【摘 要】 對2023年全國新高考數學Ⅱ卷第21題進行了探討,分析試題的解法,推廣得到更一般的結論,探尋試題的命制背景.
【關鍵詞】 高考題;解法探究;溯源;非對稱;推廣
高考試題具有很好的引領與指導作用,吸引著眾多教師學習、探秘、改編.下面是對2023年全國新高考數學Ⅱ卷第21題的一點思考,供大家參考.
1 真題呈現
2023年全國新高考Ⅱ卷第21題如下:
已知雙曲線C的中心為坐標原點,左焦點為(-25,0),離心率為5.
(1)求C的方程;
(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點B(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P,證明:點P在定直線上.
本題考查了雙曲線的標準方程,直線與雙曲線的位置關系,意在考查學生數形結合的數學思想和運算求解能力,對考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求,試題解法多樣,內涵豐富,突出選拔功能,是一道非常好的高考壓軸題.
結論11 如圖4,已知橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),點M(x0,y0)是平面內一定點,過點M任作一直線交橢圓于A,B兩點,交直線l:x0x/a2+y0y/b2=1于點E,P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數列.
結論12 已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),點M(x0,y0)是平面內一定點,過點M任作一直線交雙曲線于A,B兩點,交直線l:x0x/a2-y0y/b2=1于點E,P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數列.
結論13 已知拋物線y2=2px(p>0),點M(x0,y0)是平面內一定點,過點M任作一直線交拋物線于A,B兩點,交直線l:y0y=p(x0+x)于點E,P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數列.
結論14 如圖5,已知橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),點E(x0,y0)是平面內一定點,過點E任作一直線交橢圓于A,B兩點,交直線l:x0x/a2+y0y/b2=1于點M,P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數列.
結論15 已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),點E(x0,y0)是平面內一定點,過點E任作一直線交雙曲線于A,B兩點,交直線l:x0x/a2-y0y/b2=1于點M,P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數列.
結論16 已知拋物線y2=2px(p>0),點E(x0,y0)是平面內一定點,過點E任作一直線交拋物線于A,B兩點,交直線l:y0y=p(x0+x)于點M,P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數列.
參考文獻
[1] 于新華.二次曲線中極點與極線性質的初等證法[J] .數學通訊(下半月),2020(12):40-41.
[2] 劉旭飛. 對一道模塊考試題的再探究[J]. 數學通訊(下半月),2016(05):44-47.
作者簡介 劉旭飛(1982—),男,中學高級教師,碩士,溫州市第二層次骨干教師;主要從事中學數學教學研究;發表論文10余篇.