居家實驗: 硬幣彈跳

董佳豪　王槿　李文華　文小青　惠王偉

摘 要 本文給出了居家環境下基于智能手機研究硬幣彈跳的聲學頻率和產生的共振模式一種方案。理論上首先根據圓板的振動方程，給出了硬幣固有振動頻率的表達式。之后結合特定邊界條件，利用有限元的方法分析了三種類型硬幣的固有振動模式及對應頻率。實驗上利用智能手機測量了不同硬幣在自由振動時產生的聲音頻率，并與模擬計算結果進行比較，給出了合理的誤差分析。該居家實驗方案簡單有趣，物理原理豐富，易于在基礎物理實驗教學中推廣。

關鍵詞 硬幣;聲學頻率;智能手機;居家實驗

探究式學習通過以學生為中心的探索、反思和討論，深入了解自然現象和背后原理，有效培養本科生嚴謹求實的科學態度、自主學習能力和實踐創新能力等。由于疫情影響，居家實驗已經成為了中外諸多高校的實驗教學替代方案[1-3]。居家實驗要求實驗取材簡單廣泛， 源于生活，同時具有可定量測量、可探究、物理思想和原理豐富的特點。智能手機的普及以及其集成的高精度傳感器，為居家開展探究式實驗學習提供了可能。

1904年，瑞利獲得諾貝爾獎，他對現代聲學理論基礎做出了開創性的工作。其撰寫的兩卷本《聲學原理》為近代聲學奠定了基礎[4]。物體振動模式研究一直是基礎物理實驗教學中的重要內容，主要包括弦振動、板振動、膜振動等形式，如利用弦振動實驗測量駐波波長[5]、通過頻率共振測量動態楊氏模量[6]、2017年IYPT第十四題ResonatingGlass、2022年IYPT第十四題Ball on Membrane實驗[7]等。物體振動會產生一定頻率的聲波，因此可以利用智能手機收集聲音信號并進行頻譜分析，探究物體振動頻率。Rakestraw 等利用智能手機測量了若干種不同的實心硬幣的振動，并從硬幣材質、歷史等方面進行了比較與探討[8]。Manas等利用聲音振動來鑒別硬幣真偽[9]。

本文介紹了一種居家環境下基于聲學特性研究硬幣彈跳的方法。實驗中使用了日常生活中常見的實心硬幣、外圓中空的日本硬幣、乾隆通寶和面積較大的銀元。通過智能手機的上的聲學軟件探測硬幣撞到堅硬的表面時產生本征振動聲音的頻率，進行建模和實驗驗證。該居家實驗可以讓同學們了解平板振動的規律，即平板振動的頻率與平板的物理性質相關，包括其質量分布、形狀、尺寸、彈性模量和泊松比等。

1 實驗方法與原理

本實驗中采用了智能手機（Redmi K20，小米科技有限責任公司）的Spectroid軟件進行聲音的頻譜分析。實驗可以選擇在不同材質桌面（例如地板、木桌、實驗臺等）進行，本實驗中選用的是宿舍的木質桌面。實驗操作如圖2所示，在安靜的環境中打開手機測量軟件。為了滿足自由空間振動的條件，硬幣被兩手指夾持在桌面上方約1厘米處，垂直釋放銀幣并記錄其在桌面彈跳的聲音頻譜。

在進行從時域到頻域的轉換時，有幾個重要參數將影響頻域的測量效果。Spectroid軟件參數設置界面如圖3所示，需要設置的參數Samplingrate、FFT size、Desired transform interval分別對應于采樣率、傅里葉變換采樣點規模、期待數據轉換時間間隔。采樣頻率表示單位時間內從連續信號中提取并組成離散信號的采樣個數。FFT size 設置了每個傅里葉變換FFT 計算中包含的數據點的數量，通?？扇?56、512、1024、2048、4096、8192或16385。計算中包含的數據點越多，頻域中的帶寬越小。Desired transform interval參數可以反映FFT 計算的次數，求平均值以提高信噪比測量的結果。綜合權衡時間分辨率和頻率帶寬之間的關系，本實驗采樣頻率為48kHz，FFT采樣點數參數為2048，期待數據轉換時間間隔為100ms，實驗中設定的顯示的最高頻率為24kHz。

2 理論模擬

采用COMSOL軟件的特征頻率模塊進行模態分析和固有振動頻率的理論值計算。建模步驟為，首先按照硬幣的幾何形狀建立模型，再寫入硬幣金屬材料的物理屬性，然后采用自由四面體的方式對模型進行網格劃分，劃分大小為超細化，劃分結果如圖4所示。最后將約束條件設為自由狀態，對硬幣結構進行模態求解。

模擬結果如圖5至圖7所示，可以看出，三種類型硬幣的本征振動模式具有相似性，因為它們具有如式（6）所示的相同的振動頻率表達式 。由于其需要滿足不同的邊界方程，故λij 具有不同的取值。對于許多不同類型的板（例如圓盤、矩形、環形圓盤）和許多不同類型的邊界條件（例如自由、夾緊、簡支），文獻中已將系數λij 制成表格[10]。

通過軟件的模擬，我們得到各硬幣的理論振動頻率如表3所示。

3 實驗結果與討論

3.1 實心硬幣實驗結果

實心硬幣的實驗結果如表4所示，實驗值為多次測量的平均值。Spectroid軟件可以探測和顯示的聲波頻率范圍是有限的，實驗中設定的顯示的最高頻率為24kHz。和表3模擬結果相比較，只有部分模態的頻率數據可以被探測到。將實驗結果與理論計算的結果進行比較，我們發現，實驗結果與理論模擬相對誤差小于7%， 證明了實驗的可靠性。

3.2 中心孔對硬幣振動測量結果的影響

將四枚含孔型硬幣的實驗結果與理論計算結果相比較，如表5所示，實驗值為多次測量的平均值。我們發現，實驗結果與理論模擬的總體相對誤差小于8%。其中，除銅錢3硬幣的（0，1）振動模式頻率，其他實驗值與理論值相對誤差都低于6%，其相對誤差范圍與實心硬幣的相對誤差范圍是一致的，說明此實驗方法對含孔型硬幣的振動測量依然有效，且實驗精度相當。

為進一步探究中心孔對硬幣振動模式的影響，我們根據四枚帶孔硬幣的尺寸和材料特性重新建模（去除中心孔），將方孔和圓孔的理論結果與實心模型相比，如表6所示。

經過比較，可以發現：由于中心孔邊界條件的限制，會使得相應模式的振動頻率降低。例如日本五元圓孔型硬幣，在含圓孔時（2，0）模式的振動頻率為8.3kHz，要比不含圓孔時的振動頻率低0.5kHz。這與文獻[12]的分析結果是一致的。

3.3 實驗的可重復測量

由表7可知，本實驗有很好的可重復性。

3.4 模式分裂現象探究

在實驗過程中，觀察到多枚硬幣（一角硬幣、一元硬幣、5美分硬幣、25美分硬幣、日本五元硬幣、銅錢1硬幣）在（2，0）振動模態的共振聲學頻率明顯分為兩個可分辨頻率。如圖8（a）所示，一角硬幣a的兩個頻率分別為：20789Hz和21961Hz;如圖8（b）所示，25美分的兩個頻率分別為：9258Hz和9352Hz;如圖8（c）所示，日本五元的兩個頻率分別為：8109Hz和8227Hz。同時，在第一枚銅錢的（1，1）振動模態處也觀察到了兩個模式分裂現象，如圖8（d）所示，在（2，0）模式下的兩個相近頻率分別為6422Hz和6539Hz，在（1，1）模式下的兩個相近頻率分別為22570Hz和22805Hz。Manas[9]指出，這些硬幣不是簡單的扁平圓盤，由于造幣過程的不對稱，可能是造成分裂的原因。

3.5 材質對于測量結果的影響

硬幣制造所用的材料會根據實用性和成本而更改變[13]。硬幣的材料成分變化會導致楊氏模量和泊松比發生變化，進而導致物理尺寸接近的硬幣的振動頻率發生顯著差異。如我國的第五套蘭花一角硬幣共有兩種材質，一種是鋁材質（1999年發行，楊氏模量70.6Gpa），一種是鋼材質（2005年發行，200Gpa），其物理尺寸幾乎完全一致[14]。如表8所示，在（2，0）模式的共振頻率處，鋼材質硬幣的共振頻率要高于鋁材質硬幣的共振頻率。盡管鋁和鐵的楊氏模量明顯不同，但由于鋁和鐵密度的顯著差異，分別為2.102g/cm3 和7.810g/cm3，使得它們在（2，0）模式的振動頻率相近。同時，它們在模式（2，0）處都發生了頻率分裂現象。

3.6 面積和硬幣邊緣的影響

在所有的樣品中，只有表面積較大的銀元可以在實驗中探測到清晰的6種模式的共振頻率，實驗值為多次測量的結果（表9）。由理論計算可知，銀元的共振模式中，共振頻率低于24 kHz的共有8種。通過實驗測量共觀測到其中的6種共振頻率，其中有一種共振頻率的相對誤差為6.7%，三種共振頻率的相對誤差為10%左右，一種共振頻率的相對誤差為20%左右，相對誤差值要高于上述硬幣的實驗結果。

經分析，誤差主要來源可能是硬幣成分和邊緣影響。由于歷史和政治原因，所用的民國三年銀元曾發行過多個版本，先后在天津、江蘇、湖北、浙江、安徽、沈陽等各省造幣廠鑄造。在新中國建國初期（1949—1951），隨著解放軍向西北、西南等地挺進及解放西藏等，沈陽造幣廠和四川省分行等也鑄造過不同形態的該版本銀元[15]。不同時期鑄造的硬幣其成分和尺寸或略有差異，共振頻率也會有所改變。我們使用的銀元質量為19.32g，與一般所說的七錢二分（合26.8g）有差異[15]，不排除偽造或者磨損嚴重的因素。

另外，銀元硬幣的側邊為齒狀分布，而非光滑的圓面，導致其邊界方程發生改變，進而使理論值計算產生一定誤差，如圖9所示。

3.7 實驗中的其他誤差分析

硬幣振動將會產生聲波，可以使用智能手機的麥克風精確測量。其他物體與硬幣的任何接觸都會影響其邊界條件，從而影響其振動模式和振動頻率，因此應當測量硬幣在自由空間振動時的共振聲學頻率。

對于本實驗所產生的誤差，還可能產生于以下方面：（1）硬幣的表面并不是平整光滑的，而是有圖案的凹凸形表面。建模時簡化為表面平整光滑的平板，會造成一定的誤差。（2）硬幣的材料大多為合金材料，其楊氏模量和泊松比等物理參數較為復雜。建模中，我們選擇硬幣中主要金屬成分的楊氏模量和泊松比進行模擬計算，會造成一定誤差。（3）硬幣在長期使用過程中會造成一定的磨損，從而對硬幣的厚度、邊緣光滑性造成影響，進而影響硬幣的振動頻率。（4）硬幣在使用過程中會粘上一些非金屬材質的污垢，其物理屬性與金屬的物理屬性相差較大，對硬幣的振動頻率會造成影響。

4 結語

本文通過對不同種類的硬幣彈跳的共振聲學頻率的探究，提供了一個生動有趣的居家實驗方案。通過此項實驗，可以培養學生以下方面的能力：（1）探索平板振動中的力、表面波和能量等物理概念與原理。（2）研究表征本征振動的頻率模式如何取決于樣品的形狀尺寸和材料特性。（3）培養提出問題和解決方案的能力，將實驗結果與模型進行比較，構建解釋并發現新問題。在這個實驗學習過程中，可以通過貨幣探究來學習歷史。

由于篇幅限制，其他多邊形硬幣（例如六邊形和十二邊形的英國硬幣，十二邊形的香港紫荊花硬幣）、不同桌面彈跳結果對比、模式分裂現象等還有待繼續研究。此外，玻璃、瓷器、保溫杯等更復雜物體的本征振動聲學問題也可以逐步在基礎物理教學中開展。

致謝： 本文部分實驗測量在南開大學物理科學學院公能創新實驗室完成，感謝提供實驗室開放的老師和助教同學。

參考文獻

[1] 張增明.64學時大學物理實驗線上教學方案及其設計思路[J].物理與工程，2020，30（2）：7-10.

ZHANG Z M. 64 class hours online teaching scheme of collegephysics experiment and its design ideas[J]. Physics andEngineering， 2020， 30（2）： 7-10. （in Chinese）

[2] 樂永康.新冠肺炎疫情下美國物理實驗教學及中美情況對比[J].物理與工程，2020， 30（2）： 11-13.

LE Y K. Physics experiment teaching in the United Statesand comparison between China and the United States underthe COVID-19[J]. Physics and Engineering， 2020， 30（2）：11-13. （in Chinese）

[3] 王槿，朱江，李文華，等.啟發式的多層次居家物理實驗設計探索[J].物理實驗，2020，40（4）：31-37.

WANG J， ZHU J， LI W H， et al. Heuristic design ofmulti-level home physics experiment[J]. Physics Experimentation，2020， 40（4）： 31-37. （in Chinese）

[4] LINDSAY R B， RAYLEIGH J. Lord Rayleigh—The manand his work[M]. Pergamon Press， 1970.

[5] 張宇亭，趙斌，王茂香.弦振動實驗中駐波波長的測量方法[J].實驗科學與技術，2016，14（1）：42-45.

ZHANG B T， ZHAO B， WANG M X. Measurement methodof standing wave wavelength in string vibration experiment[J].Science Technology and Engineering， 2016， 14（1）： 42-45. （inChinese）

[6] 張凡，姜偉，呂丹.關于動態法測量金屬楊氏模量實驗的兩個重要方面的研究[J].大學物理實驗，2007（4）：35-38，42.

ZHANG F， JIANG W， LV D. Research on two importantaspects of dynamic method for measuring Youngs modulusof metals[J]. Physical Experiment of College， 2007（4）： 35-38， 42. （in Chinese）

[7] 國際青年物理學家競賽[EB/OL]. https：//www.iypt.org/problems/

[8] KRALJEVSKI I， DUCKHORN F， JU Y C， et al. AcousticResonance Recognition of Coins[C]//2020 IEEE InternationalInstrumentation and Measurement Technology Conference（I2MTC） mentation & Measurement TechnologyConference. IEEE， 2020.

[9] MANAS A. The music of gold： can gold counterfeited coinsbe detected by ear？ [J]. European Journal of Physics，2015， 36（4）： 045012.

[10] CHAKRAVERTY S. Vibration of plates[M]. Florida：The Chemical Rubber Company Press， 2009.

[11] 李立碑， 孫玉福. 金屬材料物理性能手冊[M].北京：機械工業出版社，2011.

[12] 梁清香，戴保東，王靈卉.圓孔對中厚圓板固有頻率影響的研究[J].太原重型機械學院學報，2003（2）：103-105，109.

LIANG Q X， DAI B D， WANG L H. Study on the influenceof circular hole on the natural frequency of mediumthick circular plate[J]. Journal of Taiyuan Heavy MachineryInstitute， 2003（2）： 103-105， 109. （in Chinese）

[13] 王永立.硬幣及硬幣材料的發展[J].材料科學與工程，1997（1）：68-70.

WANG Y L. Development of coins and coin materials[J].Journal of Materials Science and Engineering， 1997（1）：68-70. （in Chinese）

[14] 孫克勤.中國現代流通硬幣標準目錄[M].3版.上海：上?？茖W技術出版社，2020.

[15] 寇尚民.袁大頭銀幣鑄成數量考述[J].中國錢幣，2013（2）：24-30.

KOU S M. Research on the number of yuan Datou silvercoins[J]. China Numismatics， 2013（2）： 24-30. （in Chinese）