制導武器命中精度估計方法與檢驗方法一致性研究

劉文超，李大偉，鄭小兵，李 曦

（解放軍91550 部隊，遼寧 大連 116084）

0 引言

命中精度直接決定了制導武器的精確打擊能力，是武器試驗鑒定中重點考核的技術指標之一。命中精度技術指標通常采用圓概率誤差Cep（circle error probable）來表示，命中精度評定就是考核制導武器實際CEP 值是否滿足技術指標要求［1］。但是受政治、經濟、試驗條件等因素的影響，制導武器試驗樣本有限，一般為小子樣［2］。在小子樣條件下對命中精度指標進行評定，通常有兩種方法：一是命中精度估計方法，即在試驗結束后，對試驗樣本進行統計分析，采用參數估計方法計算出CEP 值，常用的參數估計方法有點估計［3］、區間估計［4］等；二是命中精度檢驗方法，即在試驗開始前，依據指標要求，利用假設檢驗方法預先確定合格判據，比如常見的“n 發m 中”方案［5］。兩種評定方法在較多文獻中均有應用，針對不同的考核對象，基于估計或檢驗方法，提出了與之適應的精度評定方法。文獻［6］采用命中精度估計方法，設計了命中精度評估系統，解決了空地導彈命中精度評估問題；文獻［7］采用命中檢驗方法，提出了一種概率圓檢驗方案，解決了制導武器命中精度的試驗鑒定問題。命中精度估計方法和檢驗方法在工程中有著不同程度的應用，均能較好地解決命中精度評定問題。從工程應用來看，兩種方法之間必然會存在一定的關聯性，而從理論基礎來看，兩種方法也存在固有的差異。目前，兩種評定方法往往獨立開展用于命中精度評定工作，很少對兩種評定方法之間的聯系和區別開展比對研究，一定程度上限制了命中精度評定方法的合理選擇和優化設計。為此，本文在對小樣本條件下命中精度估計方法和檢驗方法進行分析的基礎上，從雙方風險一致性層面對兩種評定方法的一致性進行系統研究，以發現兩種評定方法內在的聯系與區別，為命中精度評定方案的合理選擇和優化設計提供理論依據。

1 命中精度指標評定分析

1.1 命中精度CEP 指標

命中精度的指標通常采用圓概率誤差CEP 描述，具體定義：以目標點為圓心，落點分布概率為50%的圓域對應的半徑。CEP 受系統誤差和隨機誤差的綜合影響，反映了落點相對目標點的的總體偏離程度［8］。

CEP 可以用概率密度函數來表示，即以目標點為原點建立二維平面直角坐標系，假設落點縱向偏差X 和橫向偏差Z 服從二維正態分布，則CEP 滿足如下圓概率誤差一般方程。

式中，μX、μZ分別為縱、橫向偏差的均值；σX、σZ分別為縱、橫向偏差的標準差；ρ 為縱、橫向偏差相關系數；RCEP為圓概率誤差CEP 值。

式（1）為考慮縱、橫向偏差相關情況下的圓概率誤差一般方程。為簡化計算，通常將其轉換為縱、橫向偏差獨立情況下的圓概率誤差方程［9］，具體變換方法如下。

經過上述變化，式（1）可變換為

1.2 CEP 指標評定方法

制導武器命中精度評定是指對各類試驗的結果進行分析處理，以此來評價命中精度水平是否滿足指標要求。由于試驗子樣通常為小子樣，會影響評定結論的準確性，因此，給使用方和研制方均帶來風險，即存在命中精度實際性能滿足要求而評定結論不合格的研制方風險，和命中精度實際性能不滿足要求而評定結論合格的使用方風險。目前，命中精度評定方法主要思路分為兩類。

1）命中精度估計方法。試驗結束后根據試驗樣本數據，按照命中精度CEP 的數學定義進行評估計算，得出制導武器的CEP 估計值，將估計值與指標要求進行比較，給出評定結論。該方法的優點是能夠給出命中精度具體數值，缺點是對試驗子樣數有一定要求，且在試驗過程中如果提前出現精度較差的情況，無法提前終止試驗，造成試驗資源浪費。

2）命中精度檢驗方法。試驗開始前利用假設檢驗的思想確定“n 發m 中”方案設計，試驗過程中當結果滿足方案要求時，終止試驗。該方法的優點是可節省試驗樣本數量，缺點是無法給出命中精度具體數值。

2 命中精度估計方法分析

命中精度估計方法依據的是數理統計參數估計理論，可分為點估計和區間估計方法。點估計通常采用代入型點估計方法，考慮到實際評定時更關注命中精度上界是否滿足指標要求，區間估計可采用參數自助法進行區間上界估計。

2.1 估計方法

2.1.1 代入型點估計法

根據落點樣本（X1，X1），（X2，X2），…，（Xn，Xn）經異常值檢測、正態性檢驗后，可計算出樣本的均值、標準差和相關系數的估計值為

將上述估計值代入式（2）和式（3）替換μX、μZ、σX、σZ和ρ，通過數值積分方法［10］可求得圓概率誤差的點估計值。

2.1.2 區間上界估計參數自助法

參數自助法是利用已知小樣本數據統計特性進行再抽樣，利用生成的再生樣本進行統計分析［11-12］。具體步驟如下：

2）對每一組樣本分別采用代入型點估計方法進行估計，獲得M 個圓概率誤差估計值，并從小到大進行排列得到序列；

經點估計和區間上界估計，當估計值均滿足精度指標要求時，評估結論為合格。

2.2 小子樣條件對命中精度估計方法的影響分析

考慮到制導武器試驗子樣數量較小，受隨機性的影響，采用命中精度估計方法會影響評定結論的可信度，對研制方和使用方均產生風險［13］。因此，基于命中精度估計方法研究樣本數量對命中精度評定的影響，即通過蒙特卡洛仿真方法研究樣本數量對研制方風險和使用方風險的影響情況。設置仿真條件如下：假設命中精度指標CEP 為10 m；橫向、縱向落點偏差均值均為0，標準差相等；實際精度CEP 在8～12 m 之間變化；試驗樣本數量在7 到500之間變化；置信水平為0.80；每種情況仿真次數為10 000 次。估計方法的研制方風險α1和使用方風險β1可表示為

基于上述仿真條件分別采用點估計和區間上界估計法，可得研制方風險和使用方風險變化情況，如表1 和表2 所示。

表1 點估計方法雙方風險隨樣本數量的變化Table 1 Variation of risk for point estimation with sample number

表2 區間上界估計方法雙方風險隨樣本數量的變化Table 2 Variation of risk for upper confidence bound estimation with sample numbe

從表1 和表2 可以看出，在武器性能一定的條件下，隨著樣本數量的增加，研制方風險和使用方風險均會減??；在樣本數量一定的條件下，武器命中精度滿足指標要求且水平越高，研制方風險越??；相反，武器命中精度不滿足指標要求且水平越低，使用方風險越小。通過增加樣本數量和提高武器自身精度性能水平, 可有效提升命中精度評定的準確性，降低因樣本隨機性產生的雙方風險。特別的，當命中精度水平與技術指標相等時，如果采用點估計方法，研制方風險和使用方風險基本相當，均為50%左右，雙方共同承擔試驗風險。如果采用區間上界估計法，研制方風險為80%左右，使用方風險則為20%左右，滿足仿真設計條件，區間上限估計法對使用方更有利。一般情況下，命中精度指標由使用方提出需求，在試驗子樣受限的情況下，為了更好地滿足制導武器使用要求，通常采用區間上界估計方法進行命中精度評定。

3 命中精度檢驗方法分析

在小子樣條件下，可以利用數理統計假設檢驗理論，進行“n 發m 中”命中精度檢驗方案設計，實際試驗時滿足檢驗方案即可停止試驗。

3.1 檢驗方法

檢驗方法采用如下的統計假設［14］：

式中，H0為原假設，H1為備擇假設，λ 為檢出比（一般取1.2～2），需要根據制導武器的成熟水平由研制方和使用方共同確定。

設n 為總子樣數，m 為落入以R 為半徑的圓域內的落點個數，則有

式中，P0為滿足原假設落入半徑為R 的圓中的概率；P1為滿足備擇假設的落入半徑為R 的圓中的概率。

假設落點個數檢驗門限m*，則研制方和使用方風險分別為

在明確總子樣數n 和命中子樣數檢驗門限m*基礎上，通過調整檢出比λ 和圓域半徑R 進行檢驗方案設計，使得使用方和研制方風險相當，生成命中精度檢驗方案［15-17］：當m≥m*時，接受原假設，命中精度滿足指標要求；否則命中精度不滿足指標要求。

3.2 假設檢驗與命中精度指標關系的討論

由于命中精度指標通常以具體數值的形式給出，并未明確對應于式（6）假設檢驗中的原假設還是備擇假設，因此，命中精度指標值是CEP0還是CEP1需要予以明確。

針對上述問題開展具體分析：假設試驗樣本數為7，命中精度指標CEP 為10 m，檢出比λ 為1.5，分命中精度指標為原假設和備擇假設兩種情況進行檢驗方案設計。按照雙方風險相等的原則，得到兩種情況下命中精度檢驗方案，如表3 和表4 所示。

表3 精度指標為原假設的檢驗方案Table 3 Test scheme of accuracy index equal to original hypothesis

表4 精度指標為備擇假設的檢驗方案Table 4 Test scheme of accuracy index equal to alternative hypothesis

從表3 和表4 可以看出，對比兩種情況下的檢驗方案，在同一命中子樣數條件下，雖然雙方風險基本相同，但命中域半徑差別很大，顯然兩種方案用于精度評定，必然會導致較大差別的評定結論。

對兩種情況下評定方案的適應性進行研究。采用蒙特卡洛仿真進行精度評定模擬，分別采用兩種檢驗方案以及點估計、區間上界兩種估計方法進行精度評定。設置仿真條件：命中精度指標CEP 為10 m，實際精度CEP 分別取6 ～13 m，每次抽檢樣本數為7，仿真次數為10 000 次，檢驗方案采用“7 發5中”方案，區間上界估計置信水平為0.8，可得不同精度評定方法的評定結果如下頁表5 所示。

表5 4 種命中精度評定方法模擬仿真結果Table 5 Simulation of four hit accuracy evaluation methods

從表5 可以看出，從研制方風險角度來看，精度指標為備擇假設的檢驗方案和區間上界估計研制方風險大致相當且最大，點估計法次之，精度指標為原假設的檢驗方案研制方風險最??；從使用方角度來看，精度指標為原假設的檢驗方案使用方風險最大，點估計法次之，精度指標為備擇假設的檢驗方案和區間上界估計使用方風險大致相當且最小。因此，考慮命中精度估計方法通常采用區間上界估計方法，從雙方風險的一致性層面分析，檢驗方法應當選擇精度指標為備擇假設的檢驗方案。

4 估計方法和檢驗方法的一致性分析

經研究，命中精度估計方法采用區間上界估計方法，與精度指標為備擇假設的檢驗方案在精度合格概率上具有較強的一致性，體現了兩種方法在雙方風險上的一致性。在制導武器性能一定和試驗總樣本數量確定的基礎上，影響雙方風險大小的因素為：

1）區間上界估計方法中使用方和研制方風險主要受置信水平設置的影響。而置信水平受制導武器研制成熟水平的影響，由使用方和研制方共同確認。在命中精度CEP 指標為10 m、試驗子樣為7、實際精度CEP 在6 ～13 m 之間變化條件下，不同置信水平（0.70～0.95）的雙方風險如表6 所示。

表6 不同置信水平下區間上界估計方法風險Table 6 Risk of upper confidence bound estimation under different confidence levels

2）精度指標為備擇假設的檢驗方法中使用方和研制方風險主要受檢出比λ 設置的影響。同樣，檢出比受制導武器研制成熟水平的影響，由使用方和研制方共同確認。在命中精度CEP 指標為10 m、試驗子樣為7 條件下，不同檢出比（1.3～1.8）的“7 發5 中”方案如表7 所示?；谠O計方案，可得不同檢出比、實際精度CEP 在8～13 m 之間變化條件下的雙方風險如表8 所示。

表7 不同檢出比“7 發5 中”檢驗方案Table 7 Five out of seven schemes under different detection ratios

表8 不同檢出比下檢驗方法風險Table 8 Risk of test scheme under different detection ratios

從表6 可以看出，在各實際精度CEP 情況下，區間上界估計方法的雙方風險均隨置信水平1-α的變化而變化。從表7 和表8 可以看出，在各實際精度CEP 情況下，檢驗方法的雙方風險均隨檢出比λ 的變化而變化。因此，在制導武器性能一定和試驗總樣本數量確定的前提下，兩種方法雙方風險的控制體現在反映研制水平的參數設置上，可通過調整置信水平1-α 和檢出比λ，使得兩種評定方法達到控制雙方風險上的一致性。

下面結合數學仿真通過調整參數驗證兩種方法的一致性。在命中精度CEP 指標為10 m、試驗子樣為7、實際精度CEP 在8 ～13 m 之間變化條件下，固定置信水平為0.8，通過調整檢出比使得估計方法和檢驗方法雙方風險一致，結果如表9 所示。

表9 滿足評定方法一致性下置信水平和檢出比參數Table 9 Confidence level and detection ratio under conformity of assessment methods

從表9 可以看出，當制導武器實際性能一定時，可以通過調整置信水平和檢出比，使得兩種評定方法雙方風險一致；當固定置信水平時，隨著制導武器實際精度變化時，需要調整檢出比才能實現兩種方法雙方風險一致；同樣也可得出，當固定檢出比時，隨著制導武器實際精度變化時，需要調整置信水平才能實現兩種方法雙方風險的一致。因此，置信水平和檢出比參數的對應關系可為命中精度評定方法的設計提供依據。

在兩種評定方法滿足雙方風險一致性條件下采用蒙特卡洛仿真進行精度評定模擬仿真。在命中精度CEP 指標為10 m、試驗子樣為7、實際精度CEP 在6 ～13 m 之間變化條件下，置信水平和檢出比滿足一致性設置條件，仿真次數為10 000 次，可得精度評定結果如表10 所示。

表10 滿足評定方法一致性下精度評定模擬仿真Table 10 Simulation of hit accuracy evaluation under conformity of assessment methods

從表10 可以看出，在置信水平和檢出比滿足一致性設置條件基礎上，兩種評定方法命中精度合格次數基本相當，反映了兩種方法在雙方風險層面上的一致性。因此，進行命中精度評定時，在研制方和使用方依據風險共同確定某一參數的基礎上，根據武器性能先驗信息或者命中精度指標，通過上述仿真分析方法，可以得出另一個參數的合理設置值或范圍。特別的，對已經過精度評估的制導武器進行批次檢驗時，可以根據之前的評估結果，通過上述仿真分析方法得出合理檢出比，用于制導武器的批次檢驗結果評定。

由于兩種評定方法分別基于參數估計和假設檢驗的不同理論基礎，對于相同試驗結果進行精度評定會存在評定結論不一致的現象，不一致的概率與制導武器實際研制水平有關。因此，兩種評定方法不能同時使用于命中精度評定，以避免出現結論不一致的問題，進行試驗之前需結合兩種評定方法的優缺點和試驗設計需求選擇確定評定方法。

5 結論

以制導武器命中精度估計方法和檢驗方法為研究對象，在詳細分析小子樣條件對估計方法影響，以及命中精度指標與檢驗方法關系基礎上，明確了區間上界估計方法和精度指標為備擇假設的檢驗方法兩種典型應用方法，通過合理調整置信水平和檢出比參數，可以實現兩種方法雙方風險的一致性，同時由于兩種方法理論基礎不同，進行精度評定會存在一定概率結論不一致的現象。該研究可為命中精度評定方法的合理選擇和優化設計提供依據。