齊次化構造妙解雙斜率問題

張秀妮

(山東省威海市文登區教育教學研究中心)

圓錐曲線中的雙斜率問題,一直是高考考查的熱點題型.但學生得分率很低,究其原因,主要是選擇方法不當,導致運算量極大,失去計算熱情.本文通過齊次化構造的方法,幫助學生減少運算量,用平面幾何的視角,探究圓錐曲線中軸點弦定理和等角定理.

一、齊次化構造背景介紹

1.齊次式

一個多項式中,如果各項的次數都相同,則稱這個多項式為齊次式.

例如:x+y是一次齊次式,x2+3xy+y2是二次齊次式.

2.齊次方程

如果一個方程中,所有非零項的次數都相同,則稱這個方程為齊次方程.

3.基本原理

二、斜率之和問題

【解法1】采用常規解法,難點在于題目涉及的直線相對較多,學生不知道應該設哪條直線.在通常情況下,求哪條直線的信息,我們就設這條直線的方程.

由題意知直線l斜率存在,設為k,則直線l:y=kx+m,

可得,(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0.

設P(x1,y1),Q(x2,y2),

因為kAP+kAQ=0,所以k=-1.

【解法2】采用齊次化構造方法,已知kAP+kAQ的值,聯想到韋達定理中的兩根之和,所以需要構造一個以kAP,kAQ為根的一元二次方程Ak2+Bk+C=0.

即A(y-1)2+B(y-1)(x-2)+C(x-2)2=0 (*),

而(*)是關于(x-2)與(y-1)的二次齊次式.因為斜率中的變量x,y來自雙曲線,所以我們想將雙曲線中的變量湊成(x-2)與(y-1)的形式:

(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2+4(y-1)=0

(**).

不難發現(**)中(x-2)與(y-1)并非齊次式,所以我們需要把(**)的一次項湊成二次項.如何實現?其實,斜率中的變量x,y不僅來自雙曲線,還來自直線l.所以,我們首要的任務是將直線l的方程改寫成(x-2)與(y-1)的形式.

【引理】給定直線l和直線外一點P(x0,y0),則直線l的方程可以寫為m(x-x0)+n(y-y0)=1.

證明:直線l可寫為Ax+By+C=0,其中A2+B2≠0.

因為A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C),

P(x0,y0)?l,所以Ax0+By0+C≠0.

所以直線l可設為:m(x-2)+n(y-1)=1,

所以(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+n(y-1)]-2(y-1)2+4(y-1)[m(x-2)+n(y-1)]=0,

整理可得(4n-2)(y-1)2+(4n+4m)(y-1)(x-2)+(1+4m)(x-2)2=0,

即(4n-2)k2+(4n+4m)k+(1+4m)=0,

所以n=-m,即k=-1.

對比兩種解法,不難發現,在處理雙斜率的和或積的相關問題中,齊次化構造更為便捷.

三、斜率之積問題

以圓錐曲線的軸點弦定理為例:

【軸點弦定理】過圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)對稱軸上非頂點的一定點的直線與圓錐曲線交于不同的兩點,則這兩點與相應對稱軸上的一個頂點所連斜率之積為定值.

下面運用齊次化構造對此定理進行簡單證明.

【解析】設直線AB:m(x+a)+ny=1,

整理可得b2(x+a)2-2ab2(x+a)+a2y2=0,

所以b2(x+a)2-2ab2(x+a)[m(x+a)+ny]+a2y2=0,

整理可得a2k2-2ab2k+b2-2ab2m=0.

【拋物線軸點弦定理】過定點P(t,0),t≠0的直線l與拋物線E:y2=2px(p>0)交于A,B兩點,則kOA·kOB為定值.特別地,當P(2p,0)時,OA⊥OB.

大家可以嘗試用齊次化構造的方法證明上述兩個定理.

【反思】軸點弦定理只是告訴我們如果直線AB過定點,則相應軸的一個頂點與A,B所連直線的斜率之積為定值;反之,結論未必成立,但絕大多數情況下是成立的.因此我們可以運用這個結論進行大膽地猜測,然后用齊次化構造仔細驗證.下面借助一道統考試題,看一下.

(1)求證:BM⊥BN;

(2)設直線BM交橢圓C于另一點Q,求證:直線PQ恒過定點.

【解析】(1)證明略.

證明:設直線PQ方程為m(x-2)+ny=1,

整理可得(x-2)2+4(x-2)+4y2=0,

所以(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+ny]+4y2=0,

整理可得4k2+4nk+1+4m=0.

四、轉化提升

【拋物線等角定理】過拋物線E:y2=2px(p>0)對稱軸上一定點P(t,0)(t≠0)的弦AB的兩端點與對應點Q(-t,0)連線與對稱軸(即x軸)所成的銳角相等.

我們以拋物線等角定理為例,運用齊次化構造的方法進行證明.

證明:所求問題可轉化為求kQA+kQB=0.

整理可得y2-2p(x+t)+2pt=0,

所以y2-2p(x+t)[m(x+t)+ny]+2pt[m(x+t)+ny]2=0,

整理可得(2ptn2+1)k2+(4ptmn-2pn)k+2ptm2-2pm=0,

大家可以嘗試用齊次化構造的方法證明上述橢圓和雙曲線的等角定理.

【思維拓展】橢圓與雙曲線有兩條對稱軸,所以只要M、N成對地出現在同一條對稱軸上,命題依然成立,即:

(1)當l⊥x軸時,求直線AM方程;

(2)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

【解析】(1)解答略;

(2)證明:設直線l方程為m(x-2)+ny=1,

整理可得(x-2)2+4(x-2)+2y2+2=0,

所以(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+ny]+2y2+2[m(x-2)+ny]2=0,

整理可得(2n2+2)k2+(4n+4mn)k+1+4m+2m2=0,

因為F∈l,所以m=-1,

所以∠OMA=∠OMB.

【反思】齊次化構造法比常規做法,運算量大大降低.但本方法,適用于斜率的相關問題,有很大的局限性.更大的難點是如何通過審題,將所求問題轉化為斜率之積與和的問題.