一道高校創新班招生試題的探究

張志剛

解題教學在高中數學教學中具有不可替代的作用.對于典型問題，教師要引導學生挖掘本質，捕捉信息，抓住關鍵，尋求聯系，觸發靈感，構建方案.讓學生在感知確認、抽象概括、合情推理、操作運算等思維活動中，全方位、多角度、多層次地思考問題，逐步學會有邏輯地思考數學問題.同時，教師追根溯源可以洞悉命題意圖，橫跨縱聯利于培養學生的發散思維.

1 試題呈現

本題是2023年中國科學技術大學創新班初試第4題，為函數與數列的綜合問題.試題結構精煉，情境新穎，突出對數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的考查，呈現出更強的綜合性與選拔性，具有較高的研究價值.

2? 解法探究

第（1）問 本小問要求證明不等式恒成立，可考慮構造函數，通過導數討論其單調性證明.

首先證明：當x>0時，sinx

設fx=sinx－xx>0，f′x=cosx－1≤0，所以fx在0，+∞上單調遞減，所以當x>0時，fx

第（2）問 本小問是數列不等式的證明問題，綜合性較強.解答時應注重借助第（1）問的結論，結合數學歸納法與放縮進行證明.

3 命制背景

本題第（1）問不等式的高等數學背景是正弦函數的泰勒（Taylor）展開式.

用多項式逼近函數是近似計算和理論分析的一個重要內容［2］.學生在“導數的幾何意義”一節已學習了切線擬合——以直代曲，即用曲線上某點處的切線近似代替此點附近的曲線.例如，函數y=sinx點0，f0附近的圖象可用切線y=x擬合.然而，切線擬合在很多場合中并不能滿足精確度要求，需用二次或高于二次的多項式逼近.切線擬合啟發我們：既然用一階導數逼近就可在切點附近達到一定的精度，那么多次求導，讓擬合函數在某點處的任意階導數與原函數的同階導數相等，應會提高精確度．這正是泰勒公式的核心思想：圖1先把函數轉換（改寫）為多項式形式，

其中多項式的系數求導得到.然后用多項式擬合函數，其誤差是關于x－x0n的高階無窮小量.例如，由麥克

此外，將上式中的高次項舍棄，保留前部片段就得到一些常用的不等式.例如，保留展開式的前一項即得sinx

諸多高考題和模擬題以泰勒公式為科學背景；或是直接應用泰勒公式，或是研究泰勒公式，考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模等核心素養.下面列舉兩例，體會泰勒公式在比較大小、不等式恒成立等問題中的功用.

A.a

C.c

本題以分數，指數式和對數式為載體，考查比較大小的問題，屬于探索創新情境.常見解法是構

造函數fx=1－xex－1，gx=xex+ln1－x，利用導數討論其單調性，進而判定代數式的大小.下面利用泰勒展開式給出兩種解法.

點評：上述兩種解法借助泰勒公式近似計算或放縮，論證簡潔高效，彰顯了泰勒展開式在函數擬合與近似計算中的獨特價值.

例2 （2020年新高考Ⅰ卷第21題）已知函數fx=aex-1－lnx+lna.（1） 當a=e時，求曲線y=fx在點1，f1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2） 若fx≥1，求a的取值范圍.

本題第（1）問變為利用導數的幾何意義解決曲線的切線問題，較為容易.第（2）問為考查不等式恒成立求參數范圍問題，常見的解答思路有同構變形、虛設零點等.下面利用分類討論思想嘗試作答.

綜上，a的取值范圍是1，+∞.

4 延伸思考

爾問題.

歐拉將方程與巴塞爾問題，創造性地把有限多項式的因式乘積形式類比至無限項多項式中，成功地把無窮級數和數字π聯系起來，彰顯了獨特的原創性和簡潔性，也成為近年高考模擬考試的熱點命題素材，下面再舉一例.

例3 （2023年湖南省永州市第三次適應性測試第22題）已知函數fx=xe－x·lna，gx=sinx.

（1）若x=0是函數hx=fx+agx的極小值點，討論hx在區間－∞，π上的零點個數；

參考文獻

［1］ 華東師范大學數學系編.數學分析（上冊）（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.7.