孫悟空的七十二變

王成

一天，悟空來到花果山實驗學校，聽到同學們正在討論有關平行線的性質和應用，便想考考大家：“同學們學習了有關平行線的知識，現在俺老孫來出一道題，你們能用自己學過的知識解決嗎？”

“如圖1，MA1∥NA2，同學們，你們來看看∠A1+∠A2=_______°.”悟空話音剛落，就聽到朱小戒搶答：“哎，太簡單了，180°嘛！兩直線平行，同旁內角互補啊.孫大圣你就這么小看我們？”

悟空擺了擺手說：“不著急，看俺老孫來變！變！變！大家看！如圖2-1，MA1∥NA3，同學們，你們來看看∠A1+∠A2+∠A3=_______°.”“咦！悟空吹了口氣，怎么圖形變了??？”同學們你一句我一句，但很快就動起了腦筋：既然已知條件是平行線，那我們肯定要運用平行線的性質來解決這個問題.大家經過討論很快找到了方法：如圖2-2，過點A2作一條輔助線A2B∥MA1，這樣根據平行于同一直線的兩直線也平行，把圖2-1轉化成兩個與圖1相同的基本圖形.把∠A1A2A3分成∠A1A2B與∠BA2A3，它們分別和∠A1與∠A3組成同旁內角，根據兩直線平行，同旁內角互補可得∠A1+∠A2+∠A3=∠A1+∠A1A2B +∠BA2A3+∠A3=180°+180°=180°×2=360°.

悟空聽了同學們的發言，滿意地點了點頭.又吹了口氣說：

“俺老孫再變！如圖3-1，MA1∥NA4，同學們，你們來看看∠A1+∠A2+∠A3 +∠A4=_______°.”朱小戒說：“我來！如圖3-2，分別過點A2、A3作A2B∥MA1，A3C∥MA1 ，同樣的方法可以得到∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°+180°+180°=180°×3=540°.”悟空聽了朱小戒的發言，對朱小戒豎起了大拇指：“了不起啊，小戒同學！”說完對黑板又吹了口氣：“俺老孫再來一變，你們能用剛才發現的規律解決這個問題嗎？如圖4-1，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_______.”

同學們思考了一下很快得出了答案：如圖4-2，添加（n-2）條和MA1平行的輔助線，構成（n-1）對同旁內角，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n-1）.

“現在的學生觀察、探究、歸納總結的能力很強??！看來我還不能小看我們花果山實驗學校的孩子.”悟空在心里默默地想著. “大圣，真有你的！一個很簡單的問題你居然能變出這么多的問題來，讓我們大家大開眼界啊.大圣再給我們出道題吧，還要變！變！變哦！”同學們一起說道.

悟空笑了笑，想了一下：“好吧，再來考考你們啊.”又在黑板上出了一道題：

如圖5-1，直線AC∥BD，連接AB，點P在該平面上所處位置如圖所示，請大家來研究一下∠APB、∠PAC、∠PBD這三個角的關系.

同學們紛紛動手在自己的草稿紙上做了起來，過了一會兒A同學很快得到了答案：∠APB=∠PAC+∠PBD.“很好！漂亮！”悟空表揚了A同學. “誰能把自己怎么思考得到答案的過程和大家分享一下嗎？”“我！我！”同學們爭先恐后地要求回答問題.最后沙小僧同學走到講臺前把自己的方法寫在黑板上：

如圖5-2，過點P作PQ∥AC，

所以∠PAC=∠APQ（兩直線平行，內錯角相等）.

因為AC∥BD，

所以PQ∥BD（平行于同一直線的兩直線也平行）.

所以∠PBD=∠BPQ（兩直線平行，內錯角相等）.

所以∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠BPQ（等式性質）.

即 ∠PAC+∠PBD=∠APB.

“很好，沙小僧同學回答很正確，而且書寫規范，我們大家要向他學習！下面我們再來變！點P在如圖5-3所示的位置，請大家來研究一下這三個角的關系還是∠PAC+∠PBD=∠APB嗎？”

“不成立！應該是∠PAC +∠APB+∠PBD=360°.”很快又有同學給出了答案.

理由如下：

如圖5-4，過點P作PQ∥AC，

所以∠PAC+∠APQ=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

因為AC∥BD，

所以PQ∥BD（平行于同一直線的兩直線也平行）.

所以∠PBD+∠BPQ=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

所以∠PAC+∠APQ +∠PBD+∠BPQ=360°（等式性質）.

即∠PAC+∠PBD+∠APB=360°.

“ 太厲害了！不出絕招不行了！大家來看我再變！”悟空拿出了看家本領.

如圖5-5，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分.規定：線上各點不屬于任何部分，當動點P落在某個部分時，連接PA、PB，構成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角.當動點P落在第③部分時，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應結論.（注：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°.）

同學們立即展開了熱烈的討論，最后還是由朱小戒同學向悟空匯報了大家的探究結果.

共有3種情況：

1. 當動點P在線段BA的延長線上時，如圖5-6，此時∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.

因為直線AC∥BD，

所以∠PAC=∠PBD（兩直線平行，同位角相等）.

2. 當動點P在線段BA的延長線的左側時，如圖5-7，∠PAC=∠PBD+∠APB.

連接PB交AC于點E.

因為直線AC∥BD，

所以∠PEC=∠PBD（兩直線平行，同位角相等）.

又因為∠PAC=∠PEC+∠APB（三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和），

所以∠PAC=∠PBD+∠APB（等量代換）.

3. 當動點P在線段BA的延長線的右側時，如圖5-8，∠PBD =∠PAC+∠APB.

連接PB交AC于點E.

因為直線AC∥BD，

所以∠AEB=∠PBD（兩直線平行，內錯角相等）.

又因為∠AEB =∠PAC+∠APB（三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和），

所以∠PBD =∠PAC+∠APB（等量代換）.

聽到同學們的探究結果，悟空很開心：“同學們，今天我們應用了大家最近所學的知識解決了許多問題，你們的表現很棒！大家既要學好課本知識，更要靈活運用所學知識.”

親愛的同學們，你們清楚了嗎？還能繼續根據上述探究問題的方法，運用所學的知識繼續探究當動點P運動到第④部分時，三個角之間的關系嗎？試一試，然后與同伴交流一下.