一道高考線段比值問題的一般化推廣

陳恬

1．試題解析

2022年全國甲卷數學第16題考查解三角形、函數最值等內容，考查直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養．

2．試題轉化

在解決了問題后，由于BD與CD雖然有二倍的關系，但都是變動的，是否有辦法把問題轉化為更簡潔的單變量問題，于是作轉化：如圖2，過B作AC

這個結論非常優美，幾何構造也非常簡單，從直觀上很容易想到背后可能存在更一般化的幾何性質．進而思考當線段的比值改變或夾角改變的情況下，結論是否成立．

3．一般化推廣

3．1 推廣結論的驗證

分析：由于給出的條件是一般化的，結論是否成立還不確定，想要從平面幾何直接處理是有難度的，采用解析幾何運算來定量分析；又考慮到需要找到點A的位置，因此借助直線參數方程來解決．

解析：如圖5，以D為原點，以BC為x軸，建立平面直角坐標系．設B（－m，0），C（n，0）．

先考慮特殊情況：

結合參數方程的幾何意義，進而探究t1，t2的具體涵義．

推廣結論 如圖6，在△ABC中，已知邊BC上一點D，BD=m，CD=n，∠ADB=θ，其中m≠n且0°<θ<180°．則

①若θ為銳角或鈍角時，設線段BC的垂直平分線與直線AD的交點為E，則以E為圓心，以EB為半

當然，可以將θ為直角時的情況看作圓心E在無窮遠處，半徑為無窮大，則A1對應是D點，A2對應無窮遠點處．

3．2 推廣結論的平幾探索

上述方法雖然能夠準確得到取值的變化規律，但對于只求最值的問題來說相對復雜．在得到結論的基礎上，嘗試用平面幾何方法找出最值位置．

同理可得當θ為鈍角時的情況．

4 結語

直觀想象核心素養是高考考查的重要內容，幾何中的最值問題往往存在一個更一般化的幾何性質作為命題背景，教師與學生在日常教學中不應只停留在解出問題的表面，還應該鼓勵師生進行深入探索，培養堅忍不拔的探索精神，形成做研究的習慣，促進數學學科素養的提升．