建立模型解決“最短路線問題”

鄧啟強

通常最短路線問題是以“平面內連結兩點的線中，線段最短”為原則引申出來的。人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。這類考題在近幾年各省市的中考數學試題中作為壓軸題屢見不鮮，在此類問題時，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點之間的最短距離問題，而兩點之間直線段最短，從而找到所需的最短路線。這樣將一個問題轉變為一個和它等價的問題，再設法解決，是數學中一種常用的重要思想方法。但是在中考中學生很難將一個復雜問題轉化為一個等價的簡單問題，筆者通過仔細研究發現，通過建立模型可以有效解決這一難題。

模型一：一定一動一直線

如圖1，已知點P是直線a外一定點，點D是直線a上一動點，當PD垂直直線a時，點P到直線a的距離最短。（實質是“垂線段最短”的定理）

變式1：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點P是斜邊AB上一動點，過點P作PF⊥AC于點F，PE⊥BC于點F，連接EF，且已知AC＝8，BC＝6。

問題：當P運動什么位置時，線段EF最短？最短是多少？

分析：由題意知四邊形FCED是矩形，線段EF是對角線，因此求EF可轉化為求CD，顯然當CD⊥AB時線段CD最短。

解：連結CD，則CD＝EF

根據勾股定理，AB=AC2+BC2=82+62=10

當CD⊥AB時線段CD最短，此時12AB·CD=12 AC·BC

故CD＝4.8即EF最短4.8。

模型二：兩定一動一直線（即“將軍飲馬”問題）

據說，在古希臘有一位聰明過人的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請教了一個問題：從A地出發到河邊飲馬，然后再B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點？（把河看成一條直線）

顯然作點B關于直線a的對稱點C，連結AC，交直線a于點P，則PA＋PB最短。

變式2：在上述“將軍飲馬”問題中直線a代表的是河岸，在實際中點A的對稱點也許會在河里，也許會在河的對岸?？上攵?，在真實的情境中，操作很可能并不是那么方便，又該怎么解決呢？

解法：如圖4，分別過點A、B作直線a的垂線，垂足分別為C、D，連接AD和BC交于點E，過點E作直線a垂線，垂足為P，則點P就是所求的點。下面簡述其證明要點：

如圖5，過點E作直線MN∥a，分別交AC、BD于點M、N，連結PB、PA，延長AP于BD的延長線交于點F由輔助線的作法可知EN＝PD，EM＝PC

易△ACE≌△DEB，所以根據對應高之比等于相似比可知ACBD=EMEN=PCPD

再由△ACP≌△FDP，可得ACDF=PCPD，故BD＝DF

則點B與點F關于直線a對稱。

變式3：修橋問題（北師大版初中數學八年級上冊）：如圖，A、B兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，現準備合作修一座過街天橋。問：橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短？注意，橋必須與街道垂直。

分析：街道可抽象成兩條平行線a、b，橋無論建在何處橋長MN是不變的，只要能把AM、BM合成一條線段，即對比將軍飲馬問題，只要將A、B兩點放在街道的同一側即可。

作法：1、作點A關于直線a的對稱點F；

2、過點B作BD垂直直線b于點E，并延長至點C，交直線a于點D，使DC＝BE

3、連結CF，交直線a于點M

故應天橋修建在點M處，即AM＋MN＋BN最短。

模型三、一定兩動兩直線

如圖，點P是∠MAN內任意一點，點C、D是射線AM、AN上兩個動點，當C、D運動到什么位置時，線段△PCD的周長最短？

作法：1、作點P關于射線AM的對稱點E；

2、作點P關于射線AN的對稱點F；

3、連線E、F，分別交AM、AN于點C、D。

故：PC＋PD＋CD最短，即△PCD的周長最短

模型四：兩定兩動兩直線

如圖7，C、D是∠AOB內任意兩點，M、N分別是OA、OB的兩個動點，當M、N運動到什么位置時，四邊形CMND的周長最短？

作法：1、作點C關于射線OA的對稱點E；

2、作點D關于射線OB的對稱點F；

3、連結EF，分別交OA、OB于點M、N

故：CM＋MN＋DN＋CD最短，即四邊形CMND的周長最短。

總之，要解決在平面內求一點至另外兩點的距離之和最短的問題，要根據實際問題進行分析，將其轉化為“兩點之間線段最短”的問題。