近鉆頭鉆壓和扭矩的高精度溫度補償方法

董添奇 楊旭輝

獲取近鉆頭工程參數對于鉆井安全生產具有十分重要的意義。隨著技術的發展，地面間接測量技術已無法滿足實際鉆井需求，通過井下直接測量的方式獲取實時的鉆壓扭矩等參數是當前主要研究方向。為此，根據應變測量原理，提出了井下鉆壓扭矩參數測量的應變片粘貼方案和電橋測量方案。試驗研究表明，機械結構自身的應變與外載之間存在非線性關系，并且在高溫環境下非線性誤差更加突出。為了提高測量數據的精度，通過簡化溫度、壓力和電橋輸出電壓之間的關系，建立數學模型，利用耦合多項式變換矩陣對機械結構自身引起的變形誤差進行軟件補償。試驗結果表明，該方法使直接計算應變片受力的平均絕對誤差從2.140 33 kPa降低為0.277 39 kPa，降低了約87%。該方法有效地減小了測量近鉆頭鉆壓和扭矩的誤差。

近鉆頭工程參數測量；應變片；軟件補償；鉆具變形；惠斯通電橋；鉆壓；扭矩

A High-Precision Temperature Compensation Method

for Near-Bit WOB and Torque

Obtaining near-bit engineering parameters is of great significance for safe drilling.With the development of technology，the surface indirect measurement technology can no longer meet the actual drilling needs，and obtaining real-time parameters such as WOB and torque through downhole direct measurement are currently the main research direction.In the paper，based on the principle of strain measurement，a strain gauge sticking scheme and an electric bridge measurement scheme for measuring the downhole WOB and torque parameters were proposed.The experimental study shows that there is a nonlinear relation between the strain of mechanical structure itself and external load，and the nonlinear error is more prominent in hot environment.In order to improve the accuracy of measurement data，by means of simplifying the relationship between temperature，pressure and electric bridge output voltage，a mathematical model was built，and a coupling polynomial transformation matrix was used to conduct software compensation on the deformation error caused by the mechanical structure itself.The experimental results show that this method reduces the mean absolute error of directly calculating the force on strain gauges from 2.140 22 kPa to 0.277 39 kPa，a decrease of about 87%.This method effectively reduces the errors in measuring near-bit WOB and torque.

near-bit engineering parameter measurement；strain gauge；software compensation；drilling tool deformation；Wheatstone bridge；WOB；torque

0 引 言

近鉆頭工程參數能夠反映鉆柱和鉆頭工作時的受力狀況，尤其是鉆壓和扭矩參數的精確測量，對預防卡鉆、評估彎矩、提高井眼軌跡的精確度以及減少狗腿度都具有重要意義。傳統測量方式是通過地面測量儀器所獲數據去推算鉆頭附近的工程參數，然而大量事實和數據表明，這種間接測量的數據較實際有很大的差別。因此，研究隨鉆直接測量的近鉆頭工程參數對降低鉆井風險和事故，提升鉆井效率具有重要意義［1-5］。

眾多學者對近鉆頭工程參數測量技術做了研究。姜海龍等［2］研制的隨鉆測量設備能同時對鉆壓、扭矩等8個工程參數進行測量，但僅在試驗條件下證明了鉆壓、扭矩載荷與電橋測量數據之間存在良好的線性關系，未考慮實測過程中的數據誤差；耿艷峰等［6］認為國內井下參數測量以地層信息特性參數為主，缺少對鉆井工程參數測量的測量技術研究，其文章詳細論述了基于電阻式應變片的近鉆頭工程參數測量技術；王德桂等［7］通過模擬仿真，對鉆柱進行受力分析，詳述了應變梁上徑向力大小和方向的測量及表示方法，優化了應變梁上應變片的粘貼方式；胡澤等［8］采用四應變片全橋電路對鉆壓、扭矩等參數進行隨鉆測試，試驗數據表明該方法可行。

為盡可能消除測量誤差，軟件上可通過數字濾波去除部分噪聲，或通過硬件的方式在橋臂上串并電阻網絡或者橋外串并聯熱敏電阻元件進行補償［9］。雖然硬件溫度補償方法具有較好的動態響應特性，但是應變片零點和靈敏度溫度漂移差異性較大，所以在實際的調試過程中過于復雜，需要操作人員具有較高的經驗水準，不適合批量化工程應用［10］。軟件補償基于數字信號處理技術，能簡單靈活地應用在不同的場景，是當前主流的溫度補償手段［11］。

筆者分析應變片的測量原理，設計了適用于近鉆頭扭矩和鉆壓測量的應變片粘貼方式，研究惠斯通電橋輸出電壓與溫度的關系并建立數學模型，最后通過軟件補償的方式提高近鉆頭鉆壓和扭矩的測量精度。研究結果可有效減小測量近鉆頭鉆壓和扭矩的誤差。

1 應變片測量原理和應變片的粘貼方法與誤差分析

1.1 應變片測量原理與近鉆頭測量壓力和扭矩的

應變片粘貼方法

在鉆井過程中，井下鉆具的鉆鋌承受反扭矩，鉆鋌通過鉆柱將扭矩傳遞給鉆頭，以擊破巖石。因此，在鉆井過程中，鉆柱各個截面都產生了剪應力。通過測量鉆鋌圓周的剪應力，就可以精確測量鉆柱所受扭矩［12-13］。同時，鉆頭在撞擊巖壁和井底［14］時，鉆鋌會因此產生微小的橫向或縱向變形，變形的程度反映了鉆壓的大小。

應變片測量是利用應變片變形時電阻發生變化的特性，通過測量電路將其轉換為輸出電壓進而計算所受應力［15］。因此，需要選擇在鉆鋌表面合適的位置粘貼應變片［16］。當鉆鋌受力變形時，應變片會隨鉆鋌一起發生變化，產生的變化會引起測量電路輸出電壓的改變。

應變片電阻的變化主要由材料的幾何形狀（長度和截面積）變化引起［17］。當目標受力時，應變片的金屬柵絲長度和截面積都隨之發生改變，進而改變應變片的電阻［18］。

應變系數用來表征電阻變化與應變片變形的關系，其定義為：

式中：Ks為應變系數，常數；Ro為應變片的初始電阻，Ω；ΔR為應變片的變化電阻，Ω；ε為應變片應變，無量綱。應變的定義如下：

式中：Lo為應變片初始長度，m;ΔL為長度的應變量，m。

綜上，理想情況下電阻變化量ΔR和應變片應變量ΔL之間呈線性關系為：

由式（2）、式（3）和胡克定律可得：

式中：k為材料的勁度系數，無量綱;F為外力，N。

由式（4）可知，受力后ΔR與F之間呈線性關系（ΔR∝F），ε與F之間也呈線性關系（ε∝F）。

鉆頭鉆壓的來源是鉆柱的部分重力作用在鉆頭上的結果［19］。因此，無論鉆柱如何傾斜，鉆頭鉆壓始終沿著鉆柱軸向。

測量鉆壓的應變片的粘貼方式見圖1和圖2。

根據粘貼方式，測量鉆壓的4個應變片應變為：

ε1=εW（5）

ε2=-μεW（6）

ε3=εW（7）

ε4=-μεW（8）

式中：εW為軸線方向上R1應變片的應變，無量綱；μ為比例系數，無量綱。

扭矩作用時，應力母線與軸線呈45°［19］。當應變片粘貼角度與軸線呈45°時，能更好地測量扭矩。

測量扭矩時，應變片在鉆鋌上的粘貼方式見圖3和圖4。

根據粘貼方式，測量扭矩的4個應變片應變為：

ε1=εT（9）

ε2=-εT（10）

ε3=εT（11）

ε4=-εT（12）

式中：εT為扭矩作用下r1應變片的應變，無量綱。

鉆鋌上測量扭矩和鉆壓的應變片粘貼位置見圖5的應變片粘貼倉。圖6顯示了在應變片粘貼倉中，8個應變片的相對位置。

1.2 誤差分析

在高溫環境下工作時，應變片會受溫度影響產生應變ΔLt，也會受壓而產生應變ΔLp。應變片直接的應變為應力導致的應變和溫度導致的應變之和（類比火炮發射條件下的應力分析［20］），結合式（3）得：

應變片的應變為：

式中：εt為溫度引起的應變，無量綱；εp為壓力引起的應變，無量綱。

針對式（13）中電阻變化量ΔR的測量，采用惠斯通電橋方案［21］。該方案能將傳感器電阻的微小變化轉為電信號輸出，且具有操作簡單、測量精度高等特點［22］。應變片的全橋惠斯通電橋連接方式，見圖7。

惠斯通電橋的輸出電壓Vo計算方式如下：

式中：Vex為電橋的激勵電壓，V。

根據式（14）有：

εi=εit+εip（16）

式中：i=1，2，3，4；εif為溫度引起的應變；εip為壓力引起的應變。

考慮到所選應變片具有相當高的一致性，以及良好的溫度自校正功能，即ε1t=ε2t=ε3t=ε4t=εt。因此，ε1t-ε3t+ε2t-ε4t=0。應變片由溫度產生的變形能被圖7所示連接方式自動抵消，Vo為：

但如果考慮到溫度變化使鉆鋌產生局部微小變形，則依附在鉆鋌上的應變片將出現新的應變。這種應變無法通過圖7所示連接方式自動校正，進而導致電橋輸出出現偏差［19］。尤其是應變片在機械結構上粘貼過程中的非一致性，更進一步放大加劇了這種趨勢。

根據扭矩和壓力的應變關系（見式（5）～式（8）和式（9）～式（12））得Vo：

鉆壓輸出：

式中：Vx為非機械結構改變導致的應變片的非線性測量偏差，V。

扭矩輸出：

Vo=Vx+VexKsεT（19）

即電橋的輸出電壓與目標量（扭矩、鉆壓）之間無法維持線性關系，需要進一步的處理。

2 近鉆頭鉆壓和扭矩的數學補償建模

2.1 軟件補償算法

多項式擬合是非線性擬合常用的方法［23］，通過選擇一組多項式去逼近非線性數據，并用最小二乘法法來確定多項式的系數［24］，最終得到的擬合方程可近似表示變量間的函數關系。因此，多項式擬合常用于軟件補償算法中。

2.2 數學模型與算法實現步驟

前面分析表明，溫度變化導致應變片自身變形所產生的偏差可通過圖7所示連接方式自動抵消，因此可假設惠斯通電橋輸出電壓Vo、真實鉆壓或扭矩p滿足如下所示線性關系：

Vo=f（p）（20）

在溫度T影響下，依附在鉆鋌上的應變片產生額外的電阻，并與鉆壓或扭矩產生的電阻耦合在一起。最終導致電橋輸出信號產生了偏差。該誤差產生的根本原因是溫度，即：

Vo=fp，T（21）

多項式的擬合方程：

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn（22）

溫度T、鉆壓或扭矩p和電橋輸出電壓Vo的補償算法的執行步驟如下：

（1）用m-1次多項式建立Vo和外壓的關系模型：β（m×1）列向量代表應變片受到的壓力和電橋輸出電壓的關系；p（n×m）矩陣是壓強的多項式變換矩陣；Vo（n×1）是電橋輸出電壓的列向量。

（2）將溫度導致的誤差考慮進模型。用多項式的方式擬合β和T之間的關系：α（k×1）。此步驟讓β隨不同溫度的變化而改變，這種動態的非線性特征正好體現了溫度對應力測量的影響。其中，T（m×k）是溫度的多項式變換矩陣。

（3）通過步驟（1）、步驟（2）的2次耦合多項式擬合，使影響電橋輸出結果中的溫度因素和目標因素分開。最終得到擬合模型：

Vo=pTα（30）

（4）為了補償電橋輸出電壓V′o。構造如下誤差公式EV：

EV=Vo-V′o=pβ-V′o（31）

（5）最后，利用二分法逼近理想的溫度補償結果。

誤差EV為鉆壓或扭矩p的一次函數，若傳感器的測量范圍是［pmin，pmax］，則可計算出誤差曲線的區間［Emin，Emax］。當Emin和Emax同號時，無理想誤差點p（即EV=0），此時選擇abs（Emin ）和abs（Emax ）中最小者對應的p值作為補償結果；否則利用二分法不斷迭代，逼近理想誤差點（EV=0）的p值?？紤]到計算機計算精度的問題，應設置適當的逼近誤差eE，讓算法能更快的迭代出結果。

理想誤差點的p值為V′oβ-1。

3 仿真試驗與標定環境下的試驗測試

3.1 應變關系的仿真試驗

應變關系的仿真試驗結果如圖8～圖11所示。

應變片測量鉆壓時的應變仿真試驗為鉆鋌一端設置無滑動邊界條件，另一端受壓（0、50、100、150、200、250 kN）。

圖8和圖10中紅色的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ標記是測量鉆壓的應變片粘貼位置。綠色的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ標記是測量扭矩的應變片粘貼位置。通過仿真試驗，分別獲取測量鉆壓的應變片R1的應變εw和測量扭矩的應變片r1的應變εT。并在圖8和圖10繪制了外載與應變量的關系。

其中圖8和圖10的①、②、③標識了應變片粘貼倉的位置。粘貼倉細節見放大部分。

應變片測量扭矩時的應變仿真試驗為鉆鋌一端施加固定約束，另一端受扭（0、2、4、6、8、10 kN·m）。

依據式（4）和式（16），載荷F和電橋輸出Vo與應變片的應變量ε成正比（F∝ε∝Vo）。因此，理論上應變片的應變量與外力應呈線性關系。圖9和圖11顯示了鉆壓和扭矩的仿真結果。二者與應變片的應變量呈線性關系。即不考慮溫度影響時，應變片應變量與電橋輸出結果應為線性關系。

3.2 在實驗室中對溫度和壓力標定，進行測量試驗

實際試驗中，受限于條件和技術，無法通過測量應變片應變量直接計算載荷的大小。而是通過電橋電壓值和外載的線性關系進行計算（Vex在本試驗中為3.4 V；pe為應變片的外部應力，kPa）：

Vo=2.5×10-8Vexpe（32）

（1）按圖2和圖4所示，將應變片粘貼在鉆鋌上，并整體放入高溫箱。通過高溫箱對試驗溫度進行標定。將裝置連接標準壓力儀器，對試驗壓力進行標定。

（2）在相同的外部壓力下，設定高溫箱的溫度為17、21、30、44、58、72 ℃。待溫度穩定時，記錄電橋輸出的電壓值。

（3）在相同溫度下，調整標準壓力源的壓力值為：4、50、100、150、200、250 kPa，并記錄電橋的輸出電壓。

3.3 試驗數據分析

圖12為不同溫度的電橋輸出信號差值曲線。由圖12可知，在外部壓強不同而溫差恒定的條件下，差值曲線并不處處相等，這表明不同壓強下，溫度對應變片測量的干擾程度并不相同；隨著溫度差距的增大，差值曲線波動越劇烈，這表明溫度越高對應變片的干擾就越強烈。

考慮到4個應變片在鉆鋌上的粘貼位置并不相同，加熱時，溫度的傳播并不能迅速傳遞到整個鉆鋌。因此，鉆鋌會出現局部溫差的現象。

結合圖12與上述分析，對差值曲線現象進行解釋：鉆鋌各部分受熱不相等，因此產生了不等的變形量，致使4個應變片產生不等的應變效應，最終使電壓差值呈現曲線形式；隨著溫度的升高，不同位置的溫度差異性會變得更加突出。所以溫差越大，差值曲線波動的就越劇烈。

因此，需要對測量數據做溫度補償。

3.4 補償方法測試

用數據集1的數據，擬合出補償算法的α和β參數。這里的β使用了5階的多項式擬合，α使用了3階的多項式擬合。表3為數據集2的計算和算法補償結果。

從圖13中能明顯看出，溫度補償相較于直接計算，能有效降低誤差。經過計算，直接計算的平均絕對誤差為2.140 22 kPa。而補償后，平均絕對誤差僅為0.277 39 kPa。誤差降低了約87%，該方法提高了測量數據的精度。

4 結 論

（1）理論分析與試驗仿真均表明：應變片粘貼方案結合惠斯通全橋電路在測量井下鉆壓、扭矩的過程中，應變量和外載呈線性關系，因此該方案可用于實際鉆井工程中。同時該方案可以自動補償應變片自身受溫度變化而產生的變形電阻，對提高測量精度有重要意義。

（2）在溫度和壓強的標定試驗中，差值曲線圖表明溫度對測量結果產生了非線性的干擾。這種現象是載具在溫度的影響下出現機械結構變形所致，即應變片所處位置的變形除受鉆壓扭矩的影響外，還受溫度的影響。隨著溫度的升高，這種影響會更加突出，且無法通過改變應變片粘貼方案或改變電路結構去校正，成為當前測量誤差的主要來源。

（3）分別利用壓強的多項式變換矩陣和溫度的多項式變換矩陣，建立了電壓輸出與外壓和溫度的關系模型，通過兩次多項式擬合，使影響電橋輸出的溫度因素和目標因素分開，最后利用試驗標定數據和二分法迭代算法，實現了有效的溫度補償。試驗結果顯示，補償方法降低了約87%的計算誤差，提升了測量數據的可靠性。

［1］ ?張?；ǎ@頭工程參數隨鉆測量短接的研制［J］．儀表技術與傳感器，2010（4）：84-86．

ZHANG H H.Development of device for measuring drilling engineering parameters near bit［J］.Instrument Technique and Sensor，2010（4）：84-86.

［2］ 姜海龍，柳貢慧，李軍，等．井下工程參數測量系統的研制與應用［J］．鉆采工藝，2020，43（1）：5-8．

JIANG H L，LIU G H，LI J，et al.Developemnt and application of downhole engineering data measurement system［J］.Drilling & Production Technology，2020，43（1）：5-8.

［3］ 劉奕呈，李玉梅，張濤，等．基于CEEMDAN-CNN的鉆頭磨損狀態監測研究［J］．石油機械，2022，50（9）：59-65．

LIU Y C，LI Y M，ZHANG T，et al.Monitoring of bit wear based on CEEMDAN-CNN［J］.China Petroleum Machinery，2022，50（9）：59-65.

［4］ 吳澤兵，谷亞冰，姜雯，等.基于遺傳優化算法的井底鉆壓智能預測模型［J］.石油鉆采工藝，023，45（2）：151：189.

WU Z B，GU Y B，JIANG W，et al.Intellgent prediction models of downhole weight on bit based on genetic optimization algorithml［J］. Oil Drilling & Production Technology， 2023，45（2）：151：189.

［5］ 孟卓然，徐寶昌，羅雄麟.基于綜合性能指標的控壓鉆井過程多變量協調控制［J］. 中國石油大學學報（自然科學版），2022，46（2）：183-195.

MENG Z R，XU B C，LUO X L.Multivariable coordinated control of managed pressure drilling process based on comprehensive performance index［J］. Journal of China University of Petroleum （Edition of Natural Science），2022，46（2）：183-195.

［6］ 耿艷峰，楊錦舟，閆振來，等．基于電阻式應變片的近鉆頭工程參數測量技術研究［J］．傳感技術學報，2008，21（6）：1084-1088．

GENG Y F，YANG J Z，YAN Z L，et al.Measurement techniques for drilling engineering parameters near the bit based on resistance strain gauges［J］.Chinese Journal of Sensors and Actuators，2008，21（6）：1084-1088.

［7］ 王德桂，高德利，高寶奎，等．鉆柱近鉆頭力學特性測量系統功能研究［J］．天然氣工業，2006，26（3）：62-64．

WANG D G，GAO D L，GAO B K，et al.Study on measurement system for dynamic characteristics of drill strings bottom［J］.Natural Gas Industry，2006，26（3）：62-64.

［8］ 胡澤，肖宇恒，葛亮，等．應變式井下工程參數測量傳感器組橋與布片研究［J］．自動化儀表，2012，33（5）：77-79．

HU Z，XIAO Y H，GE L，et al.Research on the bridging and arranging of strain sensors for measuring the engineering parameters down the pit［J］.Process Automation Instrumentation，2012，33（5）：77-79.

［9］ 皇金鋒，李林鴻，任舒欣，等．考慮濾波電容等效串聯電阻的輸出本質安全型Buck-Boost變換器分析與設計［J］．電工技術學報，2021，36（8）：1658-1670．

HUANG J F，LI L H，REN S X，et al.Analysis and design of an intrinsically safe Buck-Boost converter on considering of the filter capacitor with equivalent series resistance［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2021，36（8）：1658-1670.

［10］ 郭明威，朱家海．壓阻式壓力傳感器溫度誤差的數字補償技術［J］．儀表技術與傳感器，2008（5）：76-77．

GUO M W，ZHU J H.Digital compensation technology for thermal errors of piezoresistive pressure sensor［J］.Instrument Technique and Sensor，2008（5）：76-77.

［11］ 張紫嫣，盧文科，左鋒，等．基于分段線性插值法的應變片式扭矩傳感器的溫度補償［J］．電子測量技術，2022，45（8）：143-147．

ZHANG Z Y，LU W K，ZUO F，et al.Temperature compensation of strain gauge torque sensor based on piecewise linear interpolation method［J］.Electronic Measurement Technology，2022，45（8）：143-147.

［12］ 汪偉，柳貢慧，李軍，等．脈動式扭轉沖擊鉆井工具工作特性分析與測試［J］．石油鉆探技術，2022，50（5）：63-69．

WANG W，LIU G H，LI J，et al.Analysis and testing of the working characteristics of a pulsating torsional impact drilling Tool［J］.Petroleum Drilling Techniques，2022，50（5）：63-69.

［13］ 幸雪松，龐照宇，武治強，等．鉆頭與巖石互作用下鉆柱黏滑振動規律研究［J］．石油機械，2023，51（5）：1-8．

XING X S，PANG Z Y，WU Z Q，et al.Study on drill string stick-slip vibration pattern under Bit-Rock interaction［J］.China Petroleum Machinery，2023，51（5）：1-8.

［14］ 劉永輝，徐小峰，冀月英，等．井底鉆壓測量數據校正方法研究與應用［J］．石油機械，2017，45（9）：21-26．

LIU Y H，XU X F，JI Y Y，et al.Calibration method for measured data of downhole WOB measurement Tool［J］.China Petroleum Machinery，2017，45（9）：21-26.

［15］ 張華輝，雷雷，劉華軍，等．基于電阻應變片的低溫應變測量方法研究［J］．低溫與超導，2017，45（8）：36-39，56．

ZHANG H H，LEI L，LIU H J，et al.Study on measurement method of strain at low temperature based on resistance strain gauge［J］.Cryogenics and Superconductivity，2017，45（8）：36-39，56.

［16］ 張行，劉彤，劉思敏，等．管道柔性測徑清管器的設計及測徑盤性能分析［J］．石油機械，2021，49（8）：132-141．

ZHANG H，LIU T，LIU S M，et al.Design of flexible caliper pig and analysis of gauging plate performance of pipeline［J］.China Petroleum Machinery，2021，49（8）：132-141.

［17］ 邵華，洛桑郎加．電阻應變式傳感器測量性能分析［J］．山東交通科技，2022（1）：19-21．

SHAO H，LUO S L J.Analysis of resistance strain sensor［J］.Shandong Jiaotong Keji，2022（1）：19-21.

［18］ 劉琳，王偉佳，霍炬，等．基于金屬應變計的便攜式血管阻斷拉力儀［J］．哈爾濱工業大學學報，2021，53（2）：184-190，174．

LIU L，WANG W J，HUO J，et al.Portable vascular blocking tension meter based on metal strain gauge［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2021，53（2）：184-190，174.

［19］ 張濤，劉永輝，冀月英，等．基于應變原理隨鉆鉆壓測量方法研究［J］．北京信息科技大學學報（自然科學版），2016，31（5）：21-25，35．

ZHANG T，LIU Y H，JI Y Y，et al.Method of WOB measurement while drilling based on strain theory［J］.Journal of Beijing Information Science & Technology University，2016，31（5）：21-25，35.

［20］ 姚竹亭，王憲朝．應變補償原理及其在彈丸內壁壓應力測試中的應用［J］．火炮發射與控制學報，1998（3）：21-24，33．

YAO Z T，WANG X C.The principle of strain compensation and its application in the compressive stress test of the inner wall of the projectile［J］.Journal of Gun Launch & Control，1998（3）：21-24，33.

［21］ 陳碧海，陳杉杉，程寶進．惠斯通電橋式壓力傳感器溫度補償電路設計［J］．遙測遙控，2020，41（2）：15-19，26．

CHEN B H，CHEN S S，CHENG B J.The design of temperature compensation circuit for pressure sensor based on Wheatstong bridge［J］.Journal of Telemetry，Tracking and Command，2020，41（2）：15-19，26.

［22］ 代國紅，許藝鏵，吳慶豐，等．基于惠斯通電橋的彎曲應變測量靈敏度研究［J］．南昌大學學報（理科版），2022，46（1）：66-71．

DAI G H，XU Y H，WU Q F，et al.Strain measurement sensitivity based on Wheatstone bridge［J］.Journal of Nanchang University（Natural Science），2022，46（1）：66-71.

［23］ 曹久瑩，于陸軍．基于最小二乘法擬合的流量計不確定度分析方法［J］．中國測試，2022，48（增刊1）：122-128．

CAO J Y，YU L J.Uncertainty analysis method offlowmeter based on least square fitting［J］.China Measurement & Testing，2022，48（S1）：122-128.

［24］ 徐雙，趙至友，趙國勇，等．基于多項式擬合算法的重型電動數控螺旋壓力機機身的輕量化［J］．鍛壓技術，2022，47（12）：154-160．

XU S，ZHAO Z Y，ZHAO G Y，et al.Lightweight on heavy-duty electric CNC screw press body based on polynomial fitting algorithm［J］.Forging & Stamping Technology，2022，47（12）：154-160.