創設開放情境，體現建模思想

梅滋亞

［摘? 要］ 高中數學知識的教學中需要滲透數學建模思想，文章以一節概念課為例進行教學實施，嘗試通過創設開放的情境與問題，引導學生通過觀察、分析、歸納、概括等思維活動抽象出數學模型，讓學生有意識地用數學語言表達現實世界，學會用數學模型解決實際問題，提升數學學科核心素養．

［關鍵詞］ 數學建模；教學實施；開放情境；抽象；核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將數學建模作為數學學科核心素養要素提出，對數學建模育人價值深度挖掘與進一步提升，這必然會對數學建模的教學提出新的要求，所以在核心素養的視域下對數學建模進行審視就顯得十分必要［1］． 數學建?；顒咏滩牡恼w設計包含兩個方面，一是在函數、幾何與代數、概率與統計等內容中體現數學建模的要素，滲透數學建?；顒拥倪^程和方法；二是設置專門的數學建?；顒訉ｎ}，讓學生完整經歷用數學知識建立數學模型解決實際問題的過程［2］． 因此，在高中數學知識的教學中滲透數學建模思想，用數學建?；顒舆^程的要素指導教材與教學設計，既是高中數學內容特點的反映，又是轉變學生學習方式、發展學生數學學科核心素養的需要． 本文以人教A版選擇性必修第三冊（2019版）教材中的“離散型隨機變量及其分布列”為例進行設計和分析，嘗試通過創設開放的問題情境，引導學生通過觀察、分析、歸納，概括等思維活動抽象出數學模型，讓學生有意識地用數學語言表達現實世界，學會用數學模型解決實際問題，提升數學學科核心素養．

內容解析

1. 內容的本質

隨機變量的引入，是對概率研究對象的進一步抽象，是對隨機試驗可能結果的量化表示，本質上是樣本空間到實數集上的映射． 隨機變量概念的引入，實現了借助數學工具和方法系統全面地研究隨機現象的目的． 隨機變量能夠反映隨機現象的共性，隨機變量的分布描述了隨機變量取值的概率規律，這樣得出的有關隨機變量的一般性結論，可以應用到具有不同背景的實際問題之中．

2. 內容所蘊含的數學思想方法

（1）模型思想是把握現實世界中一類問題的本質與規律，用恰當的數學語言描述問題的本質與規律，用合適的數學符號表達問題的本質與規律，最后得到刻畫一類事物的數學模型［3］． 隨機變量概念的引入體現了以簡潔、統一的數學方式研究問題的思想，這就是模型思想. （２）通過類比的方法學習新的知識是一種重要的認知途徑. 在本節課中可以類比函數的概念建立隨機變量的概念、類比函數的表示方法來表示分布列、類比研究過的函數的性質來研究分布列的性質. （3）離散型隨機變量及其分布列概念的形成，都是從特殊到一般、從具體到抽象，通過歸納得出來的，這些是數學研究中常用的思想方法，也是數學教學應該遵循的原則．

教學目標與重點、難點

1． 教學目標

（1）通過具體實例，抽象出離散型隨機變量的概念，重點提升數學抽象、邏輯推理以及數學建模素養；

（2）通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列，重點提升數學抽象、數學運算素養．

2． 教學重點、難點

重點：離散型隨機變量及其分布列的概念．

難點：抽象隨機變量的概念，用隨機變量描述隨機現象的規律．

教學過程設計

1． 創設情境，引入課題

導語1 我們知道，求隨機事件的概率時，往往需要為隨機試驗建立樣本空間，這就會涉及樣本點和隨機事件表示的問題，樣本空間的確定是研究概率的基礎．

問題1 你能給出以下隨機試驗的樣本空間，并嘗試建立樣本點與實數之間的對應關系嗎？

（1）擲一枚骰子，觀察出現的點數；

（2）擲兩枚骰子，觀察兩個點數之和；

（3）擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上；

（4）從裝有5個紅球、3個白球的袋中同時摸出兩球，觀察兩球的顏色．

師生活動 讓學生獨立完成以上隨機試驗的樣本空間的建立，體現開放． （1）（2）隨機試驗的樣本點與數值有關系，容易直接與實數建立對應關系；（3）（4）隨機試驗的樣本點與數值沒有直接關系，需要想辦法建立樣本點與實數的對應關系．

設計意圖 通過幾個典型實例，先讓學生自己動手建立樣本空間，再通過教師引導，體會在不同問題背景下的隨機試驗的樣本空間中，都可以建立樣本點與實數的對應關系，為隨機變量概念的生成奠定認知基礎．

2． 歸納概括，形成概念

導語2 我們發現，有些隨機試驗的樣本點與數值并沒有直接關系，這時我們需要采取適當的方法建立起樣本點與實數的對應關系．

問題2 隨機抽一件產品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能的結果．你能建立起樣本點與實數之間的對應關系嗎？

師生活動 教師通過問題啟發學生思考，借鑒問題1中的（3）（4）的試驗經驗，建立起樣本點與實數之間的對應關系．

教師總結 對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每一個樣本點與一個實數對應，即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點與實數的對應關系，實現樣本點的數量化．因為在隨機試驗中樣本點的出現具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．

設計意圖 通過具體實例，讓學生了解可以通過引入一個變量來刻畫一個隨機現象，隨機試驗的樣本點不論是否與數值直接有關，都可以數量化．

問題3 考察下列隨機試驗及其引入的變量.

（1）從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取3個進行檢驗，變量X表示3個元件中的次品數；

（2）拋擲一枚硬幣直到出現正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數．

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么？各個樣本點與變量的值是如何對應的？

師生活動 先讓學生獨立思考、作答，再讓學生表達交流，在此基礎上教師和學生一起總結（過程略）．

追問1：觀察上述兩個隨機試驗，請你歸納試驗（1）和試驗（2）的樣本空間中的樣本點與對應變量有什么共同點.

師生活動 學生發現，教師補充：兩個隨機試驗中，每一個樣本點都有唯一的一個實數與之對應．變量X，Y有如下共同點.

（1）取值依賴于樣本點；

（2）所有可能取值是明確的．

追問2：你能類比函數的定義，用集合與對應的語言表示樣本空間中的樣本點與實數的對應關系嗎？

師生活動 先請學生回憶函數的定義，然后類比函數的定義進行表達，接著師生交流、討論，最后由教師規范地表達隨機變量的概念．

追問3：閱讀第57頁的后半頁和第58頁的第一段話，并回答下列問題：

（1）什么叫離散型隨機變量？

（2）隨機變量和隨機變量的取值如何表示？

（3）比較隨機變量的定義與函數的定義，它們有何異同？

（4）你能舉出一些離散型隨機變量和非離散型隨機變量的例子嗎？

師生活動？搖先由學生自由發言，然后教師與學生共同完善解答． 在學生舉例、教師點評的基礎上理解概念．

設計意圖 通過類比函數的定義，歸納形成隨機變量和離散型隨機變量的概念；通過舉例，加深學生對離散型隨機變量的概念的理解．

3． 聯系拓展，逐步深化

導語3 根據問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關心的隨機事件，并利用數學工具研究隨機試驗中的概率問題．下面我們先研究如何利用隨機變量表達隨機事件．

問題4 以“擲一枚質地均勻的骰子”為例，你能用隨機變量表示隨機事件嗎？

師生活動 先讓學生自主探究，然后小組合作交流，最后小組派代表進行班級發言，教師對學生的發言進行點評．

設計意圖 讓學生學會用隨機變量表示隨機事件，為求隨機變量的概率分布列做準備．

導語4 如果我們知道了隨機變量X取每一個可能值時的概率，就可以利用其解決一些實際問題．

問題5 擲一枚質地均勻的骰子，X表示擲出的點數，那么X取每一個可能值時的概率是多少？類比函數的表示法，我們可以用哪些方法來表示？

師生活動 師生交流后引出分布列的概念以及表示，根據不同問題的需要可以選擇不同的表示方式．

設計意圖 有了分布列，相應的隨機試驗的所有情況都得到了反映．只要對分布列進行了研究，了解了它的性質，那么就把握了相應隨機試驗的基本特征，從而為進一步研究其他問題奠定了基礎．

問題6 類比函數的研究過程（定義—表示—性質—應用），在引入隨機變量的概念，定義離散型隨機變量的概率分布列并對分布列做出表示之后，你認為接下來應研究什么？

師生活動 類比函數的研究過程，學生想到應研究離散型隨機變量分布列的性質，但對研究內容還不太清楚． 教師引導學生回憶概率的性質，幫助學生總結分布列的性質．

設計意圖 創設開放的問題情境啟發學生思考，而不是直接告知學生性質． 類比函數進行自主探究，有利于培養學生的理性思維，提高學生發現和提出問題的能力．

追問：利用分布列的性質，你能求出“擲出的點數不大于2”“擲出偶數點”的概率嗎？

設計意圖 讓學生體會利用分布列的性質可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率．

4． 概念運用，鞏固提高

例1 一批產品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義X=1，抽到次品，0，抽到正品，求X的分布列．

師生活動 學生獨立完成，教師補充完善，然后引出兩點分布．

追問：生活中哪些隨機現象也可以用兩點分布來描述？

設計意圖 通過開放的問題，讓學生感受到生活中同類型的隨機事件都可以用兩點分布來描述，進一步理解隨機變量的引入可以更好地描述隨機現象．

例2 某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應的分數和人數如表1所示．

從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數X的分布列，以及P（X≥4）．

師生活動 教師先組織學生討論事件｛Ｘ＝ｉ｝表示的意義，引導學生分析隨機事件符合古典概型的條件，然后請學生獨立解決，展示學生解題結果． 在學生解題的過程中，引導學生總結解題的一般步驟．

追問：將等級成績進行量化這種思想在很多領域都有重要的應用，大家能否再舉出一些例子？

設計意圖 通過開放的問題，讓學生進一步理解隨機變量的引入體現了數學的簡潔性和統一性．

5． 課堂小結，總結提升

問題7 回顧本節課的學習過程，回答以下幾個問題.

（1）隨機變量的引入有何意義？通過類比函數定義引入隨機變量的概念，對你有什么啟示？

（2）離散型隨機變量的分布列有什么作用？

設計意圖 通過提問的形式，幫助學生梳理本節課學習的主要內容和主要思想方法，引發學生深度思考，對隨機變量、隨機變量分布列的含義和作用作反思．

6． 目標檢測，檢驗效果

一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺，從中隨機挑選2臺．

（1）求這2臺電腦中A品牌臺數的分布列；

（2）求這2臺電腦中至少有一臺A品牌的概率．

設計意圖 本題主要檢測隨機變量分布列的基本概念，求隨機變量分布列的基本步驟，以及利用分布列求隨機事件概念的基本方法．

教學設計說明

1． 關注本源，注重讓學生體會引入隨機變量的必要性

概率論中研究隨機現象的方法是：建立隨機試驗的樣本空間，構建概率模型，計算或估計隨機事件的概率，利用事件的關系和概率的性質，解決更復雜的概率計算問題． 然而，與具體背景緊密關聯的樣本點和樣本空間仍然使概率的研究處于抽象化的“初級階段”，其內容、方法、結論表達的一般性不夠，需要進一步進行數學抽象． 引入隨機變量刻畫隨機現象，使概率的研究躍上了一個新的抽象層次，也使我們能更好地利用數學工具，以一種更本質、更系統，同時也更簡潔的方式去研究概率，更深刻地認識隨機現象，得出更具一般性的結論. 這是本節課要讓學生認識到的首要問題，需要滲透在本節課以及整個章節教學的始終．

2． 適度開放，注重讓學生在現實問題中體會建模思想

在數學知識講解過程中加強將現實問題轉化為數學問題，注重引導學生經歷從現實背景的分析中歸納、提煉數量關系、空間形式的數學表達并得出模型的過程，這樣的過程中就包含了與數學建模有直接關聯的內容與環節［2］． 在本節課中，通過豐富的、有關聯性的情境，引導學生用映射（函數）的觀點觀察、分析具體實例，從現實情境中發現數學問題，經歷概念的形成（模型的建立）過程． 在這個過程中不是直接告知學生知識，而是設置開放的問題啟發學生思考，提升學生的抽象概括能力． 有了本節課的啟蒙，學生在后續學習中也會逐步體會本節課所蘊含的思想，逐步提升數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模等素養．

參考文獻：

［1］ 史寧中，王尚志． 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀［M］． 北京：高等教育出版社，2018．

［2］ 章建躍，張艷嬌，金克勤． 數學建?；顒拥恼n程理解、教材設計與教學實施［J］． 中學數學教學參考，2020（13）：13-19．

［3］ 史寧中． 數學基本思想18講［M］． 北京：北京師范大學出版社，2017．