挖掘習題價值，提高教學效率

羅清清

摘要：新課程改革已在省內全面展開，本文試通過對一道向量習題的展開，結合課本中的大量例題、習題，來簡要闡述向量中的一些知識點之間的聯系及一些有用結論的運用，借此來談自己的一些粗淺的教學體會。

捷克教育家夸美紐斯在《大教學論》中寫道：“課堂是有生命的物質空間，是學生充滿生機的思維領域，學校的課堂教學，主要目的在于促進學生思維發展，提高學生的數學思維能力?！毙碌恼n程改革也要求教師能提升學生的思維，讓學生遠離題海，減輕學生的負擔。為此，在教學實踐中，我們有必要關注訓練的習題，充分挖掘習題的價值，努力提高教學效率。下面我就對向量中的一道習題，談一談我個人的一點教學體驗之愚見。

習題1：蘇教版必修4，P70/練習3；原題如下：

已知：ΔABC中，D是BC的中點，用向量〢B,〢C表示向量〢D.

教學時發現，學生較易從“形”的角度，以〢B,〢C為鄰邊構成平行四邊形，由平行四邊形法則推知：〢D=12(〢B+〢C)；┆另外，聯想加法的定義，由〢D=〢B+〣D;〢D=〢C+〤D;兩等式左右相加，可得〢D=12(〢B+〢C)。

反思1：回味解答過程，積累解題經驗

上述解答過程中，雖然從圖形入手比較直觀而且簡潔，但第二種處理過程中，我們根據ABD和ACD兩個三角形回路，依據向量加法構造兩個回路等式，解決了問題，回路思想的運用，同樣給我們的解題過程帶來了清新的感覺，讓我們感嘆了數學之美！

反思2：圖形發散變換，整合習題資源

將上述習題圖形略經變換，可思考下列一系列的類似習題：┆

1）將三角形變為四邊形，一邊中點變為取兩對邊中點，即得課本P66/7：

在任意四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，求證：〦F=12(〢B+〥C)

2）可思考取任意四邊形ABCD四邊的中點，構成什么圖形？

3）取任意四邊形ABCD兩對角線的中點即得：課本P70/練習4：

設P，Q分別為四邊形對角線AC和BD的中點，〣C=゛,〥A=゜,并且゛,゜不是共線向量，試用基底゛,゜表示向量㏄Q.

上述一連竄習題，串聯成鏈，作為一個習題組進行練習，由于均可采用類似方法處理，在一定程度上有利于學生解題能力的提高。

反思3：特殊轉為一般，拓展思維空間

習題1中，將中點D的特殊位置變為一般情形，即得課本P64/練習4：

已知：㎡A和㎡B是不共線向量，〢P=t〢B,(t∈R)，試用㎡A,㎡B表示㎡P.

運用加法回路的方法解答如下：

㎡P=㎡A+〢P=㎡A+t〢B=㎡A+t(㎡B-㎡A)

∴㎡P=(1-t)㎡A+t㎡B;（*）

課本P65/例4;P72/例4也都分別從式和坐標兩方面敘述了這個問題,由這些習題稍加抽象,結合課本P75/探究拓展11,我們即可得到如下重要命題:

命題1：已知㎡A,㎡B不共線，P點在AB上，則有㎡P=λ㎡A+μ㎡B,且λ+μ=1；

（*）式從另一方面也可以這樣理解：起點為O，終點為直線AB上一點C的向量㎡C可以用不共線向量㎡A,㎡B來表示，結合向量共線定理，我們不難得到平面向量基本定理，從該定理可知：

命題2：如果四個向量之間有等式゛+゜=ヽ+ヾ,并且゛,ヽ共線，゜,ヾ共線，但゛,゜不共線，立刻推得゛=ヽ,゜=ヾ

上述兩個命題在我們解題時，若能靈活運用，有時可收到事半功倍的效果，使煩瑣的解題過程得到優化，列舉兩例比較如下：

例1：設G是ΔOAB的重心，過G的直線與OA，OB分別相交于點P，Q，已知㎡P=h㎡A,㎡Q=k㎡B,試問：1h+1k的值是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

解法1：常規設置未知數列方程求解

解：㏄Q=㎡Q-㎡P=k㎡B-h㎡A；

又㏄G=㎡G-㎡P=13(㎡A+㎡B)-h㎡A；

且P,G,Q三點共線，由共線定理得：

㏄Q=λ㏄G，∴k㎡B-h㎡A=λ13(㎡A+㎡B)-h㎡A；

即：(hλ-13-h)㎡A+(k-13λ)㎡B=0；

∵㎡A,㎡B不共線，∴hλ-13-h=0

k-13λ=0；∴1h+1k=3

解法2：利用命題1，優化解題過程

解：由㎡G=13(㎡A+㎡B)=13h㎡P+13k㎡Q；

又∵P,G,Q三點共線，∴13h+13k=1,即1h+1k=3，兩種解法，繁簡判然。

例2：課本習題P67/思考運用11：

平行四邊形ABCD中，E是DC的中點，AE交BD于M，用向量方法證明：M是BD的一個三等分點。

解法1：運用共線定理，設未知數列方程求解

解：設〢B=゛,〢D=゜

〥M=〥E+〦M=12゛+λ〦A=12゛+λ(-゜-12゛)

=12(1-λ)゛-λ゜

又〥M=μ〥B=μ(゛-゜)；

∴12(1-λ)゛-λ゜=μ(゛-゜)；∵゛,゜不共線，∴12(1-λ)=μ

-λ=-μ；

解之得：λ=μ=13;∴M是BD的一個三等分點。

解法2：構建回路等式，巧妙解決問題

解：由〢B=〢M+㎝B;〥E=〥M+㎝E;

又〥E=12〢B,∴〥M+㎝E=12〢M+12㎝B；

〥M與㎝B共線,㎝E與〢M共線,〥M與㎝E不共線

∴〥M=12㎝B;㎝E=12〢M，即M是BD的一個三等分點。

通過上面一系列的思考，我們從一道習題可依次得出向量中一系列的知識、解題方法，如何做到真正意義上的學生減負，我認為關鍵在于課堂，必須要提高課堂的教學效率，有效綜合各個知識點，尋找它們之間的聯系，做到由一點牽一面，由一題思一片，這樣學生就能避免盲目做題，擺脫題海，從而達到減輕學生負擔，提升學生能力的目的。

參考文獻：

［1］：普通高中課程標準實驗教科書數學必修：江蘇教育出版設，2007.6

［2］：張景中、彭翕成，論向量法解幾何問題的基本思路.數學通報,2008.2

［3］：劉宏，淺談教學后的反思.高中數學教與學,2005.11