構造法求解一類圓錐曲線斜率問題

李永蓮

摘 要：圓錐曲線中與斜率有關的問題綜合性較強，屬于偏難題.常規解法對于學生分析問題、數學運算等方面的能力要求很高.在這類問題的解法教學中，在強調通解通法的基礎上，如果能夠引導學生依據斜率公式的結構特征巧妙構造，在一定程度上，可以有效降低數學運算的難度，提高解題效率，最終達到培育學生數學核心素養的目的.

關鍵詞：直線斜率;通解通法;構造

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0076-03

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.其實，正是因為圓錐曲線綜合題的特點，我們在教學中可以適當利用這些資源，來培養學生數學運算等核心素養.

1 試題呈現

2 解法探析

2.1 參考解法

解析 將點A的坐標代入雙曲線C的方程有

設直線l的方程為y=kx+h，另設P，Q兩點的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），聯立直線l和雙曲線C的方程，消去y可得

（2k2-1）x2+4khx+（2h2+2）=0.

根據已知條件kAP+kAQ=0，而

2.2 解法優化

因直線PQ不經過點A，可設其方程為

m（x-2）+n（y-1）=1（m，n不同時為0）.

（x-2+2）2-2（y-1+1）2=2.

即（x-2）2-2（y-1）2+4（x-2）-4（y-1）=0.

將上式中所有一次項乘m（x-2）+n（y-1）得

（x-2）2-2（y-1）2+［4（x-2）-4（y-1）］·

［m（x-2）+n（y-1）］=0.

整理得：（1+4m）（x-2）2-（4m-4n）（x-2）·（y-1）-（4n+2）（y-1）2=0.

將上式左右兩邊同時除以（x-2）2得

2.3 方法要點

2.3.1 適用情形

不經過點A（x0，y0）的直線l與二次曲線C交于P，Q兩點，研究的是兩直線AP，AQ的斜率之間的關系，比較常見的情形是研究kAP+kAQ或kAP·kAQ.

2.3.2 解題步驟

此類問題的解題過程一般有如下幾步：

S（k）=0的兩個實數根，根據韋達定理即可得出兩者之間的關系kAP+kAQ和kAP·kAQ.

3 例題示范

解析 因為直線l不經過點P（0，1），可設其方程為mx+n（y-1）=1（m，n不同時為0）.

將其中一次項y-1乘以mx+n（y-1）得

x2+4（y-1）2+8（y-1）［mx+n（y-1）］=0.

整理，得x2+（4+8n）（y-1）2+8mx（y-1）=0.

將上式左右兩邊同時除以x2，得

即直線l過定點（-1，-1）.

4 教學建議

“構造法”在求解過程中，的確可以有效降低運算的難度，但卻存在兩個理解上的難點.

第一，不經過點A（x0，y0）的直線l的方程可以

第二，將方程G（x-x0，y-y0）=0中的所有一次項都乘以m（x-x0）+n（y-y0），常數項乘以［m（x-x0）+n（y-y0）］2，構造出關于x-x0和y-y0的二次齊次式方程H（x-x0，y-y0）=0.這一步是為在H（x-x0，y-y0）=0的兩邊同時除以（x-x0）2，從而構造出關于k的二次方程S（k）=0，將直線斜率轉化為方程S（k）=0的實數根.

5 結束語

通解通法固然不能偏廢，但對于某些典型的問題類型，我們可以引導學生分析得出較為優化的解法，降低運算量，從而培養學生良好的思維品質.對問題進行充分的分析和思考，在一定程度上可以減少運算的難度，從而提高解題的效率.

參考文獻：

［1］ 張殷兵.構造法在高中數學解題中的運用措施探討[J].數理化解題研究[J].2021（09）：31-32.

[2] 程建剛.構造法在高中數學圓錐曲線解題中的巧妙運用[J].中學數學，2016（07）：71-73.