自適應事件觸發機制下分布時滯Markov跳變網絡化系統H∞故障檢測

李艷輝 王涵

基金項目：河北省自然科學基金（批準號：F2023107002）資助的課題。

作者簡介：李艷輝（1970-），博士生導師，教授，從事魯棒控制及濾波、智能控制等的研究，LY_hui@hotmail.com。

引用本文：李艷輝，王涵.自適應事件觸發機制下分布時滯Markov跳變網絡化系統H∞故障檢測［J］.化工自動化及儀表，2024，51（2）：255-261.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202402015

摘 要 傳統事件觸發機制中閾值的選擇會對信號傳輸效率產生很大影響。針對此問題，研究了自適應事件觸發機制下具有分布時滯的Markov網絡化系統的故障檢測問題。設計了一種模態相關的自適應事件觸發機制，通過動態調整閾值，提高了網絡資源利用率?？紤]網絡時延和數據丟包現象，同步設計觸發器和故障檢測濾波器。構造模態相關的Lyapunov泛數，根據積分不等式技術推導出使系統隨機穩定且具有H∞性能的充分條件。利用解耦方法和LMI技術求解出了故障檢測濾波器參數。最后通過數值仿真驗證了方案在節省網絡資源上的優勢。

關鍵詞 故障檢測 自適應事件觸發機制 分布時滯 Markov跳變系統

中圖分類號 TP14? 文獻標志碼 A? ?文章編號 1000-3932（2024）02-0255-07

Markov跳變系統（MJSs）是由多個模態組成的隨機系統，許多實際系統（如航空器系統、電力系統）可以建模為MJSs，因此MJSs受到了廣泛關注［1，2］。而分布時滯現象也普遍存在于系統中，如在平行輸電系統中信號存在大量的并行路徑，信號在不同時間段分布傳輸，這種情況下會產生分布時滯［3］。因此，針對分布時滯進行研究具有顯著的工程意義［4］。近年來，實際系統對運行可靠性的要求不斷提高，當系統中出現故障時可能會使系統運行失效，所以常采用故障檢測技術來及時發現故障，從而提高運行可靠性［5］。針對傳感器網絡化MJSs，文獻［6］在故障檢測濾波器通信中采用循環協議方法，提高了網絡利用率；文獻［7］將傳輸中出現的隨機時滯通過馬爾科夫鏈建模，提出了新型有限頻率故障檢測方案。

網絡信道帶寬有限，往往選擇事件觸發機制過濾數據，但傳統事件觸發機制由于閾值固定，無法跟蹤系統變化進行自調整，會浪費一定的網絡資源。在離散神經網絡系統框架下，文獻［8］針對飛行器動力學中的應用，采用一種新的自適應事件觸發方案，提出了故障檢測濾波器和控制器同步設計方法。針對模糊非線性網絡系統，文獻［9］引入自適應事件觸發機制，設計了具有異步模糊規則的故障檢測濾波器。面對更加復雜的網絡系統，選擇固態閾值具有局限性，采用自適應事件觸發機制優化觸發閾值來提高網絡利用率值得深入研究。針對具有分布時滯的MJSs網絡化系統，筆者同步設計自適應事件觸發器和故障檢測濾波器。引入模態相關的自適應事件觸發機制，自適應調整事件觸發閾值，以提高網絡資源利用率。利用伯努利分布規律描述數據丟包現象。構造模態相關的Lyapunov泛數，利用積分不等式方法，在保證故障檢測系統隨機穩定的基礎上使故障檢測系統具有H∞性能指標。運用LMI技術求出故障檢測濾波器參數，并采用數值仿真來驗證故障檢測方案的有效性和自適應事件觸發機制在提高網絡利用率中的優勢。

1 問題描述

考慮如下具有分布時滯的Markov跳變系統（MJSs）：

其中，狀態變量x（t）∈Rn；測量輸出y（t）∈Rl；屬于L［0，∞）的干擾輸入w（t）∈Rp；故障信號f（t）∈Rq；t為連續時間；h為常時滯；d為分布時滯常數；

？諄（t）是Z={1，2，…，Z}中取值的Markov鏈；

A（？諄（t））、A（？諄（t））、A（？諄（t））、B（？諄（t））、B（？諄（t））、

C（？諄（t））是具有適當維數且已知的系統狀態參數矩陣。

時刻t+Δt到t的模態轉移概率為：

Pr｛？諄（t+Δt）=j｜？諄（t）=i｝=πΔt+o（Δt），i≠j1+πΔt+o（Δt），i=j

+o（Δt）/Δt=0

其中，π為馬爾可夫模態跳變概率，π>0；

π=-π；o（Δt）為Δt的微變化。

當？諄（t）=i∈Z時，定義系統矩陣為：

A（？諄（t））？劬A

A（？諄（t））？劬A

A（？諄（t））？劬A

B（？諄（t））？劬B

B（？諄（t））？劬B

C（？諄（t））？劬C

針對系統（1）設計故障檢測濾波器：

（t）=A（？諄（t））x（t）+B（？諄（t））（t）

r（t）=C（？諄（t））x（t）+D（？諄（t））（t）? ?（2）

其中，xf（t）∈Rn為濾波器的狀態向量；r（t）∈Rq為殘差信號；（t）為濾波器實際輸入；A（？諄（t））、B（？諄（t））、C（？諄（t））、D（？諄（t））是待求解的故障檢測濾波器參數矩陣。

當？諄（t）=i∈Z時，定義濾波器待求矩陣為：

A（？諄（t））？劬A

B（？諄（t））？劬B

C（？諄（t））？劬C

D（？諄（t））？劬D

假設1 系統測量輸出數據通過周期s采樣。采樣序列D=｛y（rs）｜r∈N｝（其中，N為正整數序列）。觸發序列D=｛y（ts）｜k∈［0，1，2，…］｝。為提高傳輸效率，動態調整閾值，采用自適應事件觸發方案，最新觸發時刻為：

ts=ts+{ms｜e（t）We（t）>σ（t）y（ts）Wy（ts）}

e（t）=y（ts+ms）-y（ts）? ? （3）

其中，W為模態相關的事件觸發權重矩陣；m為當前觸發時刻；σ（t）為自適應觸發閾值；y（ts）和y（ts+ms）分別表示最新觸發數據和當前采樣數據。

自適應事件觸發律為：

（t）=σ-1（t）［σ-1（t）-σ］e（t）We（t）? （4）

其中，閾值初始狀態σ>1。

假設2 數據包丟失將隨機發生，實際到達故障檢測濾波器的輸入為：

（t）=δ（t）y（ts）? ? ?（5）

其中，δ（t）服從伯努利分布規律。轉移概率Pr｛δ（t）=1｝=δ，Pr｛δ（t）=0｝=1-δ，δ為數據成功傳輸的概率。期望E｛δ（t）-δ｝=0，E｛（δ（t）-δ）2｝=δ（1-δ）。

假設3 網絡時延為τ，0<τ≤τ（τ表示τ的上界）。事件觸發器未釋放數據時，零階保持器保持數據，數據在觸發時刻才會發生變化。將零階保持器的時間間隔［ts+τ，ts+τ）分段為

∪Γ，Γ為［ts+qs+τ，ts+（q+1）s+τ）。其中q為零階保持器分段時間時刻，m′為零階保持器分段個數。

定義τ（t）？劬t-ts-qs，t∈Γ，可得：

（t）=δ（t）［Ci x（t-τ（t））-ey（t）］? （6）

定義ξ（t）=［x（t）? x（t）］，r（t）=r（t）-f（t），v（t）=［w（t） f（t）］，得到故障檢測系統為：

A=A? ? ? ?0 0 A，A=A 0

A=A? 0，A=? ? 0BC

B=B B 0? 0，B=? 0-B，H=I0

C=［0 C］，C=［DC 0］

D=［0 -I］，D=D

筆者主要設計滿足如下條件的故障檢測濾波器，滿足故障檢測系統（7）隨機穩定，且滿足式（8）：

Λ=Er（t）re（t）dt-γEvT（t）v（t）dt<0（8）

則故障檢測系統具有H性能指標γ。

其中，Λ為性能指標函數。

采取評估機制判斷故障是否發生。本研究的故障評估函數為：

J（r（t））？劬

評估閾值為：

J=［J（r（t））］

當J（r（t））>J時發生故障。

引理1［10］ 對于任意正定矩陣Q>0，參數α>0，向量函數ξ（t）：［0，α］→Rn是可積的，則以下不等式成立：

［ξT（s）ds］Q［ξ（s）ds］≤ηξT（s）Qξ（s）ds

其中，η（η>0）為時間。

注1 由觸發條件（3）可知，對于傳統事件觸發機制，閾值直接決定了網絡傳輸率。因此，與傳統事件觸發方案相比，動態調整閾值參數可以提高網絡利用率。

2 故障檢測系統H性能分析

本節利用線性矩陣不等式（LMI）方法，在保證故障檢測系統隨機穩定的基礎上，建立使故障檢測系統（7）具有H∞性能指標的充分條件。

定理1 給定正標量d、τ、0<δ<1、σ>1，存在正常數γ和正定對稱矩陣P、Q、R、R、N、N、W滿足不等式（9）：

Ξ=Ξ τΞ τΞ Ξ Ξ？鄢? ?-N? 0? ?0? ?0？鄢? ？鄢? -N? ?0? ? 0？鄢? ？鄢? ？鄢? ?-I? ? ?0？鄢? ？鄢? ？鄢? ? ？鄢? -I<0? （9）

Ξ=Φ P 0 P Φ 0 P Φ？鄢? -Q? 0? ?0? ? 0? ?0? ?0? ? 0？鄢? ?？鄢 -R? 0? ? 0? ?0? ?0? ? 0？鄢? ?？鄢? ? ？鄢? Φ? ? 0? ? 0? ?0? ? 0？鄢? ? ？鄢? ? ? ?？鄢? ? ?？鄢? ? ? ?Φ? N? ? ? 0? ? ? ?Φ？鄢? ? ？鄢? ?？鄢 ？鄢? ? ? ?？鄢? ?Φ? ? ?0? ? 0？鄢? ? ？鄢? ?？鄢 ？鄢? ? ? ?？鄢? ?？鄢? ? ?Φ? 0？鄢? ? ？鄢? ?？鄢 ？鄢? ?？鄢? ?？鄢 ？鄢 Φ

Ξ=NH［A A 0 A δA 0 B δB］

Ξ=NH［0 0 0 0 A 0 0 B］

Ξ=［C 0 0 0 δC 0 D -δD］

Ξ=［0 0 0 0 C 0 0 -D］

Φ=PA+AP+H（Q+N-N+R+dR）H+πP

Φ=δPA+HN

Φ=δPB

Φ=-dR

Φ=-2N+HWH

Φ=-HW

Φ=-N-N

Φ=-γI

Φ=（1-σ）W

=δ（1-δ）

=［C 0］

則故障檢測系統（7）隨機穩定且具有H性能。

證明 選取Lyapunov函數V（t）：

V（t）=V（t）

V（t）=ξ（t）P（？諄（t））ξ（t）

V（t）=ξ（s）HQHξ（s）ds

V（t）=ξ（s）HRHξ（s）ds

V（t）= T（s）HRH（s）dsdθ

V（t）=ξ（s）HNHξ（s）ds

V（t）=τT（s）HNH（s）dsdθ

V（t）=σ（t）/2

定義弱無窮小算子為：

｛V（t）｝=｛E［V（t+Δ）｜t］-V（t）｝

對V（t）求弱無窮小算子：

根據自適應律（4）和式（3）可得：

用引理1處理積分項，可得：

綜合式（10）～（12），可得：

｛V（t）｝≤η（t）η（t）

=Ξ+τ（ΞNΞ+ΞNΞ）

η（t）=［η（t） η（t） η（t）］

η（t）=［ξ（t） ξ（t-h）H ξ（t-d）H］

η（t）=［ξ（s）dsH ξ（t-τ（t））H］

η（t）=［ξ（t-τ）H v（t） e（t）］

由式（9）可知，當v（t）=0時，<0，可知系統（7）隨機穩定。

引入式（8）的函數Λ：

Λ

=+ΞΞ+ΞΞ

由不等式（9）及Schur補引理可得<0，從而得到Eη（t）η（t）dt<0，進而可得：

Λ=Er（t）r（t）dt-γEv（t）v（t）dt<0

即故障檢測系統具有H性能指標γ。

注2 引入自適應閾值相關的Lyapunov函數δ（t）/2，結合自適應事件觸發律（4），共同設計事件觸發閾值參數和故障檢測濾波器參數。

3 故障檢測濾波器設計

現利用變量替換解耦定理1中的耦合項，運用LMI技巧求解故障檢測濾波器的參數。

定理2 給定正標量d、τ、0<δ<1、σ>1，若存在正常數γ和正定對稱矩陣X、U、Q、R、R、N、N、W，使得式（13）成立：

Ψ Ψ Ψ τΨ Ψ? ? Ψ？鄢? -γI 0? τΨ? ? ? ? 0？鄢? ？鄢 Ψ? 0? - -？鄢? ?？鄢? ？鄢? -N? ? 0? ? 0？鄢? ?？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? -I? ? 0？鄢? ?？鄢? ？鄢? ? ?？鄢? ？鄢? -I<0

Ψ= ?XA 0 XA ?0？鄢? ?UA 0 UA ?0？鄢? ？鄢? -Q? 0? 0? 0? ?0？鄢? ？鄢? ? ？鄢 -R? 0? 0? ? ? 0？鄢? ？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? -dR 0? ? ?0？鄢? ？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? ? ? ?？鄢? ? N？鄢? ？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? ？鄢? ?？鄢 ?（13）

Ψ=［X U 0 0 0 0 0］

Ψ=［-δB -δB 0 0 0 0 0］

Ψ=N［A 0 A 0 A 0 0］

Ψ=［0 C 0 0 0 δDC 0］

Ψ=［0 0 0 0 0 DC 0］

Ψ=N，Ψ=（1-σ）W

Φ=AX+XA+Q+N-N+R+dR+πX

Φ=A+AU+πU，Φ=δBC+N

Φ=A+A+πU，Φ=δBC

Φ=-2N+CWC，Φ=-N-N

=［B B］

D=［0 -I］

=δ（1-δ）

則故障檢測系統（7）隨機穩定且具有H性能。

所得故障檢測濾波器參數矩陣為：

A=UA，B=UB

C=C，D=D

證明 對于任意的模態i，定義：

P= X -Y-Y Z

F=I? 00 YZ

F=diag｛F，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I｝

利用F對不等式（9）全等變換，然后定義A=YAZY，B=YB，C=CZY，D=D，U=YZY變量替換得到式（13），根據文獻［11］的求解思路，得到濾波器傳遞函數T=C（sI-A）B+D=C（sI-UA）UB+D，解得濾波器參數。

4 仿真實例

筆者考慮MJSs存在兩種模態i=（1，2），設置π=［-0.6 0.6； 0.4 -0.4］。

模態1系統參數矩陣如下：

A=-2.5? 0.1 0.7 -1.3，C=0.10.4

A=-0.3 0.1-0.8 0.1，A=? 0.6 -0.8-0.2? ?0.4

B=0.10.1，B=0.20.3

模態2系統參數矩陣如下：

A=-2.4? ?0.7? 0.3 -3.1，C=0.10.3

A=-0.1 0.3-0.3 0.4，A=? 0.3 -0.4-0.2? ?0.6

B=0.30.2，B=0.10.4

設閾值初始狀態σ=80，時滯參數h=0.1、d=0.2、τ=0.3，丟包參數δ=0.8，采樣周期s=0.1。得到最優H性能指標γ=1.7160。

所得模態1故障檢測濾波器參數矩陣為：

A=-30.5836? -5.6151-57.2032 -14.3373，B=-36.9352-80.1578

C=［-0.0382 0.0056］，D=0.0400

所得模態2的故障檢測濾波器參數矩陣為：

A= 1.7277? ?-6.632313.0333 -20.5181，B=-13.1062-25.5848

C=0.0042 -0.0075，D=0.0228

噪聲干擾信號w（t）和故障信號f（t）分別為：

w（t）=rand［0，1］，2≤t≤60? ? ?，其他

f（t）=1，3≤t≤50，其他

為驗證設計方案的優勢，現針對模態相關與模態無關的自適應事件觸發設計方案所得H性能指標γ進行對比，見表1，可以看出，選擇模態相關的自適應事件觸發方案所得γ值，得到較低的保守性結果。

表1 模態相關與模態無關方案下所得

性能指標γ值

為了驗證自適應事件觸發方案在節省網絡資源中的優勢，與傳統事件觸發方案對比，設置相同收斂閾值，傳輸率（觸發次數/采樣次數）對比，結果見表2，可以看出，自適應事件觸發方案傳輸率低于傳統事件觸發方案，說明本方案更加節省網絡資源，同時完成了故障檢測。

表2 兩種觸發方案傳輸率對比

殘差評估函數和模態切換規律如圖1所示，可以看出，故障評估閾值J=0.0086，J（r（t））｜（t=4.3）=0.0115>J（r（t）），說明故障信號在4.3 s時被檢出。自適應事件觸發閾值σ（t）和濾波器的實際輸入如圖2所示，可以看出，σ（t）收斂到了0.495 9。由濾波器輸入可知，當產生丟包時實際輸入為0，觸發器未釋放數據時，零階保持器保持數據。由自適應事件觸發機制和傳統事件觸發機制的觸發時刻和間隔（圖3）可知，在100個采樣時刻下，當σ=80時，自適應事件觸發機制共有39個觸發時刻，選擇相應收斂閾值0.495 9的傳統事件觸發機制共有52個觸發時刻，證明自適應事件觸發機制相對傳統事件觸發機制更節省了網絡資源。

圖1 殘差評估函數和模態跳變過程

圖2 自適應閾值和濾波器輸入

圖3 觸發時刻和間隔

5 結束語

針對具有分布時滯的MJSs網絡化系統，設計了一種模態相關的自適應事件觸發方案，得到了較低的保守性結果。故障檢測濾波器實際輸入同時考慮了網絡延時和丟包現象，選取事件觸發閾值相關的Lyapunov函數，實現事件觸發和故障檢測濾波器參數的共同設計。仿真結果證明，筆者方法在更節省網絡資源的同時，能夠及時檢測出故障。所提自適應事件觸發故障檢測方法可為化工生產過程等領域提供理論參考。

參 考 文 獻

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（收稿日期：2023-03-03，修回日期：2024-01-09）

H∞ Fault Detection of Distributed Time-delay Markov Jump Networked System with Adaptive Event Triggering Mechanism

LI Yan-huia，b， WANG Hanb

（a. Bohai Rim Energy Research Institute；b. School of Electrical Engineering and Information，

Northeast Petroleum University）

Abstract? ?The threshold selection in the traditional event triggering mechanism greatly influences signal transmission efficiency. Aiming at this problem， the fault detection of Markov networked systems with distributed delay under adaptive event triggering mechanism was studied， including the design of a modal dependent adaptive event trigger mechanism to improve utilization of network resources by dynamically adjusting the threshold. Considering the network delay and data packet loss， both trigger and fault detection filter were designed synchronously and the modal dependent Lyapunov universal was constructed， including having the integral inequality technique based to deduce the system with stochastic stability and the H∞ sufficient conditions for performance. In addition， through making use of the decoupling method and LMI technology， parameters of fault detection filter were solved. Simulation results prove this schemes advantages in saving network resources.

Key words? ?fault detection， adaptive event triggering mechanism， distributed time-delay， Markov jump system