基于初中數學探究式思維構建的教學探索

文| 管雅萍

初中數學探究式思維是一種學習遞進式思維，聚焦于學生對核心知識與關鍵能力的復合性高階建構。通過對探究式思維相關要素的剖析，從探究情境的設計、思維空間的架設、探究過程的安排、探究序列的設計四個關鍵量，借助實操案例展開剖析，從而初步構建學生探究式思維主體形成的教學模式。

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》核心素養模塊中指出：數學思維主要表現為：運算能力、推理意識或推理能力，教師要積極引導學生去探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律，經歷數學“發現”的過程。探究式思維構建是素養立意的要求，是課堂中必不可少的隱性目標。當前初中數學課堂中對探究式思維構建存在的問題比較明顯：一方面，課堂形式大于教學本質，為探究而“探究”的現象大量存在；另一方面，對探究的內容把握不到位、定性不準確，難易匹配程度不一致的情況時有發生?；诖?，筆者在課堂教學中進行了實踐探索，以期優化教學樣態，提升課堂質量。

二、課堂教學探索

（一）把體驗融入情境，為探究設下“趣筆”

在探究活動中，情境的創設往往具有一定的指向性，即為思維的提升做鋪墊。展現在學生面前的情境，不應當是游離于他們生活體驗、認知體驗的，而是需要引導他們去思考、去探索、去實踐，甚至去模擬的具象實際。所以教學中我們不能提供不經處理和雜亂無章的原生態的現實情境，應提供經過初步整理的“準現實問題”。關于探究活動中的情境創設，依據學生學習興趣的“觸發點”，從抽象思考與生活體驗兩個角度來剖析

1.觸發于抽象思考的情境設計

學習情境往往是促進學生思考的切入點，引起思維的觸發點是一種條件式“外因”，而學生的學習驅動力是內因，外因要通過內因才能起作用。初中階段是學生具象思維向抽象思維轉型的關鍵期，學生的抽象思維能力需要在一定的數學經驗積累上獲得提升。

案例1：一次由“銳角三角函數”的關系思考，促發的探究。

（1）sinα+cosα≤1； （2）sin2α=2sinα。

問題重構及實施：在有探究的教學中，教師的設問以及引導策略要能觸及學生思維的興奮點和“發生點”，把問題巧妙地設在抽象數學知識結構的內部，從而構成探究體驗活動，驅動學生思維的形成和發展；學生在感受數學“模型架構”的美感中，其數學素養也能得到有效錘煉。我們作如下引導：如鋪墊設問：（1）比較sin60°、sin45°、sin30°的大小。（2）判斷sin60°與2sin30°的大小關系。（3）利用課本中的圖，探究sin15°的值。（4）探究：sin2α 與2sinα（0°＜α＜90°）的大小關系。

教師能很好地把握九年級學生的思維特點，發力于學生對數學問題的抽象思考，拓展于數學知識結構本身的思索，讓探究真正成為一項融入美感的活動。學生在這一過程中，建模、化歸、極限思維得到了鍛煉；探究過程中，教師在問題的“簡單重組”“鋪墊設問”中為學生搭建合適的“起跳距離”，把問題設在學生跳一跳夠得著的高度，使不同層次學生開展探究成為可能。小組合作研討中，教師的引導與學生的主動探究契合度不斷提升。

學生在探究中互動評價、分享各自的思路，他們對問題的探究興趣并非來自數學知識的外部世界（客觀現實世界中的非數學因素），更是在體悟數學建模的理性魅力過程中盡享探究之樂。

2.觸發于生活體驗的情境設計

數學知識的抽象性與學生認識過程的形象性之間存在矛盾，因此，在數學探究活動中設置生活化的情境能較好地激發學生的學習興趣，進一步調動學生思維的積極參與，促使學生真正進入有效的探究體驗活動中，從而達到對知識、能力、情感的意義構建。

案例2：八年級上冊“圖形的軸對稱”引導課時：

▲板塊一：從圖形的測量開始

出示實物及實物抽象后的圖形——長方形、平行四邊形、三角形、圓。引導學生說說這些圖形的特征。提問：這些特征是從圖形的哪個方面觀察測量的？（從邊引出周長，從邊和角引出面積。）

▲板塊二：走出圖形的測量

圖1 中兩個三角形都是直角三角形，面積也相等，除周長外，它們還有什么不同（引出新的概念——對稱、軸對稱、對稱軸）。

圖1

▲板塊三：探索圖形的變換——折疊問題

判斷圖2 中的圖形是不是軸對稱圖形，如果是軸對稱圖形，動手探索對稱軸的條數等。（對稱軸的幾何特性）

圖2

案例中，從學生的生活情境出發，強化了對數學知識的抽象，從圖形的單個特征量——周長、面積等，引申到圖形的整體特征性——對稱性，在強化概念的同時，隱含了引導學生對圖形特征的探究模式，引導學生思維的提升。

（二）開放的思維空間，為生成埋下“伏筆”

隱藏在探究活動中的數學知識和方法需要學生發現和領悟，設置探究活動要突出數學的思維價值，所探究的問題要能引起學生的認知沖突，促使他們積極思考，然而，在探究活動中一系列固化的數學問題的堆砌，并不能代表數學教學中學生的思維量就大；思維只有在學生積極、主動的探究體驗活動中，只有在充滿意義的生成的學習氛圍中，才能被拓展、延伸。所以說，有思維量的課堂，必定是有生成性的課堂。

案例3：一次探究，引發的“課堂容量”與“思維容量”的思索。

九年級學了尺規作圖問題后，用直尺和圓規對圓進行2 等分、3 等分、4 等分、6 等分操作，每個問題都要求學生經歷“操作嘗試—數學驗證—反思、概括”三個階段，問題設置具有鮮明的層次性，很適合學生探究。

探究活動從課內延伸到課外，使學生在經歷探索時不斷引起興趣增長點，在不斷地繪圖操作中，體驗成功的快樂。問題設置的“合適坡度”，又使學生在不斷建構的過程中興趣不減，享受著生成的快樂。課堂教學中，有必要去關注學生思維的積極性，關注學生主動的生成表現。另外，挑戰性的問題設計，使教師有機會引導學生的思維向廣度、深度發展。

（三）有徑的探究過程，為思維架設“階梯”

淺易、平淡的問題，不容易引起學生的注意和探究興趣。同樣，若問題設置的難度過大也極易使學生望而生畏，從而影響學生探究問題的積極性。在教學活動中，教師可以在保證總體教學目標達成的前提下，按照學生的認知規律，通過梯度、分層的鋪墊性問題，經由變式導向分散難點，有效引發學生對問題本質的感知、探究，使探索過程具有漸進性、連續性和積累性。

案例4：一個來自數學知識內部的“探究問題”。

課本原型：如圖3，在等邊△ABC 中，P、Q 分別在邊AC、BC 上，且AP=CQ，線段BP、AQ 相交于點O，求∠BOQ 的度數。引起思考：正三角形屬于正多邊形的一種，類比對于其他多邊形是否也有類似的結論呢？

圖3

探究1：由正三角形拓展至正方形，正五邊形如圖4、圖5，點E、D 分別是正方形和正五邊形某個頂點相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD、AE 交于點P，求∠APD 的度數。

圖4

圖5

探究2：再拓展至正n 邊形。如圖6，點D、E 分別是正n 邊形相鄰兩邊上的點，且BE=CD，AE、BD 交于點P，求∠APD 的度數。

圖6

提升追問：

探究3：若D、E 點移動到相應邊的延長線上時，上述結論是否依然成立？還能否求得∠APD 的度數？

反思形成，思維提升：根據前面探索，能否將本題推廣到一般的正n 邊形的情況？點在線段上與線段外，所求同一位置的角度有何異同？

邊數的變化和點在線段上和線段延長線上的變化——兩個鋪墊性探究采用變式的手法，為學生在探究中制造了合理的“坡度”，問題的設計環環相扣、步步深入，使學生能自主在自己合適的“高度”感受到利用類比的方法獲取思路、處理相關信息的解題經驗，讓學生在思維的動態發展中不斷完善認知結構，從而使學生有機會通過自主探究體悟到問題解決方式：信息獲取→提取關鍵→處理關鍵→建立類比→運用類比→驗證反思，在整個問題處理的過程中感受數學類比思想的魅力。

（四）有序的整體設計，構建有效探究“序列”

“序”，即序列。教學中的有序體現了循序漸進的基本思想。學習內容的序列應當按照學生的認知結構和認知規律進行，按照學生的認知發展或智慧生長的序列，把最典型的、最淺易的探究問題安排在前面，逐漸提高水平，即把知識的結構與認知心理程序統一起來。

在探究活動中，探究問題要層層推進，教師要按照思維的遞進性、螺旋上升的特征來整體設計探究活動，即安排好相關問題的推進序列、思考序列，組成循序漸進的探究問題鏈。如：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，點P 為BC 邊上的一點，PE⊥AB，PF⊥CD，垂足分別為E，F，G，求證：PE+PF=BG。問題“序列”布局結構圖示（圖7）：

圖7

在后續的探索問題中，從三角形出發，繼而引出對矩形、正方形、圓形的類比探究，構建學生問題解決的知識鏈、思維鏈。

數學學科的知識鏈、能力序能在一定程度上進行切分，切分及解決的思考過程中便顯示出了問題鏈的邏輯順序，在微觀的數學教學領域，其有“序”可循，這個“序”就是學生心理發展的序，學生認知規律的序。如一系列案例問題就組成了一組有序的問題鏈，然而對每個問題的內部探究活動，則分別又是一個微觀的有序活動，這種“序”充分體現在問題設計或活動本身的層次感，比較適合學生探究、體驗，學生也能在探究中得到熏陶。

三、總結

教學中，我們需要基于新課程標準要義培育學生的核心素養，學生在課堂上不應只是聽數學、看數學、練數學，而是更多地做數學、玩數學。在教學中要構建初中數學探究式思維，圍繞遞進式問題的解決驅動，展開深入而持續的問題思考模式。在有效的探究教學氛圍中，學生的知識、能力可以從爭論中獲取，從協作中獲得，從相互啟發中汲取，從相互激勵中爭取，這不僅是學習知識的一種方式，而且是學習的寶貴資源。學生在更多的數學思維活動中經歷、體驗、探索數學，從而獲得廣泛的數學價值和意義，也是我們對數學教學永恒的追求。