橢圓、雙曲線焦點弦性質的推廣及高考命題探源

張蘊祿

圓錐曲線的焦點與準線是圓錐曲線一對重要的點與線，圓錐曲線的許多精彩絕倫的性質很多是通過焦點、準線這個載體來演繹的.本文將探索橢圓、雙曲線焦點弦的一個重要性質的推廣，并圍繞此性質進行高考命題探源.

1 橢圓、雙曲線焦點弦性質的推廣

橢圓、雙曲線的焦點弦的性質非常豐富，下面的性質1是橢圓、雙曲線焦點弦的一條重要性質.

定義 橢圓、雙曲線的準焦點、類準線

橢圓、雙曲線的準焦點與類準線仍然保持了橢圓、雙曲線焦點、準線的若干性質，其中性質1對于橢圓、雙曲線準焦點與類準線仍然是成立的，即下面的性質2.

下面僅證明性質2（1），性質1、以及性質2（2）證法與此類似，限于篇幅、不再贅述.

圓錐曲線的準焦點和類準線本身就是圓錐曲線焦點、準線的推廣，其實橢圓的準焦點和類準線還可以再進行推廣.性質2中橢圓的準焦點在焦點軸上，再次推廣后，橢圓的準焦點還可以在短軸上.

2 高考命題探源

橢圓、雙曲線的準焦點與類準線，是焦點、準線的推廣，廣受高考以及各類命題人員的青睞，許多的高考試題與橢圓、雙曲線的準焦點和類準線有關.

點T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2＜0.

（1）設動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.

命題探源：其中的（3）就來自于橢圓的準焦點與類準線的性質.易知點T（9，m）是類準線x=9上一點，MN一定過x=9對應的準焦點（1，0）.

（1）求E方程；（2）證明：直線CD過定點.

在2023年高考中，全國新高考Ⅱ卷再一次考到了準焦點與類準線問題，只不過這一次曲線載體由橢圓換成了雙曲線.

3 經典解法

有關涉及橢圓、雙曲線準焦點與類準線問題的解法有很多，下面以例3的（2）為例，給出解決此類問題的兩種經典解法.

方法一：定比點差法

方法二：交點系方程法

分析：交點系方程法也常稱作曲線系方程法，此類問題運用交點系方程法可使思路清晰、過程簡潔.

橢圓、雙曲線的焦點、準線推廣到了準焦點與類準線.事實上，橢圓、雙曲線的準焦點、類準線還可以再進行推廣，例如準焦點還可以在對稱軸以外的其他位置，這就是圓錐曲線的極點、極線.也就是說圓錐曲線的性質是相互關聯的，只有經歷過一次次的拓展，才能厘清性質與性質之間的相互關系，才能達到對性質、結論的深度理解，才能任其題目千變萬化，總能透過題目的表面現象看到題目背后的本質，正所謂“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”.