教材解讀：課程意義、實踐路徑與育人價值

【摘 要】 基于“雙新”背景，以“基本不等式”為例，從課程意義、教學實踐、育人價值等方面，按照“內容要求”“教學提示”“學業要求”和“例題、習題資源”維度對教材進行解讀，對其設計與教學進行對比分析、理性考證，“用對、用活、用深”教材，進而提出自己的教學主張，為有效教學作指引.

【關鍵詞】 教材解讀；基本不等式；課程意義；實踐路徑；育人價值

教材是學科教學內容的重要載體，“教材解讀”是最基本的教學準備工作，也是教師的一項教學基本功和核心的專業能力.教師在進行課堂教學之前首先要解讀教材，弄清楚教材內容的來龍去脈、應用情境、問題策略及隱含內核等，抓住教材內容的要領，把握教材內容的精髓，進而以此為基礎進行設計及教學，促進學生學科核心素養的培養.培養學生的學科核心素養是教材解讀的起始點，同時也是教學落腳點.教師只有關注知識發生發展邏輯與學生認知發展邏輯之間的協調關系，以發展學生的核心素養為導向來解讀教材，才能使自身的教學設計及教學最終能促進學生核心素養的發展，實現課程、單元與課時教學目標.

近期，筆者接受蕪湖市教育科學研究所中學數學教研室的邀請，在“蕪湖市高中數學教師‘教材解讀及教學設計能力提升活動”中進行了一場講座.開設本講座目的就是想以“基本不等式”為例，闡述如何依據《課程標準》［1］，結合《教師教學用書》［2］，對教材進行合理通透的解讀，對教學素材進行既恰當又有意義的解構與重構，做到“用對、用活、用深”教材，在此基礎上進行有效設計，并提出自己的教學理解及主張.

1 基本不等式的課程意義

普通高中數學必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動.

“主題（一）預備知識”課程目標是：以義務教育階段數學課程內容為載體，結合集合、常用邏輯用語、相等關系與不等關系、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內容的學習，為高中數學課程做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備，幫助學生完成初高中數學學習的過渡.“基本不等式”是預備知識第二章第2節的內容［3］，它是一種數學模型.通過把實際問題中的數量關系轉化為數學模型，通過求得數學模型的解來使實際問題獲得解決，以此進一步發展學生的模型思想，為用數學模型解決更復雜的問題打下基礎.

1.1 基本不等式 “內容要求”“教學提示”“學業要求”

內容要求：掌握基本不等式ab≤a+b/2（a，b≥0）.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.

教學提示：在相等關系與不等關系的教學中，應引導學生通過類比學過的等式與不等式的性質，進一步探索等式與不等式的共性與差異.幫助學生完成從初中到高中數學學習的過渡.（對“基本不等式”沒有具體的教學提示）

學業要求：掌握不等式的性質，提升邏輯推理和數學運算素養.（對“基本不等式”沒有提出具體的學業要求，筆者理解基本不等式也是以不等式性質拓展及運用的身份出現的）

1.2 教科書“例題、習題資源”相關分析及教學建議

教科書在“基本不等式”文本中設置了4道例題、9道練習題，分兩個層次編排.第一層次是基本應用，第二層次是運用基本不等式解決實際問題.習題共有8道，分“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個板塊，其中通過簡單變形“湊正數”“湊定值”的題目有3道，提高學生應用模型意識，培養學生的數學建模素養；解決實際問題的有4道題，是直接應用基本不等式解決最大值或最小值問題，提升學生的數學抽象、數學建模核心素養.

“基本不等式”在高一數學起始階段教學中，要準確把握好新課程、新教材對其定位.首先，相等關系和不相等關系是數學學科中最基本的關系，是構建方程、不等式的基礎，也是構成數學中其他關系的基礎，而“基本不等式”是典型的數量不相等關系，所以它是初、高中數學的銜接內容；其次，“基本不等式”是一種數學模型，用之可以解決特定結構的最大值或最小值問題.當然，基本不等式還有其他的意蘊和價值.因而教學中，要立足于教科書的習題資源組織教學，不宜深挖和拓展，對一些教輔資料（包括配套的安徽版練習冊）上的習題進行取舍，摒棄技巧性強的問題，夯實運用的基礎，引導學生體會“基本不等式”的基礎性、經典性與發展性，構建數學中不相等關系的世界.

2 基本不等式教學實踐

“基本不等式”教學是各級、各類展示課、匯報課、考評課的熱門課題，對其研究從未停止，專業期刊上發表了諸多的學術論文，精選其中的5篇.

［1］《數學教育學報》2015年12月第24卷第6期：大學教師與中學教師關于《基本不等式》的“同課異構”評析.主要研究成果：大學老師和中學老師都非常注重教學過程的啟發誘導，但是他們的啟發方式卻明顯不同，反映大學老師與中學老師不同的教學理念.

［2］《中國數學教育》2021年第5期下半月（高中版）：促進學生認知發展的教材開發與重構.主要研究成果：基于學生的認知起點、認知規律、認知方式與知識經驗，對教材進行開發與重構，真正發揮教材的教育教學價值，促進學生對知識本質的理解.

［3］《數學通報》2022年第6期：HPM視角下“基本不等式”的教學.主要研究成果：以HPM視角設計基本不等式教學課，采用借鑒歷史、重構歷史的方式，呈現基本不等式的發現、證明、應用等過程，揭示知識之諧，展現方法之美，引發情感之悅.

［4］《福建基礎教育研究》2023年第2期：基于多元表征的數學教學設計——以“基本不等式”教學為例.主要研究成果：“基本不等式”具有豐富的表征形式.教學中要充分利用基本不等式的多元表征，引導學生在不同的表征中建立聯系，能夠加深學生對基本不等式的理解，提高學生靈活解決數學問題的能力.

［5］《高中數學教與學》2023年第7期：整合教材資源 優化教學設計——以“基本不等式”（第一課時）教學為例.主要研究成果：整合不同版本教材，實現資源互補；整合初高中教材，體現自然銜接；整合教材文本內容，凸顯邏輯貫通.

文獻［1］—［5］都是從單元教學視角，多是將基本不等式放置于解決函數相關問題、證明不等式的環境當中，將其作為解決問題的一種工具、一項技能來研究基本不等式的情境引入、生成探究、基本應用以及變形拓展的.

基于“新課程”“新教材”背景，從“預備知識”的課時而非單元設計的視角出發，落實有效實施初、高中學段銜接的課程目標，融入學生已有的知識經驗，嵌入學生對基本不等式簡潔、優美結構的欣賞，對“基本不等式”的教學設計及實施做出與時俱進的創新思考.

2.1 準確把握教學目標

理解基本不等式ab≤a+b/2（a，b≥0），發展邏輯推理素養.結合具體問題，明確基本不等式的使用條件和注意事項；用基本不等式模型識別和理解實際問題，能用基本不等式求最大值或最小值.在解決具體問題的過程中，體會基本不等式的作用，提高學生對模型思想的運用意識，提升邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養.

準確把握“基本不等式”的教學目標，需要落實兩點：（1）作為“相等關系和不相等關系”的總結和應用，體現知識銜接；（2）作為模型思想的運用和發展，體現技能銜接.通過知識與技能等維度的銜接，設置高中數學學習的“適應期”，在初、高中數學之間架起橋梁.

2.2 有效實施學段銜接

為了有效實施學段銜接，基本不等式的教學設計及實施需要特別關注兩個環節.一是如何引入基本不等式，二是基本不等式的應用深度.

基本不等式的打開方式有多種.代數視角引入：x∈R，x2≥0；幾何視角引入：趙爽弦圖或帕斯卡半圓圖；綜合實踐視角引入：用不等臂天平稱量物體的質量.究竟用哪一種方式打開基本不等式，就要看學生的已有知識經驗的儲備，要看教師的教學立意與教學主張.從《課程標準》主題（一）預備知識的課程目標來看，從代數視角引入是一種好的方式，強調學段銜接.但是，從跨學科綜合的視角出發，以“用不等臂天平稱量物體的質量”引入，也是一種好的打開方式，蘇教版高中數學教材即是如此.

基本不等式的應用主要是體現模型思想.初中數學學習，學生已經積累了一些數學模型，如：方程、函數、不等式等，作為模型思想的學段銜接與發展，又是作為經典不等式所折射出的數學精神與數學文化，在“預備知識”的教學中，要把握其應用的深度.解決簡單的特定結構的最大值或最小值問題，只做簡單的拓展應用，不能引申到高考的選拔要求.

2.3 合理挖掘教材資源

教材是教師教學和學生學習的基本素材，更是物化《課程標準》、落實教學目標的重要載體，教師要認真研習、深刻理解和把握.以課本的例題和習題為母題，通過簡單的“配湊”，運用基本不等式解決相關問題.在問題解決的過程中讓學生體會“一正二定三相等”的涵義與要求，而不是把這個原則當作“口訣”硬塞給學生.在問題解決過程中培養學生思維的深刻性和靈活性，防止學生由于機械套用基本不等式，導致思維固化定勢，不利于學生數學核心素養的發展，與“預備知識”的課程目標相悖.如“已知－1≤x≤1，求1－x2的最大值”“求x（10－x）的最大值”的教學，學生首先想到的應該是利用二次函數來解決問題，而不是利用基本不等式，教師要借之培養學生解題思維的發散性，使學生自覺認識到借助基本不等式解決問題的簡潔性，從而培養學生的模型思想，發展邏輯推理和數學運算等核心素養.

根據學情，有針對性地設計一些既能反映基本不等式的結構特征，又能體現其典型運用的多項選擇題或結構不良題，以此提高學生對基本不等式的深刻理解、準確把握和靈活應用.至于“a2+b2/2，ab，a+b/2，1/a+1/b”之間關系的擴展版不等式鏈構建，結合學情可以作為不相等關系的拓展，在全章復習或單元整合教學中，以“數學探究活動”的形式實施.

2.4 適時開啟數學欣賞

《課程標準》修訂組組長史寧中教授指出：學習數學最重要的，一個是要有興趣，因為興趣是學習最根本的動力；還有一個是學習數學要會思考，尤其是理性思維.要對數學產生興趣和情感，不懼怕數學，首先要引導學生學會數學欣賞，欣賞自己的學習成果.通過適時開啟數學欣賞，發現和感悟數學的簡潔美和形式美等，親近數學、理解數學、享受數學.通過數學欣賞，讓學生對自己和他人的學習行為進行自我觀察、自我調節，對學習成果進行自我檢查、自我評價.

數學美是具象與抽象相結合的美，是有序思維與對稱思維相結合的美.“繽紛的方法和過程”不是數學追尋的目標，“至善最簡”才是數學的真諦.利用基本不等式開啟數學欣賞的方式有：（1）和積互化，欣賞形式美.基本不等式不僅實現了和積互化，體現放縮思想，而且蘊含不等式與等式的融合，取等條件實質上就是不等式的極致；（2）數形結合，欣賞智慧美.通過數形結合的打開方式，欣賞數學推理的智慧美，學會數學地思考問題，多視角理解基本不等式；（3）動靜搭配，欣賞和諧美.運動與靜止是辯證統一和諧相處的.“運動觀”與“靜止觀”實際上既是人們認識客觀世界的方法論，又是追求的價值觀.通過如此行為，加深學生對基本不等式的本質把握，體驗數學知識的美妙，激發學生學習數學的興趣；（4）珠聯璧合，欣賞經典美.中西合璧妙，生長是本質.勾股定理（畢達哥拉斯定理）、基本不等式、柯西不等式及排序不等式等，人們稱之為經典不等式，它們都可以由中國古代文化圖騰“趙爽弦圖”推出.東西方數學文化交相輝映，有力推動數學向前發展.

3 基本不等式育人價值（思想方法以及哲學啟示）

教育的本質不是教書，而是育人.結合學科教學，對學生進行正確的情感、態度與價值觀教育，實施“課程思政”，是新時代意識形態領域對數學教育教學的必然要求.深入挖掘基本不等式的育人價值，“看見不可見，讓數學教育更加平易近人”是當代素養課堂的永恒價值追求，也是數學教育的重要研究課題.

“概念”沒有緣起，就漂成浮萍；“知識”沒有探究，就淪為技能.探究基本不等式的思想方法有：比較法（分析法或綜合法）、換元法，數形結合、轉化與化歸、模型思想.

通過基本不等式探究及應用，培養和發展學生的邏輯推理、數學運算、數學建模等數學核心素養.其中，邏輯推理素養是一條主線.培養學生觀察、猜想、推理等能力，特別是要提高學生代數證明能力，發展學生基于代數的邏輯推理能力.會用數學眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界［4］.

基本不等式體現的哲學原理有：客觀世界是普遍聯系的；矛盾的兩個方面雖然是對立的，但在一定的條件下又能相互統一；事物有多元表征，它們都指向對象的本質屬性.

基本不等式蘊含的生活哲理是：在一個團體內部，利益分配的差距不宜過大；個人處世之道，以中庸為上；凡事不可走極端.

教科書是《課程標準》的代言.準確深入地解讀教材是教師的第一基本功，也是提高教育教學質量、提升學生學科核心素養以及促進教師專業成長重要的、關鍵性保障.學校教研組要舉行專門的校本教研活動，開展有針對性的主題研修，提高教師依循《課程標準》、根據教學目標和學情來解構與重構教材的實踐能力.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：16-18.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著.普通高中教科書教師教學用書·數學A版（必修第一冊）［M］.北京：人民教育出版社，2019：65-68.

［3］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著.普通高中教科書·數學A版（必修第一冊）［M］.北京：人民教育出版社，2019：44-49.

［4］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：人民教育出版社，2022：62.

作者簡介 胡浩（1968—），男，正高級教師，安徽省高中數學特級教師，中國數學會會員，“長三角教研聯盟”教學專家;主要從事中學數學課程教材、課堂教學和解題教學研究；發表論文數十篇，多篇被中國人民大學報刊復印資料《高中數學教與學》全文轉載．