張志峰
[摘? 要] 2023年全國高考數學新課標Ⅰ卷第16題是一道圓錐曲線試題,研究者重點分析其幾何特征,探索解決思路,并給出教學建議,以期通過優化教學策略,充分利用教材例題、習題和高考真題來提高學生的解題能力,培養學生的數學學科核心素養.
[關鍵詞] 幾何特征;解題思路;教學建議
題目呈現
試題分析
本題涉及的課標要求是:能夠從多種角度理解向量的概念和運算法則,掌握向量基本定理;能夠用向量方法解決簡單的平面幾何問題,知道數學運算與邏輯推理的關系;了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程及簡單的幾何性質.
借助三維細目表,即從“考查載體”“考查內容”“考查要求”對本題進行分析(見表1).
思路探索
本題涉及解析幾何內容,處于填空壓軸題的位置,與往年高考一樣,沒有給幾何圖形,要求學生理解試題情境中的幾何特征及其解釋,運用數形結合思想畫出相應的幾何圖形,尋找解題思路,選擇合理簡潔的運算途徑.
1. 分析關鍵信息
2. 畫出幾何圖形
3. 分析幾何特征
4. 探索解題思路
點評 上述兩種解題思路都是基于圖形幾何特征,利用解三角形的知識求解的.
點評 思路3體現了平面向量的工具性作用.
平面向量與解析幾何都是高中數學的教學重點,兩者存在很多的內在聯系,是數形結合的產物. 平面向量與解析幾何的結合,還有重要的一點,就是坐標表示,因此本題可以通過設點,將向量坐標化,利用方程思想求解.
教學建議
1. 解析幾何的教學定位
解析幾何是數學發展過程中的標志性成果,是微積分創立的基礎,而從數學內部來看,則出于對數學方法的追求. 因此,解題教學中應以圓錐曲線與方程為載體,掌握坐標法這一工具去解決一些幾何、代數問題,注意代數運算與幾何直觀相互為用. 引導學生先用平面幾何的眼光觀察相應幾何圖形的特征,認識確定幾何圖形的要素,再用坐標法解決問題,將數形結合思想、坐標思想貫穿教學始終.
2. 優化解題思路,簡化運算
學生在學習解析幾何的過程中,常常因為不能順利完成代數運算而失敗.為了讓學生更好地把握坐標法的基本思想,優化運算,建議用幾何眼光觀察、分析幾何圖形的要素及基本關系,再用代數語言進行表達,借助圖形的幾何特征及圖形間的關系優化解題思路,選擇合理簡捷的運算途徑.