基于邏輯主線、課程主題的數學整體性教學的實踐與思考
——關于“手電筒模型”解題教學問題診斷與分析解決的案例實錄

陳偉流

(廣東省惠州市仲愷中學)

一、教學前言

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在教學實施中強調:教師要進一步精選學科內容,重視以主題為引領,使課程內容結構化,促進學科素養的落實,隨后的2020年修訂版課標又強調:關注同一主線內容的邏輯關系,關注不同數學知識蘊含的通性通法、數學思想.數學內容的展開應循序漸進、螺旋上升,并使之成為一個有機的整體.

具體到解析幾何模塊的解題教學實踐,不少教師因試題的綜合性強、推理量大、變化情境雜而停留于就題論題、點到為止、輕視知識關聯性等特征的淺層教學階段中,使得學生出現思維混亂、認知偏差等帶有負遷移的不良心理因素,以至于無法充分挖掘試題的隱含條件,無法調動對已學知識的靈活運用,更難以凝練出具有知識統攝性的數學模型.基于新課標的指導理念及上述教與學的現狀,筆者以邏輯主線及課程主題為統領思想進行數學整體性教學,以解析幾何中“手電筒模型”解題教學問題診斷與分析解決的案例為切入點,淺談在創設情境,初探模型;多變情景,深化模型;變式應用,完善認知等多個教學環節中的些許設計心得.

二、教學目標解析

(1)理解動直線具備定斜率和過定點等屬性的根源,培養發現問題的基本能力;

(2)理解“引雙直線的定點” “斜率和(積)為定值” “定斜率或過定點”三要素的整體封閉性,提升分析問題的能力,滲透模型思想,提升數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養.

經過本次課堂學習,學生能初步形成“手電筒模型”的數學模型基本知識理論體系,在積累多維的數學活動經驗后,明確定值、定點等知識的邏輯關系,在變式訓練中積累逆向活動經驗,從而理解數學知識的內在邏輯,培養數學探索、數學應用的理性思維,體會所學知識創造性解決問題的成就感,實現數學知識的育人價值.

三、教學問題診斷分析

(1)學生已基本熟知解析幾何模塊的基礎知識、基礎思想及基礎應用,有一定的推理運算素養.課堂中教師需引導學生以邏輯主線的視角審視斜率和(積)與定斜率、定點問題,能夠主動發現問題間的脈絡關系并在腦海中形成相關模型體系,繼而凝練出課程主題——“手電筒模型”.

(2)在教學環節的逐步推進中,學生積累由易到難、由淺到深、由特殊到一般的活動經驗,能初步形成“手電筒模型”的雛形,認識動直線具備定斜率或過定點的條件,但對于三要素間的統一封閉性較為陌生,需教師在變式中深化學生對三要素的認知,讓學生體會豁然開朗的頓悟感,促進知識、技能的全面內化,避免教與學出現“兩張皮”的脫離現象.基于上述分析,明確本設計的重點為理解“手電筒模型”中關聯定值、定點問題的知識邏輯體系.難點是理解“手電筒模型”中三要素的邏輯關系.

四、教學過程設計

環節一 創設情境,初探模型

【問題1】經歷設點,設線,曲直聯立,韋達定理介入等步驟,可計算得出動直線PQ有定斜率-1(過程略).在此基礎上,同學們能否順便計算出雙曲線在點A處的切線斜率?(A處的切線斜率k1為1)

【追問1】在本例中lPQ的斜率與A處切線斜率k1互為相反數,這是偶然還是必然?

在現代信息技術GeoGebra的平臺中,教師還原本例的所有幾何要素,如圖1,拖動點A,保持直線AP,AQ斜率之和為0,從直觀角度可驗證lPQ與雙曲線在動點A處的切線斜率k1始終互為相反數.

圖1

【評注】以雙曲線為背景,由引兩直線的定點,斜率和為0推導出動直線有定斜率的規律屬性,為進一步推廣到圓錐曲線體系做好鋪墊.

【追問2】若將問題背景切換為橢圓、拋物線或圓,其他條件不變,問動直線是否仍有定斜率?在GeoGebra的平臺中依次在曲線上取定點A,過A作斜率互為相反數的兩直線交曲線于P,Q兩點,觀察動直線PQ斜率與A處切線斜率k1,有何發現(如圖2,3,4)?針對上述數學實驗能否給出統一的定性結論?

圖2

圖3

圖4

【結論1】在圓錐曲線上取定點A(x0,y0)(y0≠0),過A作斜率為相反數的兩直線交曲線于P,Q兩點,圓錐曲線在點A處的切線斜率為k1,若

點A在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,點A在雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)上,點A在拋物線y2=2px(p>0)上,點A在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則kPQ=b2x0a2y0=-k1則kPQ=-b2x0a2y0=-k1則kPQ=-py0=-k1則kPQ=x0+D2y0+E2=-k1

【評注】通過問題情境的探究活動,揭示定點、斜率和為0、定斜率三要素在圓錐曲線體系間存在普遍性、統一性的內在規律,水到渠成般地形成命題和結論,感悟問題的通法通性.圖象的動態可視化反映了變化中的不變性與規律性,以及對稱性,體現變化中的對稱美與和諧美,有利于激發學生的理性探索精神,反映數學美學的育人價值.

環節二 多變情景,深化模型

【問題2】如果改變例1中斜率和為0的條件,動直線PQ仍有定斜率嗎?動直線PQ是否有如過定點等其他屬性?

【追問3】承接例1的解題經驗,其求解過程在例2中是否具有普適性與通用性?

【評注】引導學生在解題實踐中,認識到解法上的共性特征,凝練出通法思維.增設傾斜角和為定值的變式情境,旨在引導學生如何有效解讀條件,合理建立陌生條件與所學知識的溝通橋梁,化陌生為熟悉.

【追問4】由此可知,在雙曲線背景中,當斜率和積為非零定值時,動直線PQ有過定點屬性;若將斜率和(積)為非零定值的條件推廣到橢圓、拋物線中時,其定點屬性是否仍成立?

【評注】以變式教學為切入手段,以斜率和(積)為定值為課堂統領主線串聯起定斜率和過定點的兩個問題,保證了學生知識學習中的邏輯關聯性和認識結構上的自然過渡性,為進一步開展“手電筒模型”的主題凝練做好鋪墊.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

【追問5】通過可視化動態分析,是否能得出對斜率和(積)為非零定值與直線過定點的邏輯關系作出統一定性表述?

【結論2】在圓錐曲線上取定點A(x0,y0)(y0≠0),過A作斜率存在的兩直線交曲線于P,Q兩點,若兩直線

斜率和為λ(λ≠0)斜率積為λ(λ≠0)兩直線傾斜角滿足tan(α+β)=λ(λ≠0)橢圓lPQ過定點x0-2y0λ,-y0-2b2x0λa2 λ=b2a2,kPQ=-y0x0(x0≠0)λ≠b2a2,lPQ過定點λa2+b2λa2-b2x0,-b2-λa2λa2-b2y0 lPQ過定點-2a2y0-(b2+a2)λx0λ(a2-b2) ,2b2x0-(b2+a2)λy0λ(a2-b2) 雙曲線lPQ過定點x0-2y0λ,-y0+2b2x0λa2 λ=-b2a2,kPQ=-y0x0(x0≠0)λ≠-b2a2,lPQ過定點λa2-b2λa2+b2x0,b2-λa2λa2+b2y0 lPQ過定點-2a2y0+(b2-a2)λx0λ(a2+b2) ,2b2x0+(b2-a2)λy0λ(a2+b2) 拋物線lPQ過定點x0-2y0λ,-y0+2pλ lPQ過定點x0-2pλ,-y0 lPQ過定點x0-2p-2pλ,-y0+2pλ

【評注】在多層次的探究變式的情境中培養學生在解題實踐中養成思考并解決問題的習慣,以通法貫穿問題的運算推理過程,將新通性規律通過技術引領,從形象到抽象總結為更一般的結論并用數學語言表示,教師帶領學生經歷從特殊到一般,從感性到理性,從定性到定量的研究過程,升華思維的同時提升了邏輯推理、數學抽象等素養.

環節三 變式應用,完善認知

【問題3】在上述探索中,若改變“曲線上的定點” “斜率和或積為定值” “動直線有定斜率或過定點”這三要素的邏輯結構,是否依然滿足知二求一的封閉性?

(1)求橢圓C的方程;

(2)求證:直線AB,AD的斜率之和為定值.

例4(2021·河南洛陽一模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P(4,m)(m>0)是拋物線上一點且|PF|=5.

(1)求拋物線的方程;

(2)過點Q(1,-4)的直線與拋物線交于A,B兩點(均與點P不重合).設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

【評注】學生在前文的探索環節中對三要素邏輯關系打下一定的認知基礎,該環節以變式訓練切入,旨在打破其認知刻板印象,豐富并完善其對三要素的認識結構層次,為引導學生基于知識整體上提煉模型主題積累充分的認知活動經驗.

本課堂的教學環節以斜率和(積)作為切入條件拉開序幕,到斜率和(積)為定值作結論收尾,課堂中的諸多設計永遠圍繞著邏輯主線——“斜率和(積)與定斜率定點問題”來展開,循序漸進般拾級而上,在知識體系上有效整合了眾多教學內容,使各個教學要素成為有邏輯關聯,有通性規律,有模型思想的數學結構,此時,基于學生認知結構的建立過程,“手電筒模型”的主題便可水到渠成般自然凝練而成!

“手電筒模型”:在平面直角坐標系中,已知動直線與圓錐曲線交于兩動點,從圓錐曲線上的一定點向兩動點引兩直線,則兩直線的斜率和(積)為定值的充要條件是兩點所在的動直線具有定向(定斜率)或過定點的不變屬性,因其幾何圖形的形象特征可稱其為“手電筒模型”.

五、展望思考

1.把握“邏輯主線”,服務“深度備課”

《高考評價體系》在四翼的綜合性考查中強調:要求學生對同一層面的知識、能力、素養能夠橫向整合貫通,形成完整的知識結構、能力結構網絡;對不同層面的知識、能力、素養能夠縱向融會貫通.由此可見,在解題教學實踐中,教師要基于知識發展,學生學情等實際情況,以知識關聯為邏輯主線進行課堂的整體設計,將教學內容循序漸進,螺旋上升,以點帶面般展開,使之構成一個可延伸、耐推敲、有活力的有機整體,最終實現教師的深度備課.如本案例中,課堂多個環節的實施始終圍繞著斜率和(積)與定向定點問題為核心主線統攬全局,并將教學內容的安排每一步都放到課堂活動的大系統中考量,主次分明,目標清晰,結構緊湊,緊密相連,合乎邏輯,而并非一味地追求教學內容的深度、難度及廣度,或是片面地突出或強調某一點.

2.問題引領,推進活動,凝練主題

因學生思維視野、知識水平及能力素養方面存在不同程度、不同方面的欠缺,本案例中試題的求解分析及結論的歸納總結等過程必然使部分學生倍感吃力而心生畏難情緒,所以筆者根據知識、學情、技術等客觀因素在深度備課中進行多維預設,圍繞內容主線設置符合學生認知規律的啟發性問題,進而展開定斜率幾何意義的探索、GeoGebra技術的直觀探路、特殊到一般的歸納總結、變式教學的鋪墊過渡、條件結論互逆的解題體驗等多維學習活動,一步步逐級推進,使得“手電筒模型”的主題生成得以順利開展,學生知其然,更知其所以然,如此才能帶動學生的思維品質、學習能力不斷地拾級而上.

3.關注能力成長,提升學習品質

章建躍博士曾指出:教學設計應充分體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性,切實防止碎片化教學,通過有效的四基、四能教學,使數學學科核心素養真正落實于數學課堂,基于此,本案例以邏輯主線及課程主題為導向進行數學整體性設計,學生擺脫了淺層教學中僅掌握知識技能、思想方法等低階要求,實現了數學思維、數學語言、實踐能力、批判精神、創新能力等學習品質方面的發展和精進,最終到達整體性教學所指向的彼岸遠方——深度學習.回顧課堂各個環節,教師通過問題的精心設計和可視化輔助軟件的巧妙安排,無不是為了讓學生立足四基以發展四能,能在探尋不變性及規律性的過程中,激發數學學習的興趣,培養良好的學習習慣,提升數學應用意識,審美價值等理性思維,最終促進學生學會深度學習,以期提升數學素養,引導學生在將來的學習中,會用數學眼光觀察世界,會用數學思維思考世界,會用數學語言表達世界.