重概念教學 促學力發展

嚴潔

［摘? 要］ 概念教學可以把握學生學習的起點，是激發學生探索欲的基礎，更是促進學力發展的前提. 文章以“余弦定理”的概念教學為例，具體從“情境創設，實例導入”“深入探究，形成概念”“應用概念，鞏固提升”“拓展延伸，發展能力”四方面展開分析，并從以下三方面談幾點思考：立足教材，體現概念形成過程；問題設計，明確概念探究方向；注重思維，促進數學能力發展.

［關鍵詞］ 概念教學；情境；思維；學力

數學概念是邏輯的起點，是促進學生認知發展的基礎. 世間萬物的形成與發展都遵循一定的程序，具有一定的自然性特征，數學概念亦不例外. 教材中所呈現的概念一般都是用嚴謹的語言直接呈現，缺乏對概念形成過程的介紹，這無形中會掩蓋概念形成過程的自然性特征［1］. 若將抽象的概念直接“灌輸”給學生，會讓學生感到一知半解，無法理解其本質. 在此筆者以“余弦定理”的概念教學為例，從以下幾方面展開分析，并提出幾點思考.

教學過程

1. 情境創設，實例導入

高中階段的數學在內容和形式上都比初中數學要抽象，對教師的專業水平與學生的思維能力的要求越來越高. 課堂導入環節，教師可通過問題情境的創設，激發學生的探索欲，減少數學學習的枯燥性，從更大程度上提高學生的思維能力與解決問題的能力.

課堂導入所創設的問題情境需要遵循以下幾個特性：①目的性，目標明確的情境，可讓學生進行針對性的思考；②價值性，創設情境的目的在于導入新課，切忌為了情境而創設情境；③符合學生的認知，難易程度適中的問題情境才能起到激趣啟思的作用.

本節課，教師直接以問題情境切入課堂教學.

問題1 請大家回顧一下用正弦定理求解常見問題的兩類情況.

問題2 （情境創設）如圖1所示，已知AC=1338，BC=700，∠ACB=110.8°，請根據這些數據，求AB的長度.

學生討論并歸納此問題情境的特征：這是一個實際問題，即在△ABC中，已知邊AC，BC的長度以及這兩邊的夾角∠ACB的值，求第三邊AB的長度. 從問題本質來看，這是一道解三角形的實際問題.

設計意圖 問題1，復習正弦定理的運用類型，為接下來類比余弦定理的應用奠定基礎；問題2，情境的提出，順利完成余弦定理的引入. 這兩個問題都建立在“以生為本”的基礎上，從實際問題出發，將待解決的問題形象化，以提高學生的抽象與建模能力，為促進學生“四基”與“四能”的發展奠定基礎.

2. 深入探究，形成概念

學生通過對上述問題情境的思考與分析，發現利用所熟悉的正弦定理的兩種類型并不能快速獲得邊AB的長度，過程很煩瑣，從而引發學生產生去探究新的解題策略的想法.

學生自主探索與交流，認為添加輔助線、化斜三角形成直角三角形的方法可解決問題2. 教師適時進行點撥，提出這種方法的煩瑣之處在于需要進行復雜的分類討論. 當學生的思維出現“憤”“悱”狀態時，教師順勢提出以下問題.

問題3 觀察圖1，可見待求的邊AB的長度實則為點A，B之間的距離. 對于求兩點之間的距離，我們熟悉的方法有哪些？

問題4 怎樣建立平面直角坐標系？

問題5 點A，B的坐標該怎么表示呢？

設計意圖 化斜三角形成直角三角形是學生熟悉的“形”，用坐標法探索數學問題屬于抽象的“數”，此處通過問題串的方式，引導學生“化形為數”，借助抽象精確的“數”來研究直觀的“形”. 意在讓學生的思維從感性直觀向理性抽象轉化，讓學生借助兩點間的距離公式來解決這個實際問題.

結合兩點之間的距離公式，學生寫出如下等式：c2=AB2=（acosC－b）2+（asinC－0）2=a2－2abcosC+b2. 觀察這個等式，可以發現三角形中存在的四個元素.

師：觀察圖2，對照以上等式中所涉及的四個元素的位置，通過類比分析，嘗試寫出其他結論.

學生通過自主思考與交流，總結出余弦定理的概念. （過程與內容略）

設計意圖 此過程是引導學生經歷從特殊到一般的過程，學生通過觀察、思考、猜想、分析與歸納，獲得應用數學抽象思維解決問題的能力，為形成良好的數學抽象與數據分析能力奠定了基礎.

問題6 余弦定理公式體現出了三角形中三條邊和一個角的關系，若三角形的三條邊為已知條件，該怎樣求三個角呢？

設計意圖 引導學生親歷從直觀到抽象的概念形成過程，深化學生對余弦定理的認識，為培養學生的數學抽象能力、邏輯推理能力以及直觀想象能力奠定基礎.

3. 應用概念，鞏固提升

掌握概念的目的在于能將它靈活地應用在實際解題中，幫助學生形成解題技巧，提高學生的解題能力.

例題1 已知△ABC的三條邊的長分別為3，5，7，則△ABC的最大角是多少？

變式題1：已知△ABC的三條邊的長之比為3∶5∶7，則△ABC的最大角是多少？

變式題2：已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，求△ABC的最大角.

例題1及其變式題讓學生口述回答，教師采用面對面、點對點的方式進行評價. 例題2則由師生共同探討、分析，通過教師的板演讓學生感知解題的規范要求，學生從中體驗到解法的合理性和解題的優化策略. 例題2的變式題要求學生獨立思考并完成解答，該變式題具有滲透數學思想方法的作用.

設計意圖 此環節意在讓學生感知概念是如何形成與發展的，激發學生對余弦定理的應用意識，讓學生對概念本質形成科學的認識. 這兩個例題的應用，還具有滲透方程思想和化歸思想的作用，引發學生學會規范應用數學思維來解決實際問題，促進學生運算素養的發展.

4. 拓展延伸，發展能力

結合正弦、余弦定理解三角形（解三角形的四種常見類型：SSA，AAS，SAS，SSS），把知識拓展延伸，以夯實學生的知識基礎，拓寬學生的思維，發展學生的解題能力.

問題7 請大家結合三角形相似和全等的知識，分析三角形的四種常見類型該如何求解.

采取小組合作交流，教師適當點撥的方式進行分析，學生發現，只有SSA這種類型與他們原有認知結構中的信息有所差別，其他都一樣；SSA這種類型的三角形不能確定，存在一解、兩解或無解的情況. 通過探討，學生獲得了如下結論：若三角形的三邊已知，角是唯一且確定的；若三角形三邊的比值已知，角也是唯一且確定的……

設計意圖 將三角形全等與相似的規律通過問題的探索抽象出來，可以建構高階層次的單元知識概念，這是數學學習的較高境界. 在此過程中，教師給予學生充足的思考時間與探索空間，學生在問題的導向下，有效增強了思維的深度與廣度，為形成良好的邏輯思維能力與數學抽象能力奠定了基礎.

幾點思考

1. 立足教材，體現概念形成過程

教材是實施教學的依據，是促進學生建構概念的重要外因之一. 然而，教材所呈現的知識是靜態的，而師生的思維卻是靈活多變的，每個人對教材所呈現的內容會有不一樣的理解. 作為教師，應立足教材，想方設法將概念形成的過程展現出來，讓學生對概念的形成源頭、發展過程有一個確切的認識，從真正意義上了解概念的“前世今生”.

作家巴爾扎克認為：一個能思想的人，才是一個力量無邊的人. 教師作為課堂的組織者，務必有自己獨特的教學風格與思想，閱讀教材時，決不可局限于教材所呈現的文字概念，而應從教材的字里行間探尋概念所蘊含的數學思想方法以及概念的來龍去脈，明確概念源自何處，到哪兒去，具有怎樣的作用等［2］.

師生不斷地鉆研、探索教材所蘊含的深意，才能領悟到概念的內涵與外延，教學活動才能夠完整、出彩.

例如本節課，若直接從坐標法出發，引入余弦定理的概念，會讓學生感到云里霧里，一臉茫然. 而從問題情境的引入，再結合教材中的內容，由實際問題引發數學建模，探尋求解策略，引出坐標法，直至獲得余弦定理，學生的思維經歷了“直觀想象—數學建?！壿嬐评怼獢祵W抽象”的過程，有效促進了數學建模能力、數學抽象能力的發展.

2. 問題設計，明確概念探究方向

學貴有疑，問題是數學的心臟，概念教學中的問題設計決定學生思維的方向. 概念教學的關鍵在于突出概念形成的過程，追求概念的自然生成，讓學生能從根本上理解概念.

概念的形成一般源自以下兩個方面：①客觀世界中數量關系與空間形式的抽象；②原有數學知識結構上的邏輯建構. 在對現實現象抽象或邏輯結構建構的過程中難免會產生一些認知沖突，這些認知沖突屬于概念形成過程中學生所遇到的困境，在此處設計合適的問題，是促使學生了解概念本質的關鍵.

為了解決學生在概念形成過程中所產生的認知沖突，教師在新概念的引入中需要帶領學生進行概念的檢驗與論證，即明確概念的生成是否合理. 對概念進行合理性分析的過程，就是學生用數學思維思考現實世界的過程，如推理表述或舉反例等，都是為了讓概念的生成更嚴謹.

恰當的問題有助于促進概念探究框架的建構，同時問題還能有效驅動情境的展開，保證課堂效率. 問題提出需要瞄準時機，掌握火候，如在新舊知識的銜接處提問，在知識的生長點處提問，在學生認知障礙處提問或在學生思維的節點處提問，都能為概念探究與數學表達搭建平臺，提高學生的抽象與概括能力，促進學生思維能力的發展.

本節課教學，逐層深入的問題，成功引發學生自主發現、完善、歸納總結概念，讓學生獲得了良好的學習體驗，為學生自主完善知識體系夯實了基礎.

3. 注重思維，促進數學能力發展

在概念教學中，仍然有些教師存在“輕概念，重解題”的思想，一味地強調關鍵詞的作用，而忽視了親歷概念生成過程的必要性，至于概念生成過程中學生思維的變化情況如何更毫不在意，這種行為嚴重阻礙了學生對概念本質的掌握，不利于學生數學學科核心素養的形成與發展.

概念學習是一個由表及里、循序漸進的過程. 對于大多數概念而言，都有一定的形成背景，因此教師可以情境作為概念教學的切入口，激發學生對概念的探究欲. 當學生應用原有的知識和經驗無法解決相應的問題時，則可以通過實例的引入來幫助學生建構新的概念，讓學生從直觀感知中抽象出概念的內涵，促進思維的生長.

事實告訴我們，創設生動、互動、合作、共生的教學活動，不僅能凸顯學生在課堂中的主體性地位，還能讓學生以問題為核心促進思維的有效發展，彰顯“教隨學定”的靈動性，“學隨思定”的深刻性［3］. 高中數學概念教學，不再是單純的知識傳授，更重要的是促進學生思維的發展，培養學生終身學習的能力.

本節課教學，教師并沒有著重強調概念中關鍵詞語的重要性，而是根據概念結構與實際意義展開闡述，引導學生親歷概念生成過程，為學生建構完整的知識結構奠定了基礎. 學生結合原有的認知結構，與新知進行比較，發現只有SSA這種類型的三角形與原有認知結構中的信息有所差別，其他類型都是高度一致的. 這個發現成功激發了學生的探究興趣，為新知的建構夯實了基礎.

總之，教師要基于學生原有的認知結構，科學合理地設計問題情境，讓學生在問題的驅動下，經歷概念形成與發展的過程，獲得良好的學習體驗，從真正意義上促進學習能力的發展.

參考文獻：

［1］ 章建躍. 如何幫助學生建立完整的函數概念［J］. 數學通報，2020，59（09）：1-8.

［2］ 趙天璽. 理解概念本質 發展理性思維 培養科學精神［J］. 中小學數學（高中版），2019（03）：8-10.

［3］ 李善良. 現代認知觀下的數學概念學習與教學［M］. 南京：江蘇教育出版社，2005.