正確理解矢量，促進深度學習

馬睿 隴顯群 彭朝陽

摘? ?要：中學物理教學中對于矢量的教學遵循由表及里、由特性到本質再到運用的教學邏輯。明辨矢量的性質和定義，找出矢量教學中學生容易走入的思維誤區，能幫助學生更好地建立矢量觀。厘清矢量作為處理物理問題的數學工具這一本質，能幫助教師高屋建瓴，更好地設計和開展促進學生深度學習的教學。

關鍵詞：矢量；標量；向量；映射；進階

在當前的物理教學中廣泛存在著這樣一個問題：大量中學生不能準確判斷某些物理量究竟是標量還是矢量，學生甚至是部分教師都忽視了矢量的確切定義。在教學實踐研究中發現：部分授課教師不能準確分析和把握學生走入思維誤區的原因，有效地避免學生反復走入類似的思維誤區，提升學生的科學思維能力[ 1 ]。本文從矢量的本體論出發，幫助師生更好地認識矢量、理解矢量。同時，本文也從教材研究的角度，分析教材中的矢量教學邏輯，提出教學建議，幫助教師更好地開展矢量教學。

1? 什么是真正的矢量

1.1? 矢量的性質和定義

普通高中物理教科書中首次提及矢量，是在必修第一冊第一章——運動的描述，但對于矢量的定義出現在“相互作用——力”這一章節中。在必修第一冊第一章——運動的描述中提及：“在物理學中，像位移這樣的物理量叫做矢量，它既有大小又有方向?！比欢?，對于此處的不當理解使教師和學生產生了：既有大小又有方向的物理量就是矢量的錯誤認識。實際上，對于此處的理解應為：位移是矢量，同時具有大小和方向，是矢量的一個特性而不是定義。對于矢量的定義出現在“相互作用——力”這一章節的教學內容中。本章對矢量做了如下定義：既有大小又有方向，相加時遵從平行四邊形定則的物理量叫作矢量?；诖硕x不難得出判斷一個物理量若是矢量，其必須同時滿足既有大小又有方向、相加時遵從平行四邊形定則兩個條件缺一不可。 在實際教學中發現學生容易走入以下兩個常見的誤區。

誤區一：忽視矢量相加時需滿足平行四邊形定則

在中學物理教學中，有一些物理量同時具有大小和“非矢量”的方向意味，但其運算時不遵循平行四邊形法則，只遵循簡單的算數運算法則。在中學物理教學中，有兩個這樣的物理量：電流強度和磁通量。電流強度作為既有大小又有方向的物理量，其相加時遵循的是基爾霍夫電流定律，而不是平行四邊形定則，因此電流強度是標量而不是失量。又例如，磁通量也是既包含大小又包含方向的物理量，對其進行運算時，選擇一個與磁感線相垂直的平面，人為規定磁感線沿平面一側穿過的為正值，那磁感線沿平面另一側穿過面的為負值，其相加時也只遵循簡單的代數運算法則，因此磁通量也只是標量。

誤區二：誤認為凡是“正、負”號都表示方向

在中學物理教學過程中還存在這樣一些物理量，它們沒有方向，也不遵循平行四邊形的相加原則。但由于物理學中使用正、負號表征了其某方面的特性，所以也有一部分學生會對其標矢特性產生質疑。例如勢能，當我們選定了零勢能面之后，某一位置處勢能的正、負就由其相對位置所確定，其正、負不具備方向的含義。中學物理中還存在許多這樣的物理量，它們的“正、負”與方向無關。見表1所示。

在教學中，如果只通過簡單機械的記憶讓學生強化這些概念特性的教學過程，不是有意義的知識建構過程，只有明了學生走入思維誤區的原因，才能援疑質理幫助學生建立正確的知識結構。根據學生的知識結構建構過程，不難分析出學生容易走入此思維誤區的原因往往在于：當學生剛開始使用矢量工具處理運動學問題時面對的問題往往都是一維問題，或者是將多維的問題轉化為一維的問題。而一維的問題只包含了兩個方向，因此在處理一維問題時，只需要“正、負”兩個表示相反的符號，就可以覆蓋一維運動有關的所有方向問題。因此在此后的問題研究過程中當研究的問題只涉及到兩個方向時，可以用“正、負”兩個方向來簡化問題的研究，但這并不代表在物理學中，所有的正、負都具備方向的含義?！罢?、負”號作為兩個普通的數學符號本身并不具備確定的物理意義，其物理意義是根據解決實際問題的需要賦予的，將其使用在不同的范圍時，其物理意義是不同的。不能理解為在物理學凡是出現正、負號的物理量，都是在表示方向。

1.2? 從物理學與數學的角度理解矢量

作為一名合格的中學物理教師，對于矢量的理解不能僅僅停留在矢量的性質和定義上，對于矢量的本質及其跨學科聯系上也應當有一定深度的理解。普通高中物理課程標準指出：觀察實驗、抽象思維與數學方法相結合，是物理科學探究的基本方法。在面對物理問題情境時，解決問題的過程可以分為兩個領域：一個是真實面對的物理問題領域，另一個是抽象的數學領域。使用數學工具來處理物理問題，能使解決問題的過程更具備邏輯上的簡潔性和嚴密性。在現實中辨識出物理現象或過程的某些特征或關系之后，就要尋找一種合適的數學形式來表征它們，在物理學中抽象矢量來解決問題也是如此。

1.2.1? 標量、矢量、張量的數學解釋

在數學上，僅用一個數就可以描述的量稱為數量（物理學中常稱向量為矢量，數量為標量），用一維的“表格”描述的量稱為向量；兩個矢量之間不做任何運算，相并列稱之為并矢或二階張量。張量是向量的推廣，所以通常稱標量為零階張量，稱矢量為一階張量，稱n個并矢為n階張量[ 2 ]。向量是一個集“幾何”與“代數”于一身的數學模型。使用代數或者幾何的方式表示向量決定了會使用不同的方式處理問題。當使用代數方法表示向量時，線性代數就是解決問題的最佳手段。當使用幾何方式表示向量時，使用平行四邊形定則或三角形定則解決問題則更為方便。

1.2.2? 矢量的內涵和本質

矢量來源于研究實際問題的過程中對位移、力、動量等物理量的研究，是對這些物理量本質屬性的抽象概括。將這些物理量的矢量特性抽象為數學模型之后，就可以用數學方法進行演繹推理。以“力的合成和分解”為例，用合力和分力相互進行等效替代的過程，也就是矢量的合成與分解過程。也就是說力學系統中的“等效替代”關系與數學系統中的“矢量合成”關系是一種映射關系[ 3 ]，如圖1所示。

將合力和分力的矢量特性抽離出來，用有向線段加以表征，則它們也應當遵循數學中的向量運算法則?？梢詮膶嶒炆献C明這個映射關系，并賦予這個過程物理意義（也就是教材中探究兩個互稱角度的力的合成規律的實驗），也可以直接借用數學方法完成邏輯證明。

值得注意的是，將物理量抽象為矢量模型的過程，實際上已經忽略了物理量本身的部分性質。例如，將“力”抽象為矢量開始研究后，力的三要素中“力的作用點”這一要素就已經被忽略。因為在研究實際問題的過程中力的作用點應當是確定的，但矢量卻是可以進行平移的。也就是說：矢量是一個較之力更為寬泛的概念，能說力是矢量，但不能說矢量是力。借用數學圖像可以將其表示為圖2。

因此，可以對矢量形成這樣的認識：矢量是處理物理問題的數學模型，它只包含了原先物理量的部分性質，但更便于開展科學研究。

2? 教材中的矢量進階教學和教學實施建議

2.1? 矢量的教學進階

教材是中學物理教學中最為重要的教學資源，普通高中物理教材中對矢量教學任務的安排遵循由淺入深、層層深入的進階模式。根據對中學物理教材的分析整理，教材中對矢量概念的進階過程中有以下幾個重要階段[ 4 ]，見表2。

由此可見，矢量概念幾乎覆蓋了中學物理教與學的全階段和各領域。教材總體上采用了“循序漸進、融合滲透”的方法，逐步完成了矢量的教學?；诮滩牡氖噶窟M階教學邏輯，提出以下的教學建議供各位教師參考借鑒。

2.2? 基于矢量進階教學的教學實施建議

（1）尊重學生的身心發展規律，循序漸進地開展教學。

在矢量教學中，尊重學生的身心發展規律主要是指要遵循學生的認知發展規律，由直觀到抽象、由特性的本質開展教學。切勿追求速度盲目灌輸，忽視學生感受矢量、凝練矢量觀念的過程。

（2）構建跨學科聯系，促進知識技能的運用。

矢量作為處理物理問題的數學工具，對其的理解和使用滲透在物理和數學兩門學科中。在高中物理教學內容安排中，關于矢量的教學內容安排大量出現在必修第一冊，而在數學上對向量的教學出現在必修第二冊。因此物理教師不應當只著眼于本學科，應主動研究高中數學的相關內容，促進物理教學和數學教學的滲透促進。

（3）主動進行標矢量對比歸納教學，明辨兩者的區別。

對比學習是明辨對象差異，強化記憶理解的有效手段。通過對矢量和標量的定義和性質進行對比教學，能幫助學生快速厘清標量和矢量的異同。對于極個別容易混淆的物理量，由教師帶領學生進行比較歸納，分析學生走入思維誤區的原因，避免盲目機械地強化記憶。

（4）反復強化，形成科學的矢量觀。

在涉及到矢量問題的分析求解時，多使用矢量的幾何表示。矢量的幾何表示更加清晰直觀，矢量的特性和定義更加突出。尤其是像位移、線速度、動量這些在中學物理教學中頻繁使用代數方法進行解答的物理量，更應當強調其矢量特性并在解決問題的過程中嘗試使用圖示法進行表示。

3? 小結

實際教學中，培養學生的矢量觀念和運用矢量處理問題的科學思維能力并不是一蹴而就的。循序漸進、水到渠成的知識建構過程更容易幫助學生搭建關于新知識的“腳手架”，也更符合學生的身心發展規律和知識本身的內在邏輯。同時，教材關于矢量教學的邏輯也啟示我們并不是所有的概念教學都需要按照：先講概念的內涵和外延，再講概念的特性和性質來開展教學。正所謂，殊途而同歸。從現象出發，由外而內的教學對于這類較為抽象的物理概念教學不失為一種更有效的教學方式。

參考文獻：

［1］ 張春麗.真質疑引發真論證 真思考促進真發展：品評區級研究課“功的再認識”[J].物理教師，2021，42（12）：7-9，13.

［2］ 尹真．電動力學[M]．南京：南京大學出版社，1999：378．

［3］ 趙曉丹. 高中物理力矢量建構的研究[D].濟南：山東師范大學，2015.

［4］ 周后升，張軍朋.基于高中物理矢量教學進階的幾點認識：以高中物理人教版系列教材為例[J].物理教學探討，2018，36（9）：60-64.