H permutes with any Sylow p－subgroup of B for arbitrary prime p∈π（B）.The structures of finite groups with SS－quasinormality of some p－subgroups are discussed by using counterexample of minimal order，and several sufficient conditions of p－supersolvable groups are obtained，which generalize some known results of p－supersolvability.

Key words：p－subgroup;SS－quasinormal subgroup;p－supersolvable group;counterexample of minimal order

0 引言

本文僅討論有限群，并用字母G表示有限群，G表示群G的階，π（G）表示G的素因子構成的集合，p，q表示素數，Op（G）表示群G的使得商群是p－群的最小正規子群，ZUp（G）表示群G的p－超可解超中心，Ap-1表示方次數整除（p-1）的交換群構成的群類，GAp-1表示群G的Ap-1－剩余，其余術語及符號見文獻［1－2］.

正規子群在群論研究中起著關鍵作用，群論學者對其進行了多方面的推廣.針對其與任意子群可置換性質的推廣，Ore［3］引入擬正規子群：稱子群H在G中擬正規，若對任一K≤G，都有HK=KH.在減弱可置換子群的條件后，Kegel［4］引入S－擬正規子群：稱子群H在G中S－擬正規，若對任一P∈Sylp（G），都有HP=PH.之后，學者們對S－擬正規子群進行推廣，Li等［5］引入了SS－擬正規子群.目前，關于子群SS－擬正規性的研究已有許多結果.Chao等［6］研究了當p∈π（G）且p最小時，若Sylow p－子群的極大子群在G中c－正規或SS－擬正規，則G是p－冪零群；Zhong等［7］研究了當p∈π（G）且（G，p-1）=1時，若G存在Sylow p－子群P，使得P的每個極大子群在NG（P）中SS－擬正規且P′在G中S－擬正規，則G是p－冪零群；Kang［8］研究了當p∈π（G）且p最小，P∈Sylp（G）時，若P存在子群D（12且P是非交換2－群）在G中c－正規或SS－擬正規，則G是p－冪零群.

2015年，Guo等［9］應用正規性研究了Op（G）的Sylow p－群對有限群G的影響，得到如下結論：

命題1［9］設p∈π（G），P∈Sylp（G），1≤d=ped或G是p－超可解群.

本文首先將命題1中的正規性減弱，其次將G的素因子p的限定條件去掉，再結合p－子群的SS－擬正規性，給出了有限群為p－超可解群的若干充分條件，推廣了命題1的結論.

1 預備知識

定義1［5］稱子群H在G中SS－擬正規，若存在B≤G滿足G=HB，并且對任一p∈π（B），P∈Sylp（B），都有HP=PH.

引理1［5］設K≤G，NG且H在G中SS－擬正規，下列結論成立：

（i）若H≤K，則H在K中亦SS－擬正規；

（ii）HN/N在G/N中SS－擬正規；

（iii）若N≤K且K/N在G/N中SS－擬正規，則K在G中SS－擬正規；

（iv）若K在G中擬正規，則HK在G中SS－擬正規.

引理2［5］若p－群P≤G且P在G中SS－擬正規，則PQ=QP對所有Q∈Sylq（G）成立，這里q≠p.

引理3［10］設G是有限群，p∈π（G），則

（i）若NG，則（G/N）Ap-1=GAp-1N/N，Op（G/N）=Op（G）N/N且Op（（G/N）Ap-1）=Op（GAp-1）N/N;

（ii）G是p－超可解群當且僅當GAp-1是p－冪零群；

（iii）G/Op（GAp-1）是p－超可解群；

（iv）G是p－超可解群當且僅當Op（GAp-1）≤ZUp（G）；

（v）若P是p－群且PG，則P≤ZUp（G）當且僅當P∩Op（GAp-1）≤ZUp（G）.

引理4［11］設P，Q分別是群G的p－子群和q－子群，其中p，q∈π（G）且p≠q.若LG且PQ=QP，則PQ∩L=（P∩L）（Q∩L）.

引理5［12］設A，B≤G，G≠AB且ABx=BxA對任一x∈G成立，則存在NG，使得A≤N或B≤N.

2 主要結果

定理1 設p∈π（G），P∈Sylp（G），1≤d=ped或G是p－超可解群.

證明 假若結論不成立，取G為極小階反例.記U=Op（G），M=P∩U，則M≤d并且G不是p－超可解群.特別地，M≠1且d≥p.記Σ={HP：H=d}，由假設知，對任一H∈Σ，H∩U皆在G中SS－擬正規.

以下分五步證明結論.

（1）Op′（G）=1.

若Op′（G）≠1，考慮=G/Op′（G）.令且=d，則存在H∈Σ使得=HOp′（G）/Op′（G）.由假設及引理1的（ii）可知，∩=（H∩U）Op′（G）/Op′（G）在G中SS－擬正規.又∩≤d，由G的取法知，是p－超可解群，故G是p－超可解群，矛盾.于是Op′（G）=1.

（2）M在G中SS－擬正規.

因MP且M≤d，所以存在H∈Σ使得M≤H≤P.故M=H∩U在G中SS－擬正規.

（3）若Y是P的極大子群，則Y∩U=Y∩M在G中SS－擬正規.

因M≤d，所以存在H∈Σ使得Y∩Μ≤Y∩U≤H≤Y.因此Y∩M=Y∩M∩H=H∩M=H∩P∩U=H∩U

，故Y∩M=Y∩U=H∩U在G中SS－擬正規.

（4）G/MG是p－冪零群.特別地，G是p－可解群.

因MG≤U且U∶MG整除p′－數U∶M， 所以U/MG是p′－群.又G/U是p－群，因此G/MG是p－冪零群.另一方面，因為G=PU，所以對任意的素數q（這里q≠p），U的Sylow q－子群必定是G的Sylow q－子群，由（2）及引理2可知，當q≠p時，對任一Q∈Sylq（G）有MQ=QM.由文獻［13］的定理A知MG可解，于是G是p－可解群.

（5）導出矛盾.

若d=p，則由（1）及（4）知，M是U的正規Sylow p－子群，因此G是p－超可解群，矛盾，因此d>p.令T是G的極小正規子群且T≤U，由（1）及（4）知T≤M，故T≤d.

情形1 T

此時1≤d/T

T∩（Y∩M）Q=T∩Y∩M=T∩Y（Y∩M）Q，

于是Q≤NG（T∩Y），從而U≤NG（T∩Y）.又T∩YP，故T∩YG，由T的取法知，T∩Y=1，T=p，故G是p－超可解群，矛盾.

情形2 T=d.

此時T=M.由（4）知，G/T是p－冪零群，而p－冪零群系是飽和群系，故可設Tp矛盾.】

定理2 設P∈π（G），p∈Sylp（G），1≤d=ped或G是p－超可解群.

證明 假若結論不成立，取G為極小階反例.記A=GAp-1，U=Op（A），則P∩U≤d且G不是p－超可解群.由A的定義知，P∈Sylp（A）.

以下分七步證明結論.

（1）Op′（G）=1.

若Op′（G）≠1，考慮=G/Op′（G）.令且=d，則存在HP且H=d使得=HOp′（G）/Op′（G）.由假設及引理1的（ii）可知，

∩=（H∩U）Op′（G）/Op′（G）

在G中SS－擬正規.又∩≤d，由G的取法可知，是p－超可解群，故G是p－超可解群，矛盾.于是Op′（G）=1.

（2）PG且P∩U≠1.

由假設及引理1（i）可知，對所有HP且H=d，有H∩U在A中SS－擬正規，由定理1知，A是p－超可解群.由（1）及p－超可解群的p－長至少是2可得PA，故PG.

若P∩U=1，則由引理3（v）知P≤ZUp（G），因此G是p－超可解群，矛盾.于是P∩U≠1.

（3）對所有HP且H=d，有H∩UG.進一步，對任一Y<·P有Y∩UG.

對任意的素數q（這里q≠p），由假設及引理2知，對任一Q∈Sylq（G），有（H∩U）Q≤G.因PG，故P∩（H∩U）Q=P∩H∩U=H∩U（H∩U）Q，所以Q≤NG（H∩U），從而Op（G）≤NG（H∩U）.又H∩UP，因此H∩UG.

對任一Y<·P， 有｜Y∩U｜≤｜P∩U｜≤d且Y∩UP.取HP且｜H｜=d使得Y∩U≤H≤Y，則Y∩U=H∩U，故Y∩UG.

（4）d>p.

若d=p，則｜P∩U｜=1或p.所以P∩U≤ZUp（G），

由引理3（v）知P≤ZUp（G），因此G是p－超可解群，矛盾.于是d>p.

（5）取T是G的極小正規子群且T≤P∩U，若｜T｜

易見，1≤d/T

在G/T中SS－擬正規，因此G/T滿足假設條件.又P/T∩Op（A/T）=（P∩U）/T≤d/T，考慮到G的取法可知，G/T是p－超可解群.

（6）T≤Φ（P）.

若TΦ（P），則存在Y<·P使得P=TY，所以T∩Y<·T. 又T∩Y=T∩Y∩U，于是由（3）知T∩YG，故由T的取法可知，T∩Y=1或T∩Y=T.

情形1 T∩Y=1.此時T=p，由（4）知T

情形2 T∩Y=T.此時T≤Y，于是P=TY=Y，此與Y<·P矛盾.

（7）導出矛盾.

由T≤P∩U知T≤d.

情形1 T=d.此時T=P∩U.因A/T是p－冪零群，由（6）及文獻［14］的第Ⅵ章例7.6知，A是p－冪零群，再由引理3（ii）知，G是p－超可解群，矛盾.

情形2 T

定理3 設p∈π（G），P∈Sylp（G），若P存在子群D（1

證明 假設結論不成立，取G為極小階反例.

以下分五步證明結論.

（1）Op′（G）=1.

若Op′（G）≠1，對商群=G/Op′（G）和=POp′（G）/Op′（G）.由假設及引理1（ii）知，的任一d階子群或4階循環子群（若D=2且P是非交換2－群）=HOp′（G）/Op′（G）在中皆SS－擬正規，故滿足定理假設.由G的極小性可知，為p－超可解群，所以G為p－超可解群，矛盾.

（2）若N是G的極小正規子群且N≤P，則N≤d.

若N>d，假定N1≤N且N1=d且N1P.由假設知N1在G中SS－擬正規，即對任一q∈π（G）且p≠q，取Q∈Sylq（G）有N1Q=QN1.

因N1=N∩N1QN1Q，故Q≤NG（N1），顯然P≤NG（N1）.假定q1，q2，…，qt是π（G）的所有與p不同的元素，Qi∈Sylqi（G），則N1P，Q1，Q2，…，Qt=G.再由N的極小性易知N1=1或N1=N，矛盾.故N≤d.

（3）Op（G）≠1.

若Op（G）=1，取G的極小正規子群N，由（1）可知N不可解，于是N=N1×N2×…×Nt，其中N1，N2，…，Nt是同構的非交換單群.由（1）知，pN，取P的d階子群H且使得H∩N1≠1.對任一x∈N1，Q∈Sylq（G），q≠p，

有Qx∈Sylq（G），

于是HQx=QxH.由引理4可得HQx∩N1=（H∩N1）（Qx∩N1）=（H∩N1）（Q∩N1）x.

顯然（H∩N1）（Q∩N1）x≠N1，故由引理5知N1非單，矛盾.

（4）若N是G的極小正規子群且N≤Op（G），則N

由（2）知，N≤d.若N=d，取P/N的極小正規子群L/N，則L/N=p，可記L=Na，其中ap∈N且aN.若Φ（L）=N，則L=a循環，故N循環，于是N=p.若Φ（L）

（5）得出矛盾.

易見Φ（G）=1且N=Op（G）是G的唯一極小正規子群，于是存在M<·G使G=NM且N∩M=1.記Mp∈Sylp（M），則P=NMp且Mp≠1.取N1<·N且N1P，并取S1≤Mp滿足H=N1S1是d階子群.由假設知H在G中SS－擬正規，即對任一q∈π（G）且q≠p，取Q∈Sylq（G）有HQ=QH.因N1=N∩H=N∩HQHQ，

故Q≤NG（N1），顯然P≤NG（N1）.假定q1，q2，…，qt是π（G）的所有與p不同的元素，Qi∈Sylqi（G），則N1P，Q1，Q2，…，Qt=G.再由N的極小性易知N1=1，故N=p，結合（4）知G是p－超可解群，矛盾.】

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（責任編輯 馬宇鴻）

收稿日期：2023－06－20;修改稿收到日期：2023－07－23

基金項目：國家自然科學基金資助項目（12101339，12371021）；山西大同大學科研基金資助項目（2020K8）

作者簡介：高建玲（1981—），女，山西朔州人，講師，碩士.主要研究方向為代數群論.E－mail：gaojl1981@163.com