關于一類具有垂直傳染與治療SIR模型產生后向分支的研究

段西超,楊艷華（.空軍第一航空學院基礎部,河南信陽464000；.信陽農業高等?？茖W校計算機科學系,河南信陽464000）

關于一類具有垂直傳染與治療SIR模型產生后向分支的研究

段西超1,楊艷華2
（1.空軍第一航空學院基礎部,河南信陽464000；2.信陽農業高等?？茖W校計算機科學系,河南信陽464000）

考慮了有限治療資源和垂直傳染的一類傳染病模型,當染病個體數量小于某確定值時,治療康復人數與染病個體數成比例；當染病個體數量大于某確定值時,治療康復人數是確定常數值.確定了模型的基本再生數R0.在一定條件下,當R0＞1時,地方病平衡點E*是漸進穩定的；當R0＜1時,后向分支就產生了.

傳染??；后向分支；治療；垂直傳染

許多疾病的傳染除了接觸傳染外還有母嬰垂直傳染[1],例如：單純皰疹、乙肝、南美洲錐蟲病等疾病[2-3].在昆蟲和植物中,垂直傳染經常來自蟲卵和種子.Busenberg和Cooke研究了一類具有垂直傳染和水平傳染的傳染病模型[4],我們希望通過研究發現,在具有垂直傳染和水平傳染的傳染病模型中產生后向分支.

1 模型的建立

在文獻[4]我們看到了標準SIR模型中產生了后向分支,并且都研究了由不同原因導致后向分支的產生[5-6].由此可見,基本再生數不再是描述疾病是否消失的唯一尺度.所以,通過研究后向分支確定控制疾病的閾值顯得十分重要.這里有限治療對產生后向分支起到了至關重要的作用.

將人口分為易感者、染病者和康復者,分別表示為：S,I和R.假定人口出生率和自然死亡率相等都記為d,并假設沒有因病死亡人口,所以總人口應該保持常數不變[2]；.有如下模型：

接下來的部分研究系統（2）的后向分支情況和無病平衡點的全局穩定性.

2 平衡點及其穩定性

這部分研究系統（3）的平衡點及其穩定性.E0=（1,0）是無病平衡點.正平衡點應該滿足：當0≤I≤I0時,式（4）成立,當I0≤I時,式（5）成立：

計算可知它等價于

因此,I1＞I0當且僅當p1＜R0＜p2.當p2＜R0或R0＜p1時I1≤I0.類似的討論可以得到I2＞I0,當R0＞p1時,或者當p2＜R0≤p1時.此外,若R0≤min則有I2≤I0.

綜上所述,可得如下定理：

易見,p1＜p2等價于d???(d ??)I0,由此可得到如下定理：

定理2當R0＜p0時,正平衡點E1和E2都不存在.但是當R0≥p0時,有：

對于當R0＜1時,系統產生正平衡點即后向分支有很好的實際意義.下面的推論將給出系統產生后向分支的條件.

推論當R0＜1時,如果d???(d ??)I和P0＜1成立,那么系統（3）將產生后向分支.

這個推論只是定理2中（1）部分的另一種表述方式.下面討論平衡點的穩定性,有如下定理.

定理3若R0＜1,E0=（1,0）是漸進穩定的；若R0＞1,E0=（1,0）是不穩定的.若I*＜I0,E*=（S*,I*）是漸進穩定的.若E1存在,則它是一個鞍點,對于E2,有

證明：參見文獻[4]和定理1.

通過構造Dulac函數,參見文獻[4]可以證明無病平衡點E0的全局穩定性,有如下定理：

定理4如果下列條件滿足,E0=（1,0）是全局穩定的.

（1）R0＜1且p0＞1；（2）R0＜1,p0＜1,且p1＞1.

3 討論

本文我們研究了一類傳染病模型.對這類模型,假定沒有因病死亡,且假設出生率與自然死亡率相等,這就保證了總人口處于恒定不變的狀態.進而,使得醫療水平保持不變這一條件變得更貼近現實.推論明確揭示了后向分支的產生源自有限的治療水平,同時也說明了當基本再生數小于1時,不一定保證疾病的消失.這就預示著染病個體必須控制在一定閾值條件以下.否則,在一定條件下疾病就會處于弱持續生存狀態.

[1]Michael Y L,Smith H L.Global dynamic of an SEIR epidemic modelwith vertical transmission[J].SIAM J.Appl.Math,2001,62（1）：58-69.

[2]Bellenir K,Dresser P.Contagious and Non-Contagious Infectious Diseases Sourcebook[M].Detroit.：Health Science Series. Omnigraphics Inc.,1996.

[3]Busenberg S,Cooke K.Vertically Transmitted Diseases[M].Berlin,New York：Springer-Verlag,1993.

[4]WangW.Backword bifurcation ofan epidimicmodelwith treatment[J].Math.Biosci,2006,201：58-71.

[5]Arino J,McCluskey CC,den Driessche P.Global results foran epidemicmodelwith vaccination thatexhibitsbackward bifurcation [J].SIAMJ.Appl.Math.,2003,64：260-275.

[6]Dushoff J,HuangW,Castillo CC.Backward bifurcationsand catastrophe in simplemodelsof fataldisease[J].J.Math.Biol,1998,36：227-242.

（責任編輯：盧奇）

Backward bifurcation of an SIR epidem icmodelw ith treatment and vertical transm ission

Duan Xichao1,Yang Yanhua2
（1.The FirstAeronauticalCollegeof Air Force,Xinyang464000,China；2.Xinyang Agricultural College,Xinyang 464000,China）

An epidemicmodel that incorporates a limited resource for treatment and vertical transmission have been considered.The total host population is assumed to have constant density.It is assumed that treatment rate is proportional to the number of infectivities below the capacity and is a constantwhen the number of infectivities is greater than the capacity.The basic reproduction number of the disease R0is found.If R0＞1 the endemic equilibrium E*is asymptotically stable under some conditions.If R0＜1 a backward bifurcation occurs.

epidemic,bifurcation,treatment,vertical transmission.

Q332

A

1008-7516（2011）05-0047-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2011.05.012

2011-07-08

段西超（1982-）,男,河南許昌人,碩士,講師.主要從事生物數學研究.