探究新情境中的離心率問題

徐凡煒

《中國高考評價體系說明》指出，在試題命制層面，進一步強調情境化設計.試題情境是實現考查內容和考查要求的載體，學生解決問題時，需要在理解與提取、分析與推理、歸納與表達的基礎上，尋求解決問題的途徑.本文以三類情境試題為例進行剖析，旨在引導學生合理解讀試題情境，聯想求解方法，探索離心率問題的解題規律.

1.課程學習情境

分析：本題情境源于“雙曲線”和“解三角形”的課程學習，創設的試題情境屬于學習關聯情境.考查了雙曲線的定義、余弦定理及向量的坐標運算等必備知識，考查了邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力等關鍵能力，考查了直觀想象、數學運算等核心素養.

評析：雙曲線過焦點的三角形的問題解決的關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定理得到關于a，b，c的齊次方程，從而得解.

變式 （2018年高考全國卷Ⅱ·文11）已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（? ）.

2.探究創新情境

分析：本題以“橢圓的標準方程與簡單的幾何性質”為試題情境，涉及的知識源于學生已有的學習體驗，其中橢圓定義的表述方式源于學生的學習儲備，故所創設的試題情境屬于綜合聯想情境.考查了橢圓的定義、向量的數量積等必備知識，考查了邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力等關鍵能力，考查了直觀想象、數學運算等核心素養.

評析：本題常規方法是設P，Q兩點坐標，由這兩點坐標的關系結合斜率公式、橢圓的標準方程，將y1用x1表示，從而得到橢圓基本量間的關系，求得離心率.若本題能利用橢圓的第三定義可使得運算簡化.

變式 已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且滿足PA=mPF，若m取最大值時，點P恰好在以A，F為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（? ）.

3.生活實踐情境

例3 圓錐曲線具有光學性質，如雙曲線的光學性質是：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是發散的，其反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點，如圖1，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它的一條對稱軸，F是它的一個焦點，一光線從焦點F發出，射到鏡面上點B，反射光線是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，則該雙曲線的離心率等于（? ）.

分析：本題選取的情境依托圓錐曲線具有的光學性質，考查雙曲線的標準方程與簡單的幾何性質，由于兩者的關聯不明顯，創設的試題情境屬于拓展遷移情境，相應的情境活動表明試題在基礎性和應用性的層次上考查了理性思維.考查了雙曲線的定義、簡單的幾何性質等必備知識，考查了運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力等關鍵能力，考查了數學建模、直觀想象、數學運算等核心素養.

解析：在平面直角坐標系中，如圖2， 反射光線BC的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點F1，由∠PFB=120°，∠FBC=90°，可得∠BFF1=60°，∠FBF1=90°.

記雙曲線的焦距為2c，長軸長為2a，在直

由以上案例可以發現從不同角度提取、剖析、解讀試題情境，將有不同的思路，可以從不同角度去解決問題.因此，在解題教學中，教師要善于引導學生根據試題的情境，深度理解情境中的多元信息，引導學生從數或形或轉化等角度去解讀，在一題多解中去總結解題活動經驗.在此基礎上，對情境進行變式，在變的過程中，去發現歸納反思其中蘊含的知識、能力、思想的不變性，進而揭示問題的本質.如果做到這樣，將充分激發學生的思維，發展學生的數學核心素養.