帶分布時滯的三階Emden-Fowler型方程的振動性

林文賢

(韓山師范學院 數學與統計學院,廣東 潮州 521041)

論文將考慮一類帶分布時滯的三階廣義Emden-Fowler型微分方程

(H1)0＜α≤1,β＞0,γ＞0,α,β,γ均為奇正整數之商;

(H2)r(t)∈C1([t0,∞),[0,∞)),r'(t)≥0,q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],(0,∞));

泛函微分方程的振動理論在控制工程、通信工程、機械工程、生物醫學和力學等領域有著廣泛的應用[1].文獻[2-7]研究如下一類具有三階Emden-Fowler微分方程

文獻[8]研究具分布時滯的三階方程

的振動性與漸近性.

文獻[9]考慮半線性中立型三階方程

其中:f(x)/xα≥δ＞0,x≠0,α≥1是兩個正奇數之比.在條件之下,得到該方程每個解振動或趨向于零的Phios條件,并提出公開問題:尋找該方程在非正則條件下,上述結論依然成立的充分條件.

受以上系列文獻的啟發,論文將繼續文獻[10]的研究,將利用廣義Riccati變換以及各種不等式技巧,考慮方程(1)在非正則條件

成立的情形下,建立方程(1)振動的一些新的振動定理,進一步完善和加深對該方程振動性的研究,拓寬該類方程在天體物理、流體力學和生命科學等方面的應用范圍.

1 主要結果

引理1[11]若存在θ＞0,A＞0,B＞0,有

引理2[11]設0＜λ≤1,則

(1)Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ,X,Y為非負實數;

(2)(1+X)λ≤1+λX,其中1+X＞0.

引理3[12]設z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＞0,z?(t)＜0,t≥t0,則存在η∈(0,1)和tη＞t0,使得

引理4[13]設函數z(t)滿足z(i)(t)＞0,i=1,2,…,k,且z(k+1)(t)≤0,則)最終成立.

引理5設x(t)是方程(1)的最終正解,則z(t)只有下列3種可能:

(I)z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＞0;

(II)z(t)＞0,z'(t)＜0,z″(t)＞0;

(III)z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＜0.

證明設x(t)是方程(1)的最終正解,則存在t1≥t0,使得當t≥t1時,有x(t)＞0,x(τ(t,μ))＞0,x(δ(t,ξ))＞0,μ∈[a,b],ξ∈[c,d].易知z(t)＞x(t)＞0,且

故函數r(t)(z″(t))β是減函數,且最終定號,有z″(t)＞0或z″(t)＜0,t≥t1.如果z″(t)＜0,則z'(t)非增且定號.若令z″(t)＜0和z'(t)＜0,t≥t1,得到當t→∞時,必有z(t)→-∞,此與z(t)最終為正矛盾.從而證明z(t)只可能有上述3種情況.

引理6設x(t)是方程(1)的最終正解,z(t)滿足引理5情形(III),則

證明由z(t)的定義,引理5條件(III),(H3),(H4)及引理2可得

由引理5條件(III)知,z(t)＞0,z'(t)＞0,于是z(δ(t,c))≥z(δ(t1,c)),t≥t1.記z(δ(t1,c))=k＞0,則z(δ(t,c))≥k,t≥t1,因而

從而式(7)成立.

則方程(1)的所有解振動或收斂于零.

證明用反證法.設方程(1)有非振動解x(t).不失一般性,設x(t)最終為正,由引理5,z(t)只可能有(I),(II)和(III)3種情形.

首先,設z(t)滿足引理5情形(I),此時由文獻[10]中定理1(即定理A)的證明可產生與式(2)矛盾,即方程(1)的所有解振動.

其次,設z(t)滿足引理5情形(II),由文獻[10]中定理1的證明和式(3)可得

最后,設z(t)滿足情形(III),即z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＜0,(r(t)(z″(t))β)'≤0.因而由引理6,式(7),有

引進函數

則v(t)＞0,t≥t1.對式(10)求導并利用(9),有

由引理4,得到z(t)≥tz'(t),t≥t1,則當δ(t,c)＞t1時,有z(δ(t,c))≥δ(t,c)z'(δ(t,c)).又由于z(t)滿足引理5情形(III)且δ(t,c)≤t,于是z'(δ(t,c))≥z'(t),有

將式(12)代入(11),有

當β≥γ時,非減,故存在常數K1＞0和充分大的t2,使得

由式(10),(13),有

當γ≥β時,函數非減,故存在常數K2＞0和充分大的t3,使得

此時,式(14)可以寫成

聯合式(14),(15),有

其中:λ=max{β,γ},K=min{γK1,γK2}.

又由式(6)可知,r(t)(z″(t))β非增,存在T≥t3,使得

從t到l對式(17)積分,有

因而

聯合式(10),(18),有

當β≥γ時,(z'(t))β-γ非增,故存在常數l1＞0,使得

由式(18),有

當γ≥β時,上式左端函數非增,故存在常數l2,使得

由式(19),(20),有

其中:λ=max{β,γ},L0=l1+l2.

將πλ(t)乘式(16)且從T到t積分,并利用分部積分法和式(21),有

利用引理1,取A=λ,B=Kπ(s),則式(22)為

顯然式(24)與式(8)矛盾,故方程(1)的所有解振動或收斂于零.

2 實 例

考慮下列三階中立型微分方程

故式(8)成立.因此由定理1得,方程(25)的所有解振動或收斂于零.

注由于實例中的,因而文獻[10]中的定理不適用于方程(25).