“雙減”政策背景下以題串知助推中考高效精準復習
——以二次函數復習課為例

劉鳳至

(廣州市真光中學,廣東 廣州 510380)

在中考數學復習中,很多教師反映復習課難上,復習課往往變成了試卷講評課,結果會的學生原先就會,不會的學生練得再多也還是不懂,復習課演變成了“炒夾生飯”.在“雙減”政策背景下,如何既減輕學生的課業負擔,又可以提高中考數學復習效率,成了初中數學教師思考的熱門話題.筆者認為,中考數學復習課的主要目標應該是引導學生回顧知識并梳理知識之間的聯系,形成知識結構,鍛煉數學思維,提升對知識的整體理解,深化數學思想方法,增強數學活動經驗.基于此,筆者借助“以題點知”的形式,助推中考數學復習達到高效精準的效果.

1 了解中考動態,提升復習的方向性

俗話說,想給學生一滴水,教師要有一桶水.在帶領學生進行中考復習時,作為一名教師,首先要了解《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《2022年版課程標準》)對復習內容的基本要求,了解復習內容在中考的考查方式及考點分值占比.與《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《2011年版課程標準》)相比,《2022年課程標準》在《二次函數》這一章突出了實際問題的情境研究,提到了會利用特殊點畫二次函數圖象的草圖;通過圖象了解二次函數的性質,知道二次函數的系數與圖象形狀和對稱軸之間的關系;會根據二次函數的表達式求其圖象與坐標軸的交點坐標;通過頂點式,得出二次函數的最大值或最小值,并能確定相應自變量的值,解決簡單的實際問題.《2022年課程標準》更加突出了二次函數圖象的性質,增強了數形結合思想[1].

“知己知彼,百戰不殆”.筆者通過對廣州市近六年中考數學試題分析發現,二次函數在中考中的地位很高,每年考查分值都在15分之上,主要在第24題或第25題中出現,是中考數學壓軸題,主要考查二次函數的綜合性問題.尤其是2022年,在第24題和第25題都涉及二次函數的綜合運用.

2 以題串知,構造知識體系

2.1 拋磚引玉,爭做小老師

問題1 如圖1,觀察二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,你能從中得到拋物線的什么信息?請同學們做小老師,提出問題,找同學們作答.學生爭先搶做老師,進行提問,最后通過圖象大家一起得出10條結論:①拋物線開口向上;②對稱軸為直線x=3;③與y軸的交點為(0,-7);④與x軸的交點為(7,0),(-1,0);⑤可求得拋物線的解析式為y=x2-6x-7;⑥頂點坐標為(3,-16),也是拋物線的最低點;⑦二次函數有最小值-16,此時x=3;⑧一元二次方程x2-6x-7=0有兩個不等實根,x1=-1,x2=7;⑨當x>3時,y隨著x的增大而增大;x<3時,y隨著x的增大而減小;⑩當x>7或x<-1時,y>0,當-1

圖1 拋物線圖象示意圖

表1 2011年版與2022年版課程標準比較分析

表2 廣州市近六年中考對二次函數的考查情況

教學解讀:在問題1中,學生通過觀察函數圖象,以小老師提問的形式,系統地回顧了本章的知識,通過數形結合,達到以形助數,以數輔形的目的,從而提高學生分析問題和解決問題的能力.

2.2 實踐與探索,學會構造

問題2 如圖2,直線l與拋物線G交于點A和點C,根據圖象可以得到哪些結論呢?請小老師們提出問題,并找同學們進行解答.

設拋物線G與x軸的另一個交點為B.通過小老師的提問,學生歸納總結出本題的8條結論或問題.①直線l與拋物線G的交點坐標為A(7,0),C(0,-7);②根據A,C兩點的坐標可以求出直線AC的解析式為y=x-7;③求出S△ABC=28;④求當x-7>x2-6x-7時,自變量x的取值范圍為07;⑥設拋物線的頂點為D,求四邊形BCDA的面積;⑦在對稱軸上有點E,使BE+CE最小,求點E的坐標;⑧將直線AC向左平移2個單位后,求平移后的直線與拋物線的交點坐標.

教學解讀:通過添加一條直線,讓問題1從考查一個函數的有關知識過渡到了考查兩個函數之間關系的問題2.在教學過程中,更有小老師結合八年級“將軍飲馬”的知識,提出了線段和的最小值問題,超出了筆者在設計這題時的預期.

追問1 如圖3,點P為AC下方拋物線上一點,過點P做平行于y軸的直線MP,交AC于點M,求線段PM長度的最大值.

圖3 直線 MP與拋物線G示意圖

追問2 如圖4,點P為AC下方拋物線上一點,過點P做平行于y軸的直線,交AC于點M,求△PAC面積的最大值.

教學解讀:追問1和追問2是動點問題,對學生而言具有一定的難度.其主要考查利用鉛垂高或水平寬求線段長度、二次函數與線段長、鉛垂法求面積的最值問題、二次函數與線段長的最值問題等知識.

2.3 感悟與拓展提高

圖5 △PAC的面積最大示意圖

本題是一道存在性問題,已知三角形的面積,求點坐標.本題主要考查二次函數與線段長、面積之間的關系,利用鉛垂高或水平寬即可求得線段長度.

3 總結

3.1 回歸課本,重視對概念的理解

在中考備考復習中,要立足教材和課程標準,不能忽略重要數學概念的復習,需要理解概念的各種表達形式和相互間的轉換,如二次函數的概念及其一般形式、頂點式、交點式.復習時要緊跟中考的步伐,練習時要緊扣中考真題,復習內容既要全面,又要做到細而實.幫助學生對基礎知識、基本技能進行梳理,使之系統化、完整化.

3.2 聯系已學知識,重視對性質的理解

在復習中,首先多創造機會讓學生親自動手參與畫圖,學會自己將文字語言轉化為符號語言、圖形語言;其次可以通過列表法、思維導圖等方法對比記憶各種性質定理,可以結合之前學習的內容進行比較理解.

3.3 養成檢查習慣,重視答題的規范性

注重學生解題過程的書寫規范和養成檢驗的習慣.代數運算中,必要的檢驗可以提高解題的正確率.在復習過程中要規范學生的數學表達,強調答題的規范性要求[2].