小學數學難點研究

田宏

《新課程高效率教學》指出：教師要鉆研教材首先要“懂”，自己要弄清知識的來龍去脈，追根究理。其次要“透”，即透徹地理解教材，一知半解只能照本宣科。再次要“化”，教學的功夫在一定程度上講究“化”的功夫，化抽象為具體、化靜態為動態、化被動為主動。最后是“活”，即不但要活學，更要活用。教學最重要的不但是傳授知識，更是激活知識。通過這四步達到一個舉重若輕的境界，也就是解讀教材——駕御教材——創造性使用教材。

根據上述要求，各級教育部門都非常重視教學研究工作，每年新學期開學之前都要進行教師培訓工作，組織全體代課教師學習新課標，讓有經驗的骨干教師談教學體會，對教材進行研究討論，從而有效提高教師的課堂教學效率。下面就我在各級教學研討會上發現需要繼續研究討論的幾個問題，談談我的點滴看法。

１關于0是偶數的問題

隨著課程改革的實施，新教材越發顯示出它的優越性。在關注學科知識的同時，也關注學生的情感體驗，關注不同學生的學習需要。然而教材必定帶有普遍性，它不可能兼顧到所有的學校和學生。因此，在尊重教材的基礎上，教師完全可以根據實際情況對教材進行增添、刪減、調整、置換，使教材發揮最大效用。

關于0是偶數是不是應該給學生講，教師們的兩種意見是：一種認為應該告訴學生，因為在后續的學習當中不在專門講解此問題，應該給學生一個完整的知識體系；另一種則認為，因為我們講倍數、因數時，只限于非零自然數（即正整數）范圍，不包括數零，而且0能被2整除，同時也能被3、4、5……等自然數整除，所以不應該告訴學生。

對于“奇數偶數”這一知識點，北師版教材①呈現為：是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數。而且教學參考書上指出：需要強調的是，本教材所指的“奇數、偶數”只限于非零自然數（即正整數）范圍，不包括數零，當然，這是一種規定。所以，教學時教師不宜給學生補充“0也是偶數”的內容。這樣做既沒有必要，又容易引起概念混亂。

人教版教材②呈現為：能被2整除的數叫做偶數；不能被2整除的數叫做奇數。2、4、6、8、10……是偶數；1、3、5、7、9……是奇數。注意：因為0也能被2整除，所以0也是偶數。

通過實際教學我認為用人教版教材處理的方式更好一些，增加：注意：0也是偶數。對于大家提出的“0能被2整除，同時也能被3、4、5等自然數整除的問題”，我認為大家對數學基本感念理解的不夠透，偶數的概念“是2的倍數的數叫偶數”并不是“‘只是2的倍數的數叫偶數”。另外，我在執教“奇數偶數”時出現了這樣一個場面：當我讓學生自學并初步理解智慧老人所說的“是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數”一句話的意思時，甲生就提出一個問題“老師，0是奇數還是偶數？”沒等我張口，乙生回答“0是偶數”。緊接著丙生反駁“0不是偶數，因為我們研究倍數、因數時不考慮0，0不是2的倍數”。乙生不服氣，馬上拿出《小學教材全解》對著大家說，“0是偶數是書上說的”。這時大家都啞口無言。隨即我逐一表揚了發言的同學，甲生善于動腦，勤于思考，我們應向他學習，因為在我們的學習過程中，能提出一個問題比解決一個問題更重要。乙生養成良好的預習習慣，能充分利用一切學習資源，解決課本上解決不了的問題。丙生更值得大家學習，他能認真聽課，能把前后所學的新舊知識緊密聯系在一起。這時，又有學生等不及了問：“老師，他們誰說的對呢？”師：大家想一想“0有那些特殊的本領？”生回答：“0有占位的特殊本領”；師：“在學習正、負數時，0是什么數？”生答：“0既不是正數，也不是負數”師：“0比較特殊，它是偶數 ?！鄙钠馃崃业恼坡?。

隨著課程改革的深入，教學內容的彈性化，在課堂教學過程中，能促進教學或經過處理促進教學的隨機事件會經常發生，教師要善于及時捕捉，慧眼識別，巧妙轉化，有效利用，才能起成到可遇而不可求的教學資源。所以在我的課堂上我不能按教學參考書上的要求去處理。

２關于倍數、因數的問題

北師版教材五年級上冊第9頁第5題：把48個球裝在盒子里，每個盒子里裝的同樣多，有幾種裝法？每種裝法各需要幾個盒子？如果有37個球呢？

2006年教學參考書上以及《小學教材全解》中答案是10種。2007年教學參考書上以及《英才教程》中的答案是9種。其中教學參考書是這樣要求的：本題的設計意圖是為后面學習質數和合數作一些鋪墊?？梢砸龑W生用找因數的方法進行思考，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，48有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48這10個因數，最多有10種裝法，但由條件可知至少用兩個盒子，所以共有9種裝法，見下表。

鑒于出現此種情況，我們進行了充分的討論。參加討論的人員有區教研室的教研員、省市區各級的教學能手、有教齡三十多年經驗豐富的老教師、也有大學剛畢業從事教學工作的新教師，討論的結果沒有達成一致意見。

大家爭論的焦點是“每個盒子里裝的同樣多”，意思就是“平均分”，平均分就不能是一個盒子，如果是一個盒子的話與誰進行比較呢？我有不同的看法，認為10種更為合理。第一，“每個盒子里裝的同樣多”這一條件是限制用兩個以上（含兩個）盒子，如果沒有這個條件的限制，就兩個盒子而言就有多種裝法，如：1，47；2，46；3，45；4，44；5，43……這樣就不能用找因數的方法去思考。第二，既然次題的目的是為學習質數和合數作一些鋪墊，質數的概念是：一個數只有1和它本身“兩個”因數，這個數叫作質數。如果采用“37只有2個因數，只有1種裝法”作為鋪墊，對一些學生的學習將會起障礙作用，讓學生錯誤認為質數有一個因數，忽略“1”這個特殊的因數。而且，在以往的教學過程中，經常會有學生錯誤地認為：“互質的兩個數沒有公因數”。第三，同一道題目，今年與去年的答案不一致，不同的書上有著不同的答案，這不但起不到幫助理解新知識的作用，反而回干擾學生對新知識的理解，會給學生的認識造成障礙。下面是我的課堂實況：師生共同讀題后，生嘗試獨立完成，師在巡視的過程中，讓三個學生將自己的答案寫在黑板上：

A．48÷1=48；48÷2=24；48÷3=16；48÷4=12……有10種。

B．1×48=48；2×24=48；3×16=48；4×12=48……有10種。

C．48的全部因數有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48共10個，所以有10種。

這時，下面有學生D開始提問：“每個盒子里裝的同樣多，意思最少要用兩個盒子，所以應該是9種”。上面的兩位學生同時與下面的同學爭論，學生A說“把48個球裝在盒子里”并沒說一定要“分裝”。學生C說“問題是有幾種裝法？裝一個盒子也是一種裝法”。學生D繼續反問：“如果是一個盒子的話與誰進行比較呢？怎么能談的上同樣多呢？”學生A、B、C都答不上來了，但仍然堅持自己的觀點。師開始征求大家的意見，其結果是：有將近1/4的學生同意D的意見，仍有1/2的同學同意A、B、C的意見，還有1/4的同學沒有發表意見。此時，學生B征求老師的意見。我先讀了教學參考書上提示，表揚了學生D。隨后談了自己的看法，“每個盒子里裝的同樣多應該是限制多個盒子的，并不是限制用一個盒子，并以兩個盒子為例說明理由?！蔽覀児餐逃懙慕Y果：大家都認為10種更合理一些。

３關于擴大、縮小的問題

2006年教師繼續教育考試中有這樣一道題：有一位學生總結商的變化規律“在除法里，被除數和除數同時擴大（或縮?。┫嗤谋稊?，商不變”讓老師給予評價。有一部分老師就認為是錯誤的，理由是沒有附加“零除外”。這一問題反映出對“因數、倍數”研究的數的范圍沒搞清楚。教材是這樣描述的：我們只在自然數（零除外）范圍內研究倍數和因數。所以，當我們提到因數、倍數問題時，就已經把零除外了，不需要再強調“零除外”。關于類似基本感念我從不同時間，不同版本的教科書上摘錄出以下幾條：1、積的變化規律：一個因數不變，另一個因數擴大（或縮?。┤舾杀?，積也擴大（或縮?。┫嗤谋稊?。2、商不變的性質：在除法里，被除數和除數同時擴大（或縮?。┫嗤谋稊?，商不變。3、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（零除外），分數的大小不變。4、比的基本性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（零除外），比值不變。5、把一個分數的分子、分母同時除以公因數，分數的值不變，這個過程叫作約分。

４關于記數單位的問題

在一次區級教學研究會上，有一位教師在輔導北師版四年級數學上冊一、三單元“改寫與求近似值的區別與聯系”時，將個位的計數單位說成“個”，當時我身邊的幾位老師就發生爭議。究竟個位的計數單位是“一”還是“個”，我把這一問題帶回我們學校，在教學研究活動中提出，結果也發生爭議，有說是“一”的，也有說是“個”的，還有的認為“一”或“個”都可以。

北師版教材③呈現為：

我認為大家沒有正確理解表格中“個（一）”的含義。

人教版教材④呈現為

一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、十億、百億、千億都叫做記數單位，每相鄰的兩個記數單位的進率都是十。

這里，大家只注意了表格里的內容，但沒注意到表格外對計數單位的描述“一（個）”的含義。

以上第三、四兩個問題的出現，說明我們在鉆研新教材方面還有待加強，因為教材是教學資源之本、我們必須立足于教材，仔細鉆研教材，吃透教材，這是用好教材的重要前提。

隨著課程改革的不斷深入推進，不僅要關注高效率的課堂教學，更要關注教師的專業成長與發展。要達到這一目的，教學研究的重心一定要回歸到教學第一線。教學研究是教師工作的重要組成部分，教師必須做到及時總結經驗，及時反思和不斷學習，同時在與同伴互助——與同行對話——交流互助中得到提升。

參考文獻

１北師版五年級數學上冊（第2版），2006年3月

２人教版數學第八冊（第2版），2001年4月

３北師版四年級數學上冊（第3版），2006年5月

４人教版數學第六冊（第1版），2002年12月