論初等函數的定義

潘玉恒，楊珂玲

（1.武漢工業學院 工商學院，湖北 武漢 430065；2.湖北經濟學院 統計與應用數學系，湖北 武漢 430205）

引言

初等函數是初等數學、高等數學共同研究的對象，它具有良好的連續（極限）、可導、可積等局部性質，所以判斷一個函數是不是初等函數，是解決與這個函數有關問題的關鍵。在現行的數學分析或高等數學的教材中，對初等函數的定義如下：

定義1：“由基本初等函數經過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數”。[1]

定義2：“由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數”。[2]

上述定義1、2都是不嚴密的，例如它們在學界所引起的主要歧義點就是分段函數是否是初等函數這一問題，無論怎樣，由定義引起這一問題的本身就證明了其定義是不嚴密的；不僅如此，定義1、2實際上還存在著理論上的缺陷，例如像這類直接改變（基本）初等函數的定義區間而得到的函數，是不是初等函數？初等函數的定義竟然沒有包含這種情形，也許就是這一缺陷，才導致人們在處理分段函數的方法上復雜化了。筆者限于手上的資料，發現前賢們集中討論了分段函數是否是初等函數的問題，而不是探討怎樣嚴密初等函數之定義，所以也就忽略了定義的理論缺陷，因此，筆者認為，在初等函數的定義上，還有一些問題值得商榷。

1.分段函數是否是初等函數的問題

分段函數是否是初等函數本來不應該成為一個問題，這是因為，即使是利用不嚴密的定義1和2，都可以直接判斷分段函數不是 “由基本初等函數經過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數”，所以不是初等函數；但由于定義2強調了“可用一個式子表示”——如果善意地理解樊映川和同濟大學高等數學編寫組的前賢們的本意，應該就是為了排除分段函數是初等函數的可能的，否則，凡是“由基本初等函數經過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數”都必然是“用一個式子表示”的，即，定義1和2實際上是等價的——實在有畫蛇添足之嫌，這不應是學界使用了近五十年、印刷75次的教材所應該有的紕漏，就是這“紕漏”，不曾想到卻開啟了人們研究分段函數能否“可用一個式子表示”的問題。

例如分段函數

可以等價地表示為：

甚至有些學者還研究出了什么樣的分段函數在什么條件下“可用一個式子表示”并給出了相應的定理。例如，筆者通過維普、萬方數據庫等搜索到較早討論這一問題的劉文、劉致祥在《分段（片）函數的初等性》[4]中就給出了如下定理：

定理 1.設 x1芻x2芻…xn+1

若 fk（x）是區間[xk，xk+1]（k=1，2…n-1）上的初等函數，且

則 f（x）是區間[x1，xn+1]上的初等函數。 并且（3）可以等價地表示為

在此需要強調的是，對這個定理的證明（略）也是采用把f（x）“用一個式子表示”的方式。

從以上舉例來看，首先，（1）、（3）式分別和（2）、（4）式相比較，（2）和（4）式不但是“由基本初等函數經過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數”，而且它們還分別互相等價地表示。 即便如此，（2）和（4）式卻構造了形如式子，這樣的式子直接違背了數學形式或結果必須化簡的簡潔性之原則，因此，作為一個數學學者，即使是犧牲這類分段函數是初等函數的可能，也不應鼓勵這類把結果或形式復雜化的逆數學原則之構造。

其次，這類構造并不能解決像

這一類分段函數是不是初等函數的問題，特別地，在什么是初等函數的問題上，如果承認分段函數只要“可用一個式子表示”就是初等函數，那么，一個令人頭疼的問題是：現在人們還不能把符號函數“可用一個式子表示”，隨著數學的深入發展，將來是不是有可能“用一個（更為復雜的、人們現在還想不到的）式子表示”呢？例如高斯函數y=[x]，就有學者把它表示為：

如此，把一個簡單明了的取整函數表示為復雜到必須耐心計算才能看懂的函數形式——其目的僅僅是為了驗證它是不是初等函數，這是不是在打開潘朵拉魔盒呢？我想，這是任何數學達人也不愿意看到的徒勞無功的努力。

再者，若把“分段函數是否是非初等函數”的問題看作是分類問題，那么，關鍵是看分類的方法是否簡單可行。如果把形式簡潔的分段函數用能否構造一個必然是復雜的 “用一個式子表示”的函數形式來作為判斷的方法，這種把簡單問題復雜化的分類的方法不僅不利于教學，也無利于對分段函數的研究。

最后，我們判斷分段函數是否是初等函數的目的就是為了利用初等函數所具有的良好性質（如連續、可導、可積等性質）。從這一點上來說，數學教育工作者對分段函數是否初等函數的問題的思考，并提出構造性的解決方案，是值得尊重的。但需要商榷的問題是：“分段函數是否是初等函數”的問題明顯地是由初等函數的定義不嚴密、甚至是理論缺陷所造成的，為什么不是采取修訂定義的方式、而是繼續在不嚴密的定義的基礎上來探究其所遺留的的問題呢？例如，歷史上的函數極限的定義，還有數學（概念）公理化運動，都是由不嚴密逐漸走向嚴密定義來解決其中的問題的。因此，筆者不敢茍同這種亡羊不補牢、反而去追羊的非數學的解決問題的方式。

總之，筆者反對把（部分的）分段函數是否能夠“用一個式子表示”來證明它是初等函數的解決問題的方式，而是堅持主張“凡是分段函數都是非初等函數”這一簡明扼要的結論?？墒?，怎么嚴密初等函數的定義來杜絕這一問題呢？其實，針對這一問題只需要把定義2里的“可用一個式子表示”修正為“用一個最簡化的式子表示”，就杜絕了任何企圖把已經是最簡化了的分段函數的不同分支的函數形式再簡化為 “用一個最簡化的式子表示”的可能。例如形如式子的最簡式子只能是或只能分段表示，這樣就杜絕了構造（2）、（4）的任何努力，當然也排除了（6）的合法性。我認為，這才是樊映川和同濟大學高等數學教材編寫組等前賢們為什么要增加“用一個式子表示”的真實意圖的表達。

現在遺留的問題是，若肯定“凡是分段函數都是非初等函數”，那么，由于整個數學分析或高等數學都是以初等函數為基礎對象展開研究的，我們就無法利用初等函數的良好性質、甚至是方法來研究分段函數了。為了解決這個問題，就要先解決初等函數的定義所存在的理論缺陷。

2.初等函數定義的理論缺陷

我們知道，在研究函數的過程中，會經常碰到像y=sinx，x∈[-1，1]、y=，0燮x燮1等這類函數。它們既不是經過有限次四則運算、也不是經過有限次復合運算所得到的，若直接根據初等函數的定義來判斷，那么，這類函數就不能被稱做是初等函數；另外，即使把y=sinx，x∈[-1，1]和其被改變的母函數y=sinx，x∈（-∞，+∞）相比較，它們雖然具有同一個解析式，但由于定義域不同，所以，它們不是同一個函數，因此，我們不能因為y=sinx，x∈（-∞，+∞） 是 （基本） 初等函數就認為y=sinx，x∈[-1，1]也是初等函數，數學也不允許這種類比推理。

可是，這類函數是初等函數畢竟是公理性常識，例如，在定理 1 中就有“若 fk（x）是區間[xk，xk+1]（k=1，2…n-1）上的初等函數”；還有高等數學教材中，求分段函數的某一分支函數的極限、導數、積分時，我們也都是按照初等函數來處理的。因此，這類函數是否是初等函數若不能從初等函數的定義中直接或間接地推導出來，那么，必須、也只有直接定義它們是初等函數，即，給數學概念下定義的目的就是確立人們在數學上所認識的公理性常識；換句話說，初等函數并不僅是“由基本初等函數經過有限次的四則運算與復合運算”這一途徑得到，還可以通過改變（基本）初等函數的定義域而得到。因此，若在給初等函數下定義時漏掉了這一途徑所得到的函數，那么，只能說明初等函數的定義存在著理論上的缺陷。

綜上所述，初等函數的定義應當修訂如下：

定義3：“由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟構造并用一個最簡化的式子表示、或改變其定義域所得到的函數，叫做初等函數?！?/p>

關于定義3需要說明如下兩點：第一，定義2表述為“由常數和基本初等函數……”是不準確的，這是因為，在函數的解析式中所含常數，對于任意一個x，都與這個常數相對應，所以，常數在函數解析式中是以函數面目出現的，即為常數函數，因此，不能把常數（函數）排除在基本初等函數之外。相比較而言，定義1把常數（函數）作為基本初等函數的一種，是比較恰當的，總之，定義3中的基本初等函數是指常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數等六種函數；第二，定義3確定了只改變初等函數的定義域所得到的函數仍為初等函數，這個定義對于大多數分段函數來說，即使整體上不是初等函數，但只要其分支是初等函數，像函數的連續、可導、可積等這些本來就是函數的局部性質和運算在其分支上依然可以成立和進行。這實際上意味著，分段函數即使不是初等函數，若它的分支函數是初等函數，那么就不會影響對它的研究；另外，在深層次上，把分段函數的問題化整為零來處理，正是微積分思想和方法的精髓。從這一點上來說，把分段函數歸類于非初等函數，不僅便利于教學，也易于培養學生數學地分析問題、解決問題的思想和方法。

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]匡繼昌.什么是初等函數[J].數學通報，2007，（7）：27.

[4]劉文，劉致祥.分段（片）函數的初等性[J].河北工學院學報，1989，（1）：19.

[5]付有祥，伏文文.基本初等函數表示高斯函數的思維過程分析[J].佳木斯教育學院學報，2010，（6）：62.