折出60°的角

陶瓊

折紙做60°、30°、15°等特殊角是在學生學習了“三角形”“四邊形”“軸對稱”等基本概念、性質的基礎上，進一步研究圖形翻折的一次數學活動。在此之前，教材已呈現折角平分線，折紙研究軸對稱圖形特點、全等圖形性質等活動。折紙有助于學生體會研究圖形性質實際上就是揭示圖形中各幾何要素之間的關系，明確觀察、實驗、猜想、證明是幾何研究的基本活動，感悟“用合情推理發現結論，用演繹推理證明結論”這一幾何研究的基本思考方式。本節課的教學重點是用不同的方法折出60°的角并說明理由，有了60°的角，再通過對折得到30°、15°的角。

一、視頻導入，創設折紙情境

教學伊始，筆者讓學生思考不借助任何測量工具，在一張矩形紙片上折出一個正方形的方法，隨后播放演示視頻，讓學生觀察折的過程中，折出了多少度的角。學生觀看視頻后，都能發現折出了45°角。筆者順勢鼓勵學生動手折一折，大部分學生都能將矩形沿著對角線對折，很快折出45°角。筆者肯定了學生折45°角的方法，并在用幾何畫板演示折角過程后追問：如圖1所示，哪些角等于45°？你還發現了哪些度數的角？折痕AE可以看作對稱點B與B'的什么？折疊前后的兩個對應圖形有什么關系？

學生很快發現：∠BAE、∠EAD、∠AEB、∠AEB'都等于45°；計算得到∠AEC=135°；折痕AE可以看作B與B'的對稱軸；折疊前后兩個圖形全等。

45°角的折法讓學生識別出折痕的本質，意識到對折可以平分一個角。最后，筆者追問：按照同樣的方法，你還可以折出哪些角呢？有了剛才折45°角的活動經驗，學生很快通過對折折出了22.5°，11.25°等“倍分”的角，為后面折出60°角后對折得出30°、15°的角做鋪墊。

二、設置問題支架，引導動手操作

教學中，筆者設計主問題：能不能像折45°角那樣，不借助任何測量工具，僅用一張矩形紙片準確地折出60°角呢？折60°角對學生而言難度比較大，筆者通過設置問題支架，引導學生動手操作。

問題支架1：我們學過的什么圖形里有60°角呢？

在已學的特殊三角形中，學生想到等邊三角形和有30°角的直角三角形里有60°角，從而打開了思路。

問題支架2（思路一）：如何用一個矩形紙片折一個等邊三角形呢？

筆者引導學生回想剛才折45°角的過程：我們可以折出一個正方形，得到4條相等的邊。學生順勢思考如何讓正方形4條邊中任意3條“聚”在一個三角形里，進而折出等邊三角形，得到60°角。學生嘗試折紙后展示折法，筆者用多媒體演示折疊過程（如圖2）。

問題支架3（思路二）：我們將圖2中的正方形沿著折痕MN對折，觀察圖形（如圖3），此時∠PEN還等于60°嗎？PE和EN有什么數量關系？

學生回答：∠PEN仍然等于60°，PE=2EN。接著，筆者引導學生分析：∠PNE=90°和PE=2EN是因，∠PEN=60°是果，并讓學生證明。

學生根據之前學習的特殊四邊形以及直角三角形的性質等，很快證出這個推論。接著，學生嘗試折紙，小組交流合作，構造斜邊是直角邊2倍的三角形。

折法一：（如圖4）對折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN。

筆者追問：觀察折痕EF與AB的關系，你還有其他證法嗎？寫出已知、求證，并完成證明。學生寫出“已知：如圖5，在矩形ABCD中，EF垂直平分AB，△ABM與△NBM關于BM軸對稱，點N在EF上。求證：∠ABN=60°”。學生識別出折痕的本質就是對稱軸，想到EF是AB的垂直平分線，于是想到連接AN（如圖5）。

學生上講臺板書證明過程：連接AN，因為EF垂直平分AB，所以AN＝BN；又因為△ABM與△NBM關于BM軸對稱，所以AB=BN；可得AB＝BN=AN，△ABN是等邊三角形，所以∠ABN＝60°。

筆者繼續追問：剛才的折紙過程是將矩形紙片對折一次，如果對折兩次，你還可以折出60°角嗎？學生先獨立思考，設計方案，解決問題，再在小組中交流自己的折法。學生上講臺展示折法，筆者用多媒體演示折疊過程。

折法二：（如圖6）將矩形紙片對折兩次，得到三條折痕，分別為MN、EF、GH，再一次翻折，使點B落在MN上，并使折痕經過點E，從而得到∠AEB′＝60°。

筆者通過折紙活動，讓學生經歷思考、操作、觀察、猜想、驗證的活動過程，體會到轉化思想。不同折法讓學生體驗到方法的靈活性，用不同方法證明折法的過程培養了學生的創新思維。

問題支架4：同學們已經學會了折60°角，你能折出30°、15°角嗎？你還能折出其他度數的角嗎？

通過小組交流，學生認識到通過對折可以得到60°角的“倍分”角，進一步體會到對折的實質是軸對稱，可以將角平分，繼而得到“和差、倍分”的角。

三、拓展鞏固，積累數學活動經驗

為幫助學生積累數學活動經驗，筆者先讓學生歸納、梳理本節課中用矩形紙片折出了哪些特殊度數的角，如何折出60°的角，具體用到了哪些知識；再出示由易到難的三類練習題。

【基礎性練習】如圖7，把一個正方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角。要得到一個正方形，剪口與折痕應成多少度角？

【鞏固性練習】如圖8，樂樂用一張長方形紙片折紙飛機，折疊過程如圖8所示，則∠ACB的度數為 ?????? 。

【提高性練習】如圖9-1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經過點B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN。折痕BM ? （填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線。

如圖9-2，繼續折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經過點B，得到折痕BG，把紙片展平，則∠GBN＝ ?? °。

如圖9-3，折疊矩形紙片ABCD，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交BC邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平，連接AA'交ST于點O，連接AT。求證：四邊形SATA′是菱形。

基礎性練習題來自課后習題，考查折痕的實質以及正方形的判定；鞏固性練習題是學生日常生活中比較熟悉的折紙飛機，考查折疊前后兩個圖形全等的基本性質；提高性練習題是在折60°角的基礎上設計的變式練習。這三道題與本節課內容呼應，可以考查學生對本節課內容的掌握程度。

最后，筆者出示手折玫瑰花的圖片和折紙教程的二維碼，讓有興趣的學生課后參照視頻教程，嘗試折出一朵玫瑰花。

（作者單位：武漢市新洲區思源實驗學校）

責任編輯? 孫愛蓉