對一道二元函數最值問題求解的多視角探究

王東海

1 考題呈現

（2023屆高三武漢市重點高中4月聯考第16題）? 已知正實數x，y滿足xy2（x+y）=9，則2x+y的最小值為??? .

分析：本題是二元方程約束條件下的二元目標函數最值問題，試題簡潔、優美，設有陷阱并有一定的難度，呈現出一定的綜合性與選拔性，需要較高的邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養.可以通過均值不等式法，或消參減元法，也可采取數形結合的方法來處理.

2 解法探究

視角1 觀察到約束條件為四次式，故考慮對約束條件進行降次，然后用基本不等式法處理.

視角2 如果將約束條件換個角度配湊，也能湊成可以使用均值不等式的式子.

視角3 對于約束條件下的目標函數最值問題，還可設目標函數為k，進而設法去求k的最值.

視角4 除了將約束條件降冪思路外，我們也可以對目標函數升冪來處理.

視角5 考慮2x+y=x+（x+y），而約束條件中也有同樣的部分，故可以雙換元來處理.

視角6 對于二元約束條件，我們可以用一個變量表示另一個，從而達到消參減元的目的.

視角7 對于解析1、2配湊法往往較難，那么可以考慮用待定系數法可以很快實現配湊.

視角8 將2x+y設為S，則可看成一條曲線，而約束條件也看成曲線，故考慮數形結合解決.

3? 命題背景分析

拉格朗日乘數法的優點是：一是把目標函數和等式約束統一到一個拉格朗日函數中；二是將條件最值問題轉化為無條件最值問題.

應用拉格朗日乘數法解答考題如下：

4 高考溯源

題1 （2022年全國Ⅱ卷12題）若實數x，y滿足x2+y2－xy=1，則（? ）.

A. x+y≤1? B.x+y≥－2

C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1

題2 （2020年江蘇高考）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值為???? .