初中數學應用題的解題技巧研究

摘 要：數學作為我國教育體系中的重要學科之一，在初中階段占據著非常重要的地位.為提升學生的數學素養和數學思維能力，解題訓練是不可缺少的，尤其要針對一些特殊題型進行重點訓練.應用題便是如此，這是一類對學生理解能力、分析能力要求均較高的題型，在各類考試中都占據著較大的分值比例，教師應高度重視起來，幫助學生掌握常用的解題技巧.基于此，文章以初中數學應用題的解題技巧的為研究對象，同時分享部分解題實例供參考.

關鍵詞：初中數學；應用題；多元化；解題技巧

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）05-0020-03

應用題是通過語言或者文字對有關事實進行敘述，反映出某種數學關系，如數量關系、位置關系等，且求解未知數量的一類題目，每道應用題中都包含有已知條件與所求結論.在初中數學解題教學中，應用題的題型較多，不同類型的應用題需要用到不同的解題思路與技巧，教師應通過多元化的訓練，使學生能根據實際情況采用相應的解題技巧[1].

1 二元一次方程類應用題的解題技巧

二元一次方程類應用題在初中數學應用題解題訓練中較為常見.解決這類問題的關鍵是認真審題，充分理解題意，找到題目中相關條件之間的邏輯關系與數量之間的等量關系，據此設出未知數，建立二元一次方程組，最終使用二元一次方程組的相關知識把未知數求出來.需要注意的是，解決此類應用題時，應保證最終結果同實際情況相契合，讓學生學會全面考慮問題，使其掌握解答此類應用題的一些技巧[2]，提高其解題能力.

例1 王軍同學為本班購買課外書，回校后向班主任匯報：我購買兩種課外書，一共是30本，單價分別是20元與24元，買書前的700元還余下38元.班主任說他肯定搞錯了.

（1）班主任說王軍搞錯的原因是什么？結合所學知識解釋；

（2）后來王軍發現的確錯了，還購買了另外一本課外書，但是單價不清楚，只能辨認出是不滿10元的整數，假如單價是20元的課外書比單價是24元的課外書多，求外一本課外書的單價.

解析 本題理解起來難度不大，第一問比較簡單，建立二元一次組后不難解答，第二問難度稍大，學生應大膽設出參數，且依據題意找準參數之間的大小關系，再通過分析、計算確定最終答案.

具體解題過程如下：（1）設單價為20元、24元的課外書分別購買x本，y本，根據題意列出方程組x+y=30①，20x+24y=700-38②，解之得x=14.5，y=15.5，由于課外書的數量是整數，所以認為王軍搞錯了；（2）設單價為20元的課外書是a本，那么單價是24元的課外書有（30-a）本，另外一本課外書的單價是b元，根據題意可知a＞30-a，故a＞15，結合總錢數可得20a+24（30-a）+b=700-38，解得a=14+2+b/4＞15，因為b是小于10的整數，所以b=6，即另外一本課外書的單價是6 元.

2 分式方程類數學應用題的解題技巧

分式方程是一類比較特殊的方程，當遇到此類應用題時，教師首先要求學生仔細閱讀題目內容，了解題干所描述的情境，使其結合個人所學與生活經驗找到題目中參數之間的潛在關系，明確圍繞哪個參數來列方程.解完方程后，學生還要檢查結果的準確性.在初中數學解題教學中，不少應用題都能夠利用分式方程解決.

例2 張華家距離動物園1 900 米，一天他步行去看動物表演，走到路程的一半時發現沒有攜帶門票，這時距離表演開始還有23 分鐘，于是他馬上步行回家取票，然后騎自行車去動物園，假如張華騎自行車到動物園比步行少用20 分鐘，且速度是步行的5倍，進家取票花費4 分鐘，那么他是否可以在表演開始之前到達動物園？通過計算說明理由.

解析 通過審題發現，本題應構建一個有關路程、速度與時間的分式方程，先求出張華騎自行車與步行的速度，再根據路程、速度與時間之間的關系，計算所需時間，最后結合計算結果進行準確判斷.

具體解題過程如下：設張華步行的速度是x米/分鐘，結合步行與騎自行車之間的關系能夠列出分式方程1 900/x-1 900/5x=20，解之得x=76，經過檢驗x=76是該分式方程的解，即他步行的速度是76米/分鐘，依據題意需要計算出張華步行返回家中、取票和汽車去動物園三個時間的總和，即為1 900/2×76+1 900/5×76+4=21.5 分鐘，因為此時距離動物表演開始還有23分鐘，所以說他能夠在表演開始之前到達動物園.

3 一元一次不等式應用題的解題技巧

在初中數學教學過程，所學習的不等式知識以一元一次不等式為主，相應地會圍繞一元一次不等式安排應用題.這類應用題的題干描述往往與眾不同，會出現“不超過”“不少于”“不多于”“最少”“最多”等特殊詞，把握好這些詞是解決一元一次不等式應用題的關鍵.

例3 某商店計劃購進甲、乙兩種商品，其中甲的進價單價比乙多5 元，且用800 元購進的甲商品和用400 元購進的乙商品數量相同，現在要一共購進甲、乙兩種商品100 件，進貨資金不少于800 元，不多于850 元，那么有多少種進貨方案？如果甲商品的利潤是m 元，乙商品的利潤是（6-m）元，如何進貨才可以確保獲得的利潤最大？

解析 本題需先求出甲、乙兩種商品的進價單價，再根據總進價資金的范圍找到不等關系，確定參數取值范圍，并寫出關于總利潤的表達式，分析式子中各個參數的取值范圍，然后結合一次函數的性質求出最大利潤.

具體解題過程如下：設甲商品的進價單價是a元，乙商品的進價是（a-5）元，由此得到800/a=400/a-5，解之得a=10，即為甲、乙商品的進價單價分別是10 元、5 元.設購進甲商品x件，乙商品為（100-x） 件，則800≤10x+5（100-x）≤850，解之得60≤x≤70，由于x只能是整數，故一共有11種進貨方案；根據單價、數量、利潤之間的關系可得總利潤Q=mx+（6-m）（100-x）=（2m-6）x+600-100m，因為m＞0，當0＜m＜3時，總利潤Q隨x增大而減小，當x=60 時獲得最大利潤，最大利潤是（240+20m）元；當m≥3時，總利潤Q隨x增大而增大，當x=70 時獲得最大利潤，最大利潤是（180+40m）元.

4 三角函數類數學應用題的解題技巧

三角函數是初中生接觸到的一類特殊數學知識，初中階段以學習銳角三角函數為主，包括正弦、余弦、正切.解決此類應用題的步驟如下：（1）認真審題與讀圖，確定題設所求的問題；（2）根據題意，利用所學的幾何知識嘗試構造直角三角形，必要時添加輔助線；（3）求解未知量的值時，需要注意不同三角函數中線段之間的關系是不一樣的，以免因為關系弄錯而計算出錯誤的結果.

例4 如圖1所示，王勇同學計劃測量小山AF的高度，山底有一條長是60 m的斜坡CE，坡角是30°，他從點E處沿著斜坡走到中點D處，在D處測得山頂A的仰角是53°，坡頂C與小山之間的距離BC是100 m，那么小山AF的高度是多少？結果精確至0.1 m（tan53°≈1.33，3≈1.73）.

解析 解決本題時，應以所求結論為前提展開逆向推理，尋找要求解的未知量，再結合解題經驗添加輔助線就能進行分析，尋找角度和線段之間的關系，認真計算后即可得出準確結果.

5 二次函數類數學應用題的解題技巧

二次函數應用題是初中數學解題訓練中的一類難點題型.因為二次函數是初中階段難度最大、知識點最多和關系最復雜的一部分內容，處理此類應用題時對

學生的解題能力要求更高，要以仔細審題為基礎，結合題干描述與解題經驗準確找到二次函數關系，使其根據二次函數相關知識進行解題.

例5 一種土特產的生產成本是每個60元，為了解市場行情，準備先試銷一段時間，在試銷期間銷售單價不能比成本價低，利潤不能高于40 %，銷售量y（萬個）和銷售單價x（元）之間的函數圖象如圖2所示，那么當銷售價定為多少時有最大利潤？最大利潤是多少？

解析 解答本題時，學生需以充分理解題意為基礎，先根據圖象聯系一次函數知識，明確銷售量和售價之間的關系，再根據成本、利潤與銷售量建立二次函數，最后利用二次函數的性質求出最大利潤.

具體解題過程如下：根據一次函數圖象，可以運用待定系數法求出銷售單價和銷售量之間的函數關系，再結合題目信息找到自變量的取值范圍.從圖象中找到兩個點的坐標分別是（70，50）、（63，57），代入到一次函數解析式=kx+b中得到一個方程組，求出k=-1，b=120，即為y=-x+120，根據題意確定x的取值范圍是60≤x≤60（1+40%），即為60≤x≤84，則利潤Q=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7 200=-（x-90）2+900（60≤x≤84），該二次函數的對稱軸是x=90，開口方向向下，取值范圍在其左側，利潤Q隨著x的增大而增大，所以當x=84時有最大利潤，最大利潤是Q=-（84-90）2+900=-36+900=864（萬元）.

6 結束語

在初中數學解題教學中，應用題解題訓練是極為重要的一部分，在考試中做好應用題，不讓大題失分過于嚴重，往往就能夠取得優異成績.因此，教師應適當加強應用題解題練習，通過解題示范傳授技巧，幫助學生掌握一些不同應用題的不同解題技巧，全力提高學生解答不同類型應用題的能力.

參考文獻：

［1］ 江宋標.初中數學應用題解題能力培養的策略[J].基礎教育研究，2021（24）：66-68.

[2] 嚴蘭蘭.初中數學應用題的解題障礙及技巧[J].現代中學生（初中版），2021（10）：37-38.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡介：黃曉勇（1978.4-），男，福建省永春縣人，本科，中學一級數學教師，從事初中數學教學研究.