數學方法在保險學中的應用

嚴 珉

【摘要】：隨著科學技術的發展，數學作為一門基礎學科，已經廣泛地，應用于各個科學領域，并在社會經濟生活中起著越來越重要的作用。就保險而言，數學的應用使現代保險的科學性得以充分發揮，為人們的保險活動提供了科學的理論依據。因此，數學在保險教育中顯得尤為重要。數學是保險學的數理基礎，是保險業科學經營的依據。

【關鍵詞】：保險學連接函數風險模型泊松分布動態微觀模擬模型

保險不僅是一種經濟行為和法律行為，同時也是一種科學行為。而現代數學則是保險科學行為的數理基礎。

一數學對保險的意義

概率論和大數法則既是保險學得以確立的數理基礎，又是制定各種保險費率的科學依據。概率論和大數法則的發現及應用不但使人們在保險活動中比較準確地預測未來損失，而且還為保險活動中的損失分攤提供了合理準確的方法。概率論和大數法則揭示的承保風險單位的數量越多風險越分散這一規律，為保險的科學經營提供了依據。大量隨機現象的平均結果與每一個別隨機現象的特征無關，就使保險人擺脫了對個別標的隨機風險無力把握的窘境，而把注意力轉向千千萬萬個保險標的總和的風險責任的把握，使保險人不必耗費大量精力去一一估價每一保險標的隨機風險。而把保險標的總體的平均風險責任視同個別保險標的的預期風險責任。

保險企業經營保險業務是通過不斷的推出新險種得以實現的。而新險種的保險費率的制定是否科學、合理決定著這一險種是否能夠推出和發展，以及保險公司最終能否繼續經營和生存下去。因此，從某種意義上講，沒有數學作依據，就沒有科學意義上的保險，更不會有保險科學。

二連接函數在保險產品中的應用

人壽保險中有一類保險，是一張保單以多個生命體為承保對象，且生命體之間具有較為親近的關系，它叫做連生保險。傳統的連生保險生存概率處理方l法較為粗略，忽略了生命體之間的相互關聯性，已無法滿足更精更準的要求。隨后連接函數被引入到連生保險中，用連接函數特有的性質來處理這種相關性。

連接的數是把多元隨機變量的聯合分布與它們各自的一維邊際分布聯系起來的函數。事實上，連接函數就是一個多變量分布函數，對每一個具有連續的邊際分布的多元分布，存在著唯一的一個連接函數表達式可以度量它們的相依結構。

在連生保險中，所涉及的各個生命體之間往往是具有某些經濟、婚姻、血緣的聯系，從而導致了各個生命體的剩余壽命隨機變量之間存在著某種相依關系，這種相依關系必然會對定價產生一定的影響。保險產品的精算定價要求以公平性為原則，并且在競爭日趨激烈，消費者日趨理性的保險市場中，產品的價格過高會削弱市場競爭力，產品的價格過低又會使公司面臨風險，這些都對精算定價提出了更高的要求，要求精算定價能夠盡量真實地反映保險產品所面臨的風險，做到更精、更準。

使用連接函數建立模型能精確地反映保險產品所面臨的風險。在連生保險中，用來擬合被保險人聯合生存概率結構的一般模型通常是一個合適的連接函數與描述單個生命體壽命的邊際分布函數的模型組合。

三風險模型在保險精算學中的應用

保險精算學是以數學知識和數理統計為工具。對保險業經營管理的各個環節進行數量分析，為保險業提高管理水平、制定策略和作出經營管理決策提供科學依據和運作途徑的一門學科。它已成為保險業在激烈的市場競爭中賴以生存和發展的重要因素之一。精算技術對保險公司的經營和發展起著非常重要的作用，可以說沒有精算也就沒有真正意義上的保險。

風險模型是風險理論的一個重要組成部分，也是精算工作領域的一個重要組成部分。風險理論往往要借助于風險模型以利用概率論知識給出保費的計算方法。

我們知道，保險公司的盈余資本主要取決于保費的多少和賠付次數的多少。保費是需要由保險公司確定的，賠付次數的多少取決于投保事故發生的概率。保險公司在做盈余資本的規劃時必須預先知道投保事故發生的概率才能確定保費?？梢哉f，投保事故發生的概率是確定保費的關鍵，是保險公司最關心的問題。因此確定投保事故發生的概率對保險公司正常經營有著意義重大。

如風險模型中的蔣氏生存模型，它給出了接觸有害物質人群患病概率的算法，將該模型應用于針對該人群的保險中有著一定的理論意義與實際意義。在進行保險精算務實及保險風險管理決策過程中可發揮一定作用。

蔣氏生存模型認為個體的死取決于內部和外部這兩個完全不同的因素。內部因素是指個體的年齡及健康狀況等內在原因，外部因素是指周圍生存環境對個體的影響。假設個體持續暴露在一個有輕度污染的環境中，同時排出一部分已吸收在體內的有害物質，那么殘留在個體體內的有害物質就是導致個體死亡的外部因素。這個模型是用于研究接觸有害物質人群的，可為該人群提供了一個生存分析參數統計模型，從而分析許多實際中有關生存的問題。

蔣氏生存模型給出了一個接觸有害物質人群的生存概率表達式，同時也給出了該人群的患病概率的表達式。因此該模型可應用于解決針對這類人群的工傷保險中的精算問題。也就是說，蔣氏生存模型由于給出了該人群的患病概率的表達式，因而可用于解決工傷保險中保費的確定問題。

四泊松分布在保險學中的應用

無論是在自然科學領域還是社會管理活動中，我們都會遇到各種計數數據。通常情況下，泊松分布以及泊松過程對于描述這些社會管理活動、生產活動等產生的計數數據具有非常好的擬合效果。但在實際環境中，由于各種影響之間可能相互抵消，或者有些影響可以忽略不計，就常常會出現產生次品的概率非常小的情況，也就是次品數為零的情況大大增加。此時對于含零特別多的計數數據，人們構造了一種新的分布，就是零堆積泊松分布。該分布是將一個在零處具有概率質量的退化分布和一個普通概率分布相混合得到的。

在非壽險數學中，聚合風險模型常常被用來近似個體風險模型。在聚合風險模型中，風險組合被看作是一個隨著時間變化而逐漸產生新理賠的保險風險過程。這些理賠被假設為獨立于分布的隨機變量序列，并且獨立于時間段內的理賠次數。于是，總理賠額便可以表示為一個由獨立同分布的理賠額變量相加構成的隨機和。通常情況下，人們假設理賠次數是一個具有特定均值的泊松變量，將理賠次數的分布定義為零堆積泊松分布。

在保險中，尤其是針對機動車輛保險，保險公司一般會實行無賠款折扣制度，這就使得人們在去保險公司索賠前衡量利益損失，因此會使索賠次數為零的情況大大增加。但一旦發生索賠，因為已經不會享受無賠款優待，所以又會使索賠次數較多的情況增加。這樣的保險數據，用零堆積泊松分布去擬合，就會得到非常好的擬合結果。

五動態微觀模擬模型在養老保險中的運用

養老保險制度是社會保障制度中最重要的組成部分之一。養老保險制度能夠通過某種形式的社會統籌和安排，強制或非強制性地實現個

人收入在時間路徑上的社會最優分配或個人最優分配(包括財富的代際和代內轉移)，從而有效消除年老時由于獲取收入能力下降所造成的風險。

然而，公共政策的設計和評價需要宏觀經濟模型的支持，但傳統的宏觀經濟模型由于采用典型個體分析模式或總量分析模式，無法分析公共政策對異質性微觀個體的收入分配效應和由于微觀個體狀態改變導致的財政效應。隨著計算機仿真技術的發展，以及政府統計部門微觀數據調查的范圍越來越廣，微觀模擬模型得到日益廣泛的應用，已經成為政府部門制定和分析公共政策的有力工具。特別是在養老保險制度研究領域，微觀模擬方法已經被認為是最適合分析制度改革對同期和跨期個人收入分配造成影響的方法之一。

微觀模擬模型可以提供一個在社會經濟系統中真實的、具體的模擬社會經濟狀況和實施政策的環境。模型通過對個體微觀單位有關特征量的實際模擬，在微觀個體上具體實施有關政策，再對政策產生的影響進行總體的統計和估計，從而得到政策實施的宏觀效果。微觀模擬模型也可以分析政策實施對總體中不同群體的影響，從而比較一種政策的實施對哪一類群體有利，對哪些群體影響大等問題，特別適用于政策分配效果的評估。

動態模型比較復雜，適用于較長期的模擬和分析，常被用于分析著重考慮長期效果的社會經濟政策項目，如養老保險制度和失業保險制度等。動態模型使用橫截面調查數據，模擬過程中產生大量家庭、收入、工作等這樣描述每個主體一生中每一年情況的信息。動態模擬模型能夠通過應用模擬技術預計微觀單位未來的特征，所以能夠分析社會人口統計學結構的變化，從一個動態發展的觀點出發分析公共政策的作用效果。

有學者曾應用荷蘭微觀模擬模型分析了養老金平滑利率模式，發現平滑利率模式的社會保障制度對終生收入再分配的影響和與收入相關的社會保障制度沒有很大區別，社會輔助制度對部分群體的收入再分配作用較強，兩種制度對收入都有調節作用，而養老金制度加深了收入不平等程度。

六總結

保險業是經營風險的特殊行業，保險公司經過評估保險標的風險大小，以收取合理的保費為條件，按保險合同規定的保險責任賠付被保險人損失。隨著社會的發展，人們的保險意識也在不斷增強，保險公司在經濟和社會發展中已經成為了不可缺少的社會主體，與人民生生活息息相關。如何將統計模型應用到保險中來解決實際問題，已經成為統計學中一個重要的課題。

綜上所述，數學在保險學中處于基礎性的地位，保險的運作是否良好需要數學方法的運用。