電偶極子電場的數值分析

鄭世燕 施妍汐 謝超俊 漆昌祥

【摘? ?要】? ?應用電場及電勢疊加原理求解電偶極子周圍空間電場的解析解，并在此基礎上驗證電偶極子延長線以及中垂線上的電場強度與已有結論是否一致?；贛atlab軟件對其進行數值分析，通過控制變量法比較不同r、[θ]情況下的電場分布。結果表明：電場強度E隨著距離r的增大而減小，隨著[θ]的變化存在一極小值。在電偶極子中垂線上的電場最弱，而延長線的電場最強。此法能較直觀地幫助學習者理解和掌握電偶極子電場的相關知識點。

【關鍵詞】? ?電偶極子；疊加原理；電場強度；Matlab

Numerical Analysis of Electric Field Produced by an Electric Dipole

Zheng Shiyan， Shi Yanxi， Xie Chaojun， Qi Changxiang

（Quanzhou Normal University， Quanzhou 362000， China）

【Abstract】? ? The analytical solution of the electric field around an electric dipole is obtained by using the superposition principle of electric field and potential， and the electric field intensity on the extended line and the perpendicular bisector of the electric dipole is verified to be consistent with the conclusions in the existing textbooks and literatures. Furthermore， the numerical analysis is carried out based on Matlab software， and the electric field distribution under different r、 [θ] is compared through the control variable method. The numerical results show that the electric field intensity E decreases with the increase of the distance r， and there is a minimum value with the change of [θ]. In particular， the electric field is the weakest on the perpendicular to the electric dipole， and the electric field is the strongest on the extension. This method can help learners to understand and master the relevant knowledge of electric field of electric dipole more intuitively.

【Key words】? ? ?electric dipole; superposition principle; electric field intensity; Matlab

〔中圖分類號〕 O441? ? ? ? ? ? ? ? ?〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）01- 0054 - 04

0? ? ?引言

電偶極子是由相距為l（l遠小于觀察點的距離，即l << r）等量異號的兩個點電荷構成［1-4］，如圖1所示。它是電介質理論［5］和原子物理學［6］的重要理論模型，在研究電介質的極化、原子實的極化以及電磁波的發射與吸收等問題時都要用到電偶極子的概念。

在大學物理［3］及電介質物理［5］教材中都涉及計算電偶極子軸線的延長線以及中垂線上任一點的場強。一般選擇電偶極子的中心位置為坐標原點，如圖1所示?？紤]到r >> l，再根據場強疊加原理求得電偶極子軸線延長線上任一點的電場強度為

[E=ql2πε0r3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

同理，電偶極子中垂線上任一點的電場強度為

[E=-ql4πε0r3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

而在電磁場與電磁波［1-2］及電磁學［4］教材中往往需要計算更為一般的情況，即計算電偶極子周圍空間任一點的場強。此時由于場點所在位置與正負點電荷位置未形成特定的幾何對稱性，因此需要建立適當的坐標系進行解答。

為此，本文圍繞電偶極子周圍空間的電場進行相關討論。首先應用電場及電勢疊加原理等方法計算電偶極子在周圍空間產生的電場，并在此基礎上討論電偶極子軸線延長線和中垂線上的場強。鑒于電偶極子是物理學中的一個經典模型，從公式層面無法直觀地獲得電場與空間坐標間的可視化效果。故本文使用Matlab仿真軟件［7］對所獲得的電偶極子電場公式作進一步數值分析。

1? ? ?電場疊加原理巧解電偶極子產生的電場

如圖1所示，以電偶極子的中心為坐標原點，并使電偶極子[l]沿著z軸方向，正負電荷量分別為[+q]和[-q]，以此模型來計算電偶極子周圍空間任一點P的場強。

根據對稱性，該模型在球坐標系下的空間電場與[φ]無關，為了便于計算，取[φ=π2]。

假設電偶極子[+q]和[-q]在P點形成的電場強度分別是[E+]、[E-]；[r+][（r-）]的方向是從[+q][（-q）]指向場點P，大小是二者之間的距離；[r]是坐標原點到場點P的位置矢量；[θ]是球坐標系中的仰角。

根據點電荷的電場公式，得

[E+=14πε0qr+3r+]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

[E-=14πε0qr-3r-]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

再由矢量運算三角形法則

[r+=r-l2，r-=r+l2]? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

考慮到r >> l，則

[r+≈r-l2cosθ，r-≈r+l2cosθ]? ?（6）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 聯立公式（3）～（6），求得

[E=q4πε0r（r3--r3+）-l2（r3-+r3+）r+3r-3]? ? ? ?（7）

取近似

[r3--r3+≈2（l2cosθ）3+6r2l2cosθr3-+r3+≈2r3+6r（l2cosθ）2，r3-r3+≈r6] （8）

則：[E≈q4πε03r2lcosθer-lr3]? ? ? ? ?（9）

在球坐標系中，當[φ=π2]時

[l=lcosθer-lsinθeθ]? ? ? ? ? ?（10）

則：[E=ql4πε0r3（2cosθer+sinθeθ）]? ? ? ? ?（11）

式（11）即為電偶極子在r >> l情況下周圍空間場強的解析表達式，其中[ε0]為真空介電常數（又稱電容率）。

此法只需學習者熟悉矢量加減運算法則即可求得結果式（11）。它較直觀易懂，對于不熟悉球坐標系中的梯度公式但熟悉矢量加減運算的學習者而言，不失為一種好的解題方法。

2? ? ?電勢疊加原理巧解電偶極子產生的電場

由圖1可知，該電偶極子在場點P處產生的電勢等于兩個點電荷在該點的電勢之和，即

[φ（r）=q4πε0r+-q4πε0r-]? ? ? ? ? ? ?（12）

當r >> l時，可以得到電偶極子的電勢表達式

[φ（r）=q4πε0r--r+r+r-≈p?er4πε0r2]? ? ? ? （13）

其中[p=ql]為電偶極矩。

再根據電場強度等于電勢的負梯度，即

[E=-?φ=-14πε0?p?rr3=ql4πε0r3（2cosθer+sinθeθ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）]? 3? ? ?以負電荷為坐標原點再解電偶極子產生的電場

前面討論了電偶極子的中點位于坐標系原點的情況，為了便于計算，還可以將坐標原點移到負電荷所在位置，相較于前面的方法，消除了一個變量[r-]，從而大大減少計算過程。

如圖2所示，令負點電荷[-q]位于坐標原點，至場點P的距離為r。再令正點電荷[+q]位于z =l處，至場點P的距離為r+，則

[r+=r-l]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

根據場強及電勢疊加原理，電偶極子在場點P產生的電場及電勢分別為

[E=q4πε0（r+r3+-rr3）]? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

[φ（r）=q4πε0r+-q4πε0r]? ? ? ? ? ? ? ? （17）

考慮到r >> l，則

[r+≈r-lcosθ ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

[E=q4πε0（r+r3+-rr3）=q4πε0（r3r+-r3+rr3+r3）? ? ≈q4πε0r3（r-l）-（r-lcosθ）3r（r-lcosθ）3r3? ? ≈ql4πε0r3（2cosθ er+sinθ eθ）]? ? ?（19）

[φ（r）=q4πε0r-r+r+r=qlcosθ4πε0r2]? ? ? ? （20）

同理，利用球坐標系中的梯度公式，即可求出電場強度為

[E=-??? ?=-q4πε0?（1r+lr2cosθ）-?（1r）? ?=ql4πε0r32cosθer+sinθeθ]? ? （21）

至此，我們通過3種方法獲得了電偶極子周圍空間的電場分布，對比式（11）（14）（19）及（21）可得，應用不同方法所得結果都一致。在解題過程中學習者可根據自身學習掌握能力運用相應的方法求解，有利于提高學習者的解題能力。

式（11）（14）（19）及（21）即為最終結果。此時令式（11）（14）（19）及（21）中的[θ=0° 或 180°]，則[E=±ql2πε0r3 er=ql2πε0r3]同式（1），即為電偶極子軸線延長線上離電偶極子甚遠處（即r >> l）任一點的場強；若令式（11）（14）（19）及（21）中的[θ=90°]，則[E=ql4πε0r3eθ=-ql4πε0r3]同式（2），即為電偶極子中垂線上離電偶極子甚遠處（即r >> l）任一點的場強。

4? ? ?電偶極子電場的數值求法

根據上述計算方法求解得到的電偶極子周圍場強公式（11）（14）（19）及（21）可知電場強度E與[q]、[l]、r及[θ]有關。從解析解獲知電場強度的大小E與[q]、[l]成正比，而與r3成反比。由于E與[θ]的關系不易從解析解直接獲得，下面采用Matlab軟件對其進行數值求法，重點討論E隨r以及[θ]的變化關系。

先將式（11）（14）（19）及（21）場強公式進行坐標變換，即將球坐標系變換為直角坐標系，當[φ=π2]時

[er=sinθey+cosθez]? ? ? ? ? ? ? （22）

[eθ=cosθey-sinθez]? ? ? ? ? ? ? （23）

將式（22）（23）代入式（11）（14）（19）及（21）中，可得

[E=ql4πε0r3[3cosθsinθey+（3cos2θ-1）ez]]? （24）

下面將對式（24）運用Matlab軟件作E-[r]-[θ]、E-[r]和E-[θ]曲線。為了研究方便，將參數設置為[q=1.6×10-19 C]、[l=0.05 m]、[ε0=8.854×10-12 F/m]，當考察的對象是某個特征參數時，其余的參數均保持原來設定的值不變［8-10］，此外圖3、圖4以及圖5中的E、r及[θ]的單位分別為：V/m、m及rad。

4.1? ?E-[r]-[θ]三維曲線關系圖

E-[r]-[θ]三維曲線如圖3可知，當[θ]相同時，電場強度E隨著r的增大而減小，與解析解的結果一致；當r相同時，場強E隨著[θ]的變化存在一極小值（[θ=π2]），具體見表1。

為了更直觀地了解r和[θ]對E的影響，下文將作E-[r]和E-[θ]曲線對其分別進一步討論分析，即當[θ]不變時，E隨r的變化關系；當r不變時，E隨[θ]的變化關系。

4.2? ?電場強度E隨r的變化關系

本文為考察r 對電場強度E的影響，考慮到不同變量存在的差異，首先控制電荷量q不變，將r的取值范圍設置為3～7 m，觀察[θ]角不變對E-r曲線的影響。由圖4及表1可獲得以下結論：

（1）電場強度E與r成反比關系。這是庫侖定律的基本結論之一，表示電荷之間相互作用的強度隨著它們之間的距離增加而減弱［11］。

（2）當[θ]一定時，曲線斜率的絕對值隨著r增大而逐漸減小。

（3）[θ=][π4]和[θ=][3π4]這兩組E-r曲線重合（圖4中的b曲線），[θ=0]和[θ=π]（圖4中的a曲線）亦如此，由此表明，E-[θ]曲線關于[θ=][π2]對稱，且[θ=][π2]時場強E取極小值。

4.3? ?電場強度E隨[θ]的變化關系

研究[θ]對電場強度E的影響，同樣保持上述條件不變。由圖5以及表1可獲得以下結論：

（1）曲線關于[θ=][π2]對稱，且[θ=][π2]時場強E取極小值。由此說明在一定條件下，電偶極子電場強度E的分布具有對稱性。

（2）[θ∈（0，π2）]或[θ∈（π2，π）]時，r越小對應曲線斜率的絕對值越大。

5? ? ?結語

本文基于 Matlab軟件對電偶極子電場進行數值模擬，以r、[θ]為變量，對其電場進行分析并得出以下結論：當[θ]相同時，電場強度E隨著r的增大而減??；當r相同時，電場強度E隨著[θ]的變化存在一極小值（[θ=π2]）。特別是電偶極子中垂線上的電場最弱，而延長線的電場最強。這些結論將電偶極子的數值模擬作可視化展示，對研究電偶極子電場的分布情況以及教學中突破傳統理論教學模式有很好的借鑒作用。

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