談《概率論與數理統計》的教學

吳博峰

摘要教學目標明確，知識內容技巧性的展現，是良好教學效果不可或缺的兩個條件。本文提出“以人為本，以用為準”教學理念，并通過概率論教學實例闡述本文觀點。

關鍵詞應用 實踐 興趣 構建 思維

筆者認為，教師在教學觀上應堅持以人為本的原則。以人為本的教學觀是將學生作為整個教學活動的核心，充分考慮學生的個性需求、情感接受、求知欲望以及對已有的知識的掌握情況等各方面因素，尊重教學規律和認知規律，以直接講授、情境啟發、實例分析等教學方法，將傳統板書教學、多媒體教學與實驗探索求證相結合，培養學生自主學習能力和知識應用能力，以最終達到促進主體發展的教學目的。同時教師在教學內容上堅持以應用為準則，重視構建理論知識與生活經驗之間的橋梁，使學生有更多的機會從周圍熟悉的事件中學習和理解知識的現實意義，培養學以致用的能力。當代著名數學家、教育學家、沃爾夫獎獲得者H.惠特尼(Whitney,Hasselr)曾指出：“學數學意味著什么？當然是希望能用它，……最好的學習就是用，并且古今皆知僅在你有自己的想法時才有真正的學習?！敝麛祵W教育家H.弗洛登塔爾(Freudenthel,Hans)指出：“數學源于現實，并且用于現實?！彼?，讀書的實質是將人類已有的智慧結晶內化為自身理解的同時物化于實踐中，因此，應用是目的，也是學習的最根本動力因素。

筆者多次執教大學數學基礎課程中的《概率論與數理統計》，就結合自身對這門課程的教學經驗談談本文提出的“以人為本，以用為準”理念的心得體會。筆者認為，書本的理論知識對學生而言是間接經驗，生活認識才是直接經驗，邏輯嚴謹的理論知識與學生感性的生活認識有著難以跨躍的鴻溝。因此，要上好這門課，首先應以生活實例和學生熟悉的情境入手，建立數學模型，并借用概率統計知識和分析方法去理性地認識生活，縮短學生認知結構中理論知識與客觀實踐的距離，消除學生對概率統計的陌生感。所以概率統計教學要以一定的感性認識為基礎。只有在這個基礎上，學生才能比較容易地將來自書本的間接經驗與生活中的直接經驗連接貫通，接受、認可教師的課堂講授。筆者在教材內容講解中特別注意以下幾個環節：

一、介紹新的知識理論時，追本求源，讓學生了解和感受知識的原始創新

課程內容要能引起學生的興趣,要能引人入勝,首先教師要對這門學科的發生和發展的來龍去脈及其對人類社會的功用與影響有著深刻的了解，然后再組織好教學內容，使學生領會其基本線索、概念、原理、規律及其獨特的研究方法。筆者上《概率論與數理統計》這門課程時，結合自己的理解，以故事的形式講述概率論起源于法國中世紀的一場賭博糾紛的歷史，吸引學生的興趣，然后提出不同立場的各種意見，鼓勵學生思考辨明，引導學生分析問題的實質，最終確定最合理的方案。當時中世紀的幾個數學家，帕斯卡、費馬、惠更斯等人就是在這個問題上達成了這個共識，由惠更斯發表了第一篇完整的概率論著作《論機會游戲的計算》，由此開始了將隨機性問題作為一門嚴謹的理論科學而加以研究的學習領域, 最終現在，《概率論與數理統計》已經作為一門完整的學科并廣泛應用在生活、生產的各個方面。以問題再現的方式，讓學生感受真實情境的困擾，體驗前人的原始創新，不僅能夠激發學生的學習興趣，而且培養了學生的應用意識，這樣一來學生就不會再把概率當作突如其來的“空降”知識，而是將它理解成為我們探索、解決各種問題的科學工具，在學習過程中摒棄死記硬背，樹立研究精神，端正學習態度。

二、對概念、公式、定理的講解配合通俗舉例，讓學生發自內心接受

概念、定義，是學習新知識的第一道門檻。數學中的概念、定義都是在理論和實踐的千錘百煉中形成的，通常比較簡練和抽象，它對應著生活中的某種成熟認識。教師應引導學生體會概念、定義產生的可能性和必要性，感受其產生給思考和解決問題帶來的思維上的方便和清晰，然后適時將概念的內容加以應用，通過通俗易懂的例子讓學生發現它抽象外表下的簡單實用。以條件概率為例，學生常覺得困惑，條件概率和普通概率有什么區別？其實條件概率表示的是范圍被約束的一類事件的概率，比如“甲廠的合格率”、“患肺癌的人中吸煙的概率”“擔任班委中男生的比例”等都屬于受到范圍被約束的概率，“產品的合格率”、“男生的比例”等屬于普通概率。引入條件概率的定義就可以很清楚地區分兩者的差別，使問題的解決顯得更便捷。如此一來，學生就明白了概念、定義都是用于解釋描述直接或間接認識到的現象時所作出的智力構建，它的實際用途是很明顯的。這樣，學生就能比較容易被概念的魅力所吸引，從而認可并嘗試熟悉應用它。

三、講解課堂例題時，拓展外延

數學的例題、練習非常多，但題目都是針對定義、定理、公式等展開的驗證或解釋，做題的目的就是培養熟練計算以及理解運用的能力。有一部分習題是純粹的復雜計算、邏輯推導，顯得很單調、枯燥，學生通常也很排斥厭倦，教師有時候可以根據習題內容適當地構建一些意境，讓學生明白解決實際問題除了需要靈活的思維能力還必須具備扎實的計算基礎。比如一道很普通的二維隨機變量均勻分布類型的題目：隨機變量X、Y服從[0，60]均勻分布，求P(X+10≤Y≤X+15) ,運用二重積分即可計算出，但引導啟發學生時不妨引申個生活假設：甲、乙兩人約下午一點鐘到兩點鐘間會面，甲先到等乙10分鐘，乙先到等甲15分鐘，他們在一點到兩點的任何時刻都可能出現，問他們能夠會面的概率。學生的生活經驗很容易理解這種生活情境，面對這樣的問題就會積極進行思考，這時教師再逐步啟發學生運用隨機變量來構建數學模型，確定變量間的關系表達式，然后利用數學計算方法得出結論，大部分學生就不會覺得純數學計算解題的枯燥生澀，同時激發起對知識內容和計算方法的求知欲望，而尖子生們也能夠感受到從理論指導到實踐應用的途徑和技巧，對于他們創新思維能力的培養也有幫助。這種簡單的聯系教學，在筆者看來很有意義。學習一門自然科學，它的意義并非在于一定要能解決很大的問題，而在于能將這門科學的思維、理念融入自身的認知系統，有所感悟，有所觸進。數學應該成為所有學習者能用來解釋生活現象、解決社會問題的理性科學，所以教師在講解例題時，應盡可能地聯系生活實際，盡可能地選擇簡單易懂的日常事例，讓學生認識到社會生活本質抽象出來就是數學的問題，運用數學思維方法能清晰有效地認識社會現象，從而達到培養學生數學思維能力的目的。

四、注重思維方法傳授，培養學生的應用意識

教學中應該讓學生擁有自學的能力和興趣，不僅只是把知識灌輸給學生，而是要教會他們用這種思想方法去分析、解決具體的實際問題。例如在講到隨機變量的數學期望時，這是一個很抽象的概念，它的理論意義表示隨機變量的概率平均值，但如果將其用來分析生活生產實踐，將會發現它的用途與我們的聯系非常的緊密。筆者曾將其設計為一個項目投資的數學模型。項目是否值得投資，關鍵是考察其回報，但回報是發生在投資進行之后的結果，因此在投資之前，考察這個回報時只能稱作預期回報。理性的人們總是希望相同數量的投資能獲得最大的預期回報，而這個預期回報實質就是數學期望，它等于這個項目投資的各種可能的獲利結果的概率平均值。運用這一知識理論，同學們就可以判斷一個項目是否值得投資或者在幾個投資項目中確定最有利的選擇，拿生活中一個很常見的投資行為----購買體育彩票“36選7”是否選擇復式投注為例說明。按游戲規則，16元可以購買7注單式彩票（7個號碼）或者1注復式彩票（8個號碼），假設特等獎、一等獎、二等獎......六等獎的獎金金額是固定的，將投資16元所能得到的回報看作隨機變量X，我們只要計算這兩種購買方式的各種結果的概率，則它的期望回報E(X)就可以按數學期望的計算公式確定。當然，事實上特等獎、一等獎等獎金金額是浮動的，因此學生們需要從體彩站、網絡等渠道獲取信息，用點估計的方法求解出這兩個獎項獎金金額的一個估計量，從而比較兩種投資方式的期望回報，選擇理性的投資方式?？陀^真實、意義積極、難度適中的課題設計可以培養學生敏銳的洞察能力和系統分析能力，對信息收集分析能力，激發學生強烈的求知欲望以及運用理論指導實踐的創新思維。

以上幾點是筆者在確立 “以人為本、以用為準” 為自身教學理念時的嘗試，以應用為準則側重對具體知識教學的理解，培養學生學習的興趣與熱情，是學生能夠自主學習自我完善的前提；以人為本側重教學教法，通過以知識為載體的學習，培養學生的思維能力、實踐操作能力、創新能力，在學習中形象良好性格、優良品德。筆者仍然在這理念下不斷探尋師與生的溝通、教與學的銜接、知識與實踐的融合，希望能為高校教育提供一個比較優的教學模式。

參考文獻（略）