結構理解：思維從“形式”走向“實質”

顧劉兵

［摘 要］“用數對確定位置”是平面上位置確定的種子課，體現二維空間的結構特征和表征需求。教學以“打地鼠”游戲貫穿始終，按照數對生長的關鍵節點和學習節奏設置問題鏈，驅動學生經歷確定位置的全過程，實現從技巧方法的“形式理解”走向對結構價值的“實質把握”，有效滲透一一對應和數形結合的思想，助力學生空間觀念的有序生長和空間表達能力的提升。

［關鍵詞］數對；確定位置；結構理解；思維實質

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0014-04

“用數對確定位置”屬于圖形與幾何領域，主要研究圖形（點）的位置，初步建構“直角坐標系（限于第一象限）”模型，蘇教版教材將它安排在四年級下冊第八單元。在此之前，學生已經會用“方向+距離”的方式描述和記錄一維空間中物體的相對位置?，F在，研究視角從一維走向二維，既符合學生的認知規律，也遵循知識的螺旋建構原則。換個角度來看，二維空間點的位置確定可以解構為兩個不同維度，每個維度仍然以“方向+距離”的方式描述和記錄，整個學習過程應體現空間結構的有序生長。

需要指明的是，兩個維度的有機組合不能忽視以下問題。第一是“方向確定”，解決“怎么看”，原點（觀察點）是兩個維度縱橫交錯的要點（起點），需要凸顯；第二是“距離確定”，解決“怎么數”，以整數方式表征數的結果，需要強化；第三是“順序確定”，解決“怎么說”，“先列后行”的數學規定與生活經驗，需要對接；第四是“模型確定”，解決“怎么寫”，簡潔表達逗號和小括號的作用，需要闡釋；第五是“價值確定”，解決“怎么用”，點、線、面的位置確定之間需要關聯。明確了“學什么”和“學到什么程度”，接下來就要考慮“怎么學”。筆者準備以學生喜聞樂見的“打地鼠”游戲貫穿教學始終，按照知識生長的關鍵節點和節奏設置問題鏈，驅動學生在玩中學、在學中玩，最終實現確定位置從技巧方法的“形式理解”走向空間結構的“實質把握”。

一、玩中調用經驗，明確結構特征

（一）橫向玩

師：大家喜歡玩“打地鼠”游戲嗎？

生（齊）：喜歡。

師（出示圖1）：瞧，小地鼠鉆出來了，它在什么位置？

生1：小地鼠在從左往右數的第4個洞。

師：還可以怎么數？

生2：小地鼠在從右往左數的第2個洞。

（二）縱向玩

師（出示圖2）：瞧，小地鼠又鉆出來了，它在什么位置？

生3：小地鼠在從上往下數的第4個洞。

師：還可以怎么數？

生4：小地鼠在從下往上數的第2個洞。

（三）理結構

師（同時出示圖1和圖2）：要想精準描述地鼠的位置，你覺得需要確定什么？（板書：確定位置）

生5：要確定從哪里往哪里看，還要確定它在第幾個。

師：從哪里往哪里看，是在確定方向；第幾個，是確定觀察起點和終點之間的距離。用“方向+距離”來確定位置是個好辦法。（板書：方向+距離）

師：為什么圖中小地鼠的位置都有兩種描述結果？

生6：觀察的起點不同，數的距離就不一樣。

師：會用聯系的眼光看待方向和距離，給你點贊！現在我們知道，在橫向或者豎向中只要有一個帶方向的數，就能確定一個物體的位置。

【思考：一維空間結構認知是二維空間結構認知的先決條件和發展基礎，必要的復習可以讓學習更自然。首先，通過創設一維空間問題情境，驅動學生調用確定位置的經驗，主動描述小地鼠的具體位置，“還可以怎么數”指向方向變化時對應的距離隨之改變，滲透方向與距離之間的動態關聯。其次，空間形式從橫向變換為豎向，引導學生用兩種角度描述位置，加強方向與距離的動態關聯。最后，通過對四種描述結果的整體比較，提煉出“方向”和“距離”這兩個確定位置的關鍵要素，明確一維空間中確定位置的結構特征，感受確定位置時觀察起點的重要性，揭示方向和距離之間的動態關聯，固化一維空間中位置確定的方法，為后續學習做好鋪墊?！?/p>

二、玩中遷移經驗，經歷結構生長

（一）不具體，怎么辦？

師（出示圖3）：小地鼠可聰明了，擴大了鼠洞范圍，有豎有橫，縱橫交錯，現在只用一個帶方向的數還能確定它的位置嗎？如果不具體，又該怎么辦？

師（組織學生描述小地鼠的位置，要求小組討論并確定一種方法，寫在板貼的橫線上，然后有序地貼到黑板上的展示區）：請邊指邊數，分享你確定位置的過程。

生1：小地鼠在從左往右數的第4個洞，從上往下數的第4個洞。

生2：小地鼠在從左往右數的第4個洞，從下往上數的第2個洞。

生3：小地鼠在從右往左數的第2個洞，從上往下數的第4個洞。

生4：小地鼠在從右往左數的第2個洞，從下往上數的第2個洞。

師（手勢比畫）：先橫向數，再豎向數，能確定小地鼠的位置。換個角度，還可以怎么數？

生5：先豎向數，再橫向數。

師：角度不同，但是都用了幾個帶方向的數？

生（齊）：2個。

師：看來，要想具體描述平面上地鼠的位置，需要2個帶方向的數。

【思考：要學生理解結構，教師就不能機械地單向傳輸，而是需要學習者親歷探究過程，充分調用和遷移已有認知，借助適宜的問題驅動思考，逐步完善、完成和完美。首先，創設縱橫交錯的二維空間情景，引導學生思辨“只用一個帶方向的數”能否滿足位置確定的需求，并以“不具體，怎么辦？”的核心問題使學生經歷嘗試、碰撞和共鳴的全過程，學習的主動性成就了探究的有效性。其次，通過追問“換個角度，還可以怎么數？”，驅動學生從“先橫向數，再豎向數”的習慣轉換為“先豎向數，再橫向數”，體現表征結果的豐富性。最后，引導學生聚焦描述內容的實質，歸納出平面上確定物體位置的結構特征和數量特點，初步理解二維空間位置確定的方法?！?/p>

（二）不統一，怎么辦？

師：小地鼠位置不變，描述結果卻不統一，怎么辦？（出示活動要求，如圖4）

師：哪一組來分享一下自學成果？

（教師組織學生圍繞圈畫的關鍵詞逐一弄懂“列”和“行”的名稱、方向和順序。重點交流“第1列在哪里？怎么看？”和“第1行在哪里？怎么看？”）

師：列和行都是以誰為觀察點，這樣規定有什么好處？

（邀請學生站在講臺前分別觀察其他學生的位置和小地鼠的位置，尋找確定位置和觀察方向之間的對應聯系）

生1：站在講臺上面向學生，從左往右數確定第幾列，從前往后數確定第幾行，轉過身，面向圖片中的小地鼠，確定其位置的方法相同。

師：按照這樣的規則，小地鼠的位置在哪里？

生1：小地鼠的位置在第4列第2行。

【思考：二維空間的位置確定可以解構成縱、橫兩個維度。因此，用“兩個帶方向的數”確定物體位置，是由二維空間的特性決定，不以人的意志為轉移。但是，多元表征同時帶來了描述結果“不統一”的現實問題，這就需要人為干預和約定。自主學習是重要的學習方式之一，通過“約定解讀”和“規則表征”的活動創設，驅動學生自讀要求、自審題意、自想辦法?！白x懂”和“會用”是活動質量的評價標準，數學表征形式從豐富多元走向了規范統一，數學化學習的要求和水平有所提高?！?/p>

（三）不簡潔，怎么辦？

師：冬天到了，大雪覆蓋地面，鼠洞變成一個個小圓點，就成了點子圖。我們來玩個游戲，當小地鼠出現時，請用“第×列第×行”描述它的位置。

（課件演示小地鼠出現的速度由慢到快，直至學生來不及記錄）

師：這樣記錄位置讓人感覺怎么樣？

生（齊）：太麻煩。

師：想要玩好游戲，該怎么辦？

（教師組織學生以“第4列第2行”為例，自創簡潔記錄位置的方法。教師巡視并選取典型的學生作品，鼓勵學生板演在黑板上的展示區中。）

師：大家一起來評判，這樣表示簡潔嗎？

（教師組織學生對“4列2行”“4? 2”“4、2”“4，2”等表示方式進行評價，重點交流簡潔方式及干擾因素。）

師：仔細觀察，這些表示方式有什么相同之處？

生1：都有4和2，而且出現的順序不變。

生2：它們都表示“第4列第2行”。

師：形式簡潔了，內容沒有變，也不能變。你想知道數學家遇到這個問題是如何解決的嗎？

生（齊）：想。

師：伸小手，一起來。先寫4，再寫2，中間用逗號隔開，兩邊添上小括號表示這是一個整體，缺一不可。（4，2）這樣的數叫作“數對”，讀作“數對四二”，也可以直接讀“四二”。這就是我們今天要研究的內容——用數對確定位置。

【思考：數學模型的建構形式有簡潔的需求。通過游戲的生動介入，引領學生浸潤自主創造、集體研討和簡潔介紹的全過程，使得空洞的說教變得可感知、可操作和可評價。需要注意的是，簡潔表達并沒有改變空間的結構實質，只是對原有數學表征進行二次加工，體現了“從數學到數學”的縱向數學化理解。換句話說，位置確定從多元表征階段就已經體現了數對的內涵，后續的規則、簡潔表示只是數學表征形式的外部需求，千萬不能本末倒置，否則不利于學生空間觀念的有序建構?！?/p>

三、玩中運用經驗，理解結構實質

（一）順向玩

課件出示：我想打? ? ? ? ? ?鼠，它的位置用數對表示是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

師（出示圖5）：問題解決了，想不想繼續打地鼠？

生（齊）：想。

（教師組織學生玩游戲）

（二）逆向玩

課件出示數對：（5，3）（4，1）（1，3）（3，1）。

師：剛才大家能夠根據小地鼠的位置說數對。反過來，如果給數對，你能找到它的位置嗎？游戲繼續，小地鼠就位。

（教師組織學生玩游戲）

師：（1，3）和（3，1）為什么數字相同，位置不同？

生1：因為（1，3）表示“第1列第3行”，（3，1）表示“第3列第1行”，所以它們表示的位置不同。

生2：數字雖然相同，但是順序不同，對應的位置也就不同。

師：看來，數對和位置是一一對應的。

（三）明結構

課件出示數對：（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）。

（教師組織學生玩游戲）

師：表示同一列小地鼠位置的數對有什么特點？

生1：數對的第一個數都相同。

師：如果只顯示（2，? ? ? ? ?），能確定什么，不能確定什么？

生2：能確定列數，不能確定行數。

課件出示數對：（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）。

（教師組織學生玩游戲）

師：表示同一行小地鼠位置的數對有什么特點？

生3：數對的第二個數都相同。

師：如果只顯示（? ? ? ?，3），能確定什么，不能確定什么？

生4：能確定行數，不能確定列數。

師：看來，知道一個數，可以確定列數或行數，同時知道兩個數，才能確定物體的具體位置。

【思考：結構理解離不開鞏固運用，但如何操作和實施，則需要精心設計、指向明確和梯度安排。首先，“順向玩”側重物體位置轉化為數學表達，主要演繹位置實質到形式表征的抽象過程，滲透行列規則和列行順序，“弄懂”“會說”是評價標準。其次，“逆向玩”側重數學表達轉化為物體位置，主要演繹形式表征到位置實質的具象過程，尤其是對（1，3）和（3，1）的深度對比，學生依據規則理解數對內涵，建立數對與平面上點的位置的聯系，形成一一對應的數學思想。最后，“明結構”側重單個數對與多個數對的聯系，主要歸納“同一列數對”和“同一行數對”的結構特征，使學生在“變與不變”中動態理解數對內部“兩個帶方向的數”的實質?！?/p>

四、玩中內化經驗，感悟結構價值

（一）建模型

師（動態出示圖6）：瞧！點子圖變成了方格圖。小地鼠可調皮了，從A點跳到B點，你能用數對表示B點的位置嗎？

生1：B點的位置用數對（6，3）表示。

師：只要把方格圖再擴大些，就能確定它的位置。如果跳到C點，要想表示它的位置，怎么辦？

生2：可以把方格畫得再密一些。這樣，C點就有對應的列和行，也就能夠用數對表示了。

（二）鏈歷史

師：看來，只要網足夠大、足夠密，平面上任意一點的位置都可以用數對來表示，這是偉大的數學家笛卡爾發現的。讓我們一起“穿越”吧！

（簡要介紹笛卡爾由蜘蛛織網現象聯想和創造用數對確定位置的過程）

（三）悟價值

師（出示情境圖，圖略）：小地鼠們正在玩“排排隊”的游戲，你能用數對表示這三只小地鼠的位置嗎？

生1：A點是（2，2），B點是（4，5），C點是（4，2）。

師：自己課后在這個圖上找一個D點，要求和原來3個點連成一個你認識的圖形，并結合圖形特征，與同學交流數對的特點。

【思考：價值感悟是結構理解的組成部分，看似比較抽象，其實非常重要。首先，“建模型”側重位置確定涵蓋的對象，主要分兩種情況加以引導。一種是以原有列行的單位標準繼續擴大確定范圍，仍然用整列整行來描述位置；另一種是需要確定的位置坐落在非整列非整行，那就需要細化列行的單位標準。對于用小數描述位置的情況，不要求學生現在就能掌握，但是該情況的出現有利于學生對數對內涵的理解前后一致，思維從特殊走向一般。其次，“鏈歷史”側重講述數對產生的故事，豐富了學生對知識的情感體驗，增強了學生對用數對確定位置的認同感，使學生的數學思維從冰冷走向火熱。最后，“悟價值”側重確定對象之間的邏輯架構，從平面上“點”的唯一表達推理出“線”的唯一確定，進而理解“面”的唯一架構，使得圖形特征與數對特點對比融合，學生思維從解構走向重構。有了這樣的價值體驗，學生的數學視野變得開闊，數學思考變得有力，數學表達變得清晰?！?/p>

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學教學研究第十五期立項課題“指向‘三會素養的小學數學游戲化學習設計研究”階段性成果（課題批準文號：2023JY15-L190）?！?/p>

（責編 金 鈴）