關于多縫衍射中“缺級”表述的分析與討論

劉力

摘 要 在大學物理教學中，部分教材與教案為了描述多縫衍射中干涉條紋與衍射條紋的重疊，將干涉極大與衍射極小重合時的現象表述為“缺級”，即本應出現的干涉極大在衍射極小的作用下缺失了。然而，干涉極大是否真的缺失了呢？ 深入的分析與實驗表明“缺級”這一表述主要是基于肉眼的觀測，是一種不太嚴格但形象的描述。從更為嚴謹的角度出發，所謂“缺級”其實是衍射極小對干涉極大的“劈裂”，使得原本的干涉極大發生分裂，分裂后的強度變小，寬度變窄，從而在視覺上變得難以察覺。

關鍵詞 光的干涉;多縫衍射;缺級

在大學物理關于光干涉與衍射的教學中，多數教材與教案采用如下方案：先介紹楊氏干涉實驗，即縫寬可忽略時的雙縫干涉現象，得到光強的周期性分布規律，然后再討論單縫衍射，即不再忽略縫寬時的光強分布，最后開展多縫衍射的討論，將多縫衍射接收屏上的光強公式寫成干涉因子與衍射因子的乘積，得到干涉條紋被衍射光強調制的結論[1]。特別地，若接收屏上某些本該出現干涉極大的對應位置恰好也是衍射極小出現的位置，則該位置的光強為零，因此該處的干涉極大不再出現，將其稱之為“缺級”現象[2-5]。

本文通過對多縫衍射的光強公式開展分析，并對雙縫衍射及光柵衍射實驗現象進行細致觀察，認為該干涉極大并非完全消失，而是被衍射極小劈成了兩個較窄的新的極大，從而對所謂的“缺級”進行了更為準確與嚴謹的描述。

1 對“缺級”的分析

以雙縫夫瑯和費衍射為例進行說明，如圖1所示，單色平行光入射兩寬度為a 的狹縫，縫間距為d，為了直觀地展示其原理，利用單縫衍射和雙縫干涉的特點對接收屏上的光強分布進行分析。

根據單縫夫瑯和費衍射的規律可知，單開一條狹縫時，屏上某點P θ 處的電矢量振幅與光強分別為

其中，α=πasinθ/λ，λ 為入射光的波長，E0 和I0分別為單開一條縫時透鏡光軸處的電矢量振幅與光強，可見不論縫的位置如何，其電矢量強度分布是相同的，衍射圖案也是相同的。

如果兩條狹縫同時打開，分別通過各縫衍射后在接收屏上某點的電矢量幅度是相同的，但是由于光程不同，兩者存在一個相位差Δφ=2πdsinθ/λ，由干涉光強公式可得P θ 處的光強為

很顯然屏上的光強受到了兩個因子的影響，其中一個為 sinα/α 2，與縫寬a 有關，稱為衍射因子;另一個為cos2 Δφ/2 ，與縫間距d 有關，稱為干涉因子。衍射因子的極大值出現在θ=0和asinθ≈± 2k+1 λ/2 k=1，2，3，… 處，極小值出現在asinθ=±kλ k=1，2，3，… 處;干涉因子的極大值出現在dsinθ=±k'λ k'=0，1，2，… 處，極小值出現在dsinθ=± 2k'+1 λ/2，（k'=0，1，2，…）處?？梢姼缮鏄O大與衍射極小是均勻分布的。特別地，當d：a=k'：k，（k=1，2，3，…;k'=0，1，2，…）時，衍射極小會與干涉極大的位置重合，于是干涉極大會被抑制，該干涉極大可能就難以被觀察到，因此也就有了“缺級”的表述。

選取一個典型條件a=10λ，d：a=5開展分析，將衍射因子與歸一化的光強（I2 θ /I0）畫到一起。目前絕大多數教材均選用線性坐標，如圖2所示，可見當sinθ=5λ/d，即k'=5時的干涉極大與k=1的衍射極小重疊，導致該干涉極大幾乎不可見。然而這僅僅是目測不可見，對于高靈敏度的儀器來說，該干涉極大會如何呈現呢？ 我們可以在縱軸采用對數坐標重畫圖2，如圖3所示，可見k'=5時的干涉極大并非完全消失，而是被k=1的衍射極小“劈裂”成了兩個新的極大。

“缺級”這種表述其實是源于多縫衍射（光柵衍射）的實驗現象。當縫的數量增加為N 時，光強表達式中的干涉因子變為 sin Nβ /sinβ 2，與雙縫干涉相比，此時的干涉條紋不再等寬，亮度也不再均等，原干涉極大處仍為干涉極大，中心亮度也與雙縫干涉相同，這些干涉極大的位置稱為“主極大”。除此之外，干涉“主極大”之間還會出現N -2個亮度較小，寬度也減半的極大，稱為“次極大”。次極大的亮度與縫數負相關，因此在縫數足夠多時，“次極大”的亮度極弱，在肉眼下幾乎不可見。同時由于“次極大”的出現，“主極大”的寬度也被壓縮到原來的2/N 。多縫衍射光強表達式中的衍射因子仍為 sinα/α 2，若其極小位置與干涉中的“主極大”剛好重合，由于主極大的寬度被壓縮了，在被衍射極大“劈裂”后，其亮度進一步降低，甚至不如“次極大”，因此也就有了“缺級”這一表述。圖4為四縫衍射與雙縫衍射的對比（灰色虛線），可見在衍射極小處，被“劈裂”的主極大亮度不及次極大，因此在觀察中可認為主極大“缺失”。

2 實驗及現象

根據以上分析得知，所謂“缺級”，僅僅是干涉極大與衍射極小位置重合所造成的觀測現象，其本質應該是干涉極大被衍射極小所“劈裂”。事實上，干涉極大的“劈裂”并非僅僅表現在理想化的圖線中，在課堂演示實驗中也可以看到明顯的現象。演示實驗所用光源為一臺波長532 nm 的半導體激光器，所用雙縫衍射屏的縫寬a=20μm，縫間距d=40μm，得益于激光極高的亮度與極好的平行性，可以無需透鏡直接在屏上成像，為了使條紋分得更開，通常把教室墻面作為成像屏，“屏”與雙縫之間的距離在2～5m 之間。

由于d/a=2，因此k'=2的干涉極大會和k=1的衍射極小重合，如采用“缺級”的說法，屏上的條紋應該大多是等間距分布，若假設中央最亮的條紋與鄰近亮條紋之間的間距為Δx，則在±5.5Δx 范圍內應該共有7 個亮條紋（k'=0，±1，±3，±5），從中央亮條紋往外側數起第1個與第2個亮條紋之間的間距為Δx，其他相鄰條紋之間的間距均為2Δx，如圖5（a）所示。圖5（b）為我們觀察到的雙縫衍射圖像，從實驗現象看，在±4.5Δx 范圍內共有15個亮條紋，從中央亮條紋往外側數起第2個與第3個亮條紋、第5個與第6個亮條紋相對較暗，寬度也較窄。該實驗現象充分展現了第3個亮條紋并非完全缺失，而是被“劈裂”成了兩個寬度與間距減小的新條紋。

如果我們在不改變縫寬余縫間距的條件下增加縫的數量N ，則干涉極大將分為主極大與次極大，并且每個干涉極大的寬度會變窄，相鄰主極大間的次極大的數目為N -2，如果縫數足夠多，則多縫就演變成了光柵，此時主極大會變得非常窄，而且相鄰主極大間的次極大數量非常多，在兩者的綜合作用下，被衍射極小劈裂的主極大亮度甚至不如次極大，因此也就幾乎無法觀察到它的存在，這也正是“缺級”概念的來由。圖6為光柵（d：a=5）衍射的演示實驗圖像，其中被衍射極小“劈裂”的主極大與其它主極大相比幾乎不可見。

3 討論

從以上分析和實驗中可以看到，將來自于光柵衍射的“缺級”概念應用于縫數不夠多的多縫衍射時，需要更為嚴謹，否則可能會出現一些爭議。比如有如下練習題：已知接收屏與雙縫間的距離D =50cm，波長λ=480nm，縫寬a=0.020mm，縫間距d=0.10mm，若衍射主極大中央包線中恰好有11條干涉明紋，該縫間距d 應為縫寬a 的多少倍？

此題的一種解法是套用“缺級”的概念，認為如果讓k'=6的干涉極大與k=1的衍射極小位置重合，因此答案為6倍，這也是某習題集中的參考答案。但是仔細一想就會明白：如果要主極大中央包線中恰好有11條干涉明紋（此時的干涉明紋應指不考慮衍射效應時，相鄰的兩條亮度為零的線之間的條帶），則應該讓k'=5的干涉極小與k=1的衍射極小位置重合，如圖7所示，所以準確的答案應該是5.5倍。

4 結語

本文所述“缺級”的概念源自實驗現象，但是在教學中需要明確其物理本質，“缺級”不是干涉極大的消失。嚴謹地說，衍射極小的對干涉極大的作用不是簡單的掩蓋而是“劈裂”。此類細節問題在大學物理教學非常多，在具體實踐過程中，可以通過展示對這些細節的處理來引導學生嚴謹治學，注重掌握知識獲取的過程，由此激發學生的學習熱情，提升學生的獨立科學思維能力和探索精神。

參考文獻

[1] 楊曉雪. 大學物理（下冊）[M]. 武漢： 華中科技大學出版社， 2016.

[2] 許炳荃. 淺論雙縫干涉中的缺級現象[J]. 物理教學， 1984，（7）： 22-23.

Xu B Q. A brief discussion on the phenomenon of the missingorders in double-slit interference[J]. Physics Teaching，1984， （7）： 22-23. （in Chinese）

[3] 卜慶亮. 簡析雙縫干涉中的缺級現象[J]. 商丘職業技術學院學報，2008， （5）： 82-84.

Bu Q L. Brief analysis on the phenomenon of the missingorders in double-slit interference[J]. Journal of ShangqiuVocational and Technical College， 2008， （5）： 82-84. （inChinese）

[4] 孫玉瑛. 大學物理習題指導書[M]. 天津： 南開大學出版社， 1996.

[5] 吳百詩， 李存志， 鄭建邦， 等. 大學物理學習題分析與解答[M]. 北京： 高等教育出版社， 2005.